Bestimmung eines Konfidenzintervalls (Vertrauensintervalls) für die unbekannte Varianz σ 2 einer Normalverteilung Grundlage: Die Zufallsvariable Z = S2 (n − 1) 2 σ genügt einer Chi-Quadrat- Verteilung mit n − 1 Freiheitsgraden. Vorgehensweise: 1) Festlegung eines Konfidenzniveaus γ (üblicherweise: γ = 0.95 od. γ = 0.99); α = 1 − γ ist dann die Irrtumswahrscheinlichkeit. 2) Berechnung der Konstanten c1 und c2 aus den Bedingungen F (c1 ) = 1 (1−γ) 2 = α 2 und F (c2 ) = 1 (1+γ) 2 α 2 = 1− , wobei F die Verteilungs- funktion der Chi-Quadrat-Verteilung mit n − 1 Freiheitsgraden ist. α α Die Zahlen c1 bzw. c2 werden als das -Quantil bzw. das 1 − -Quantil 2 2 der Chi-Quadrat-Verteilung mit n − 1 Freiheitsgraden bezeichnet. 3) Berechnung der Varianz s2 der konkreten Stichprobe x1 , x2 , . . . , xn 4) Das gesuchte Konfidenzintervall ist dann: (n − 1)s2 (n − 1)s2 2 ≤σ ≤ . c2 c1 Mathematik III - Folie 57 Bestimmung eines Konfidenzintervalls (Vertrauensintervalls) für den unbekannten Parameter p einer Binomialverteilung Grundlage: Approximation der Binomialverteilung (mit den Param.: n, p) durch eine NV (mit den Param.: µ = np und σ 2 = np(1 − p)). Vorgehensweise: 1) Festlegung eines Konfidenzniveaus γ (üblicherweise: γ = 0.95 od. γ = 0.99); α = 1 − γ ist dann die Irrtumswahrscheinlichkeit. 2) Berechnung der Konstanten c aus der Bedingung 2Φ(c) − 1 = γ, 1 α α d.h. Φ(c) = (γ + 1) = 1 − . Die Zahl c wird als das 1 − -Quantil 2 2 2 der Standard-Normalverteilung bezeichnet. 3) Berechnung des Schätzwertes p̂ = k/n aus der konkreten Stichprobe (”k Erfolge bei insgesamt n Ausführungen des Bernoulli-Experiments”) 4) Wenn die Bedingung ∆ = np̂(1 − p̂) > 9 für eine umfangreiche Stichprobe erfüllt ist, lautet das gesuchte Konfidenzintervall: c√ c√ ∆ ≤ p ≤ p̂ + ∆. p̂ − n n Mathematik III - Folie 58 Planung und Durchführung eines Parametertests Voraussetzung: Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der ZV sei vom Typ her bekannt, der Parameter ϑ der Verteilung sei unbekannt. Vorgehensweise: 1) Formulierung der Nullhypothese H0 : ϑ = ϑ0 sowie der Alternativhypothese H1 : ϑ 6= ϑ0 (zweiseitiger Parametertest) 2) Festlegung der Signifikanzzahl (Signifikanzniveau, Irrtumswahrscheinlichkeit) α (0 < α < 1); diese entspricht der Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Nullhypothese H0 abgelehnt wird, obwohl sie richtig ist. 3) Bestimmung einer geeigneten Prüfvariablen (Stichprobenfunktion) T , die noch von den n unabhängigen Zufallsvariablen X1 , X2 , . . . , Xn abhängt: T = g(X1 , X2 , . . . , Xn ) 4) Bestimmung des nicht-kritischen Bereichs cu ≤ T ≤ co derart, dass die Testvariable T mit der Wahrscheinlichkeit γ = 1 − α Werte aus dem Intervall [cu , co ] annimmt 5) Berechnung des Wertes der Testvariablen T aus der konkreten Stichprobe x1 , x2 , . . . , xn (Einsetzen dieser Werte für die ZV X1 , X2 , . . . , Xn ); der erhaltene Funktionswert t̂ = g(x1 , x2 , . . . , xn ) heißt Test- oder Prüfwert von T . 6) Testentscheidung: Ablehnung oder Nichtablehnung der Nullhypothese? 1. Fall: Testwert t̂ fällt in den nicht-kritischen Bereich der Testvariablen T , d.h. cu ≤ t̂ ≤ co ⇒ Nullhypothese wird nicht abgelehnt 2. Fall: Testw. t̂ fällt in den kritischen Bereich ⇒ Nullhyp. wird abgelehnt Mathematik III - Folie 59 Zweiseitiger Test für den unbekannten Mittelwert µ einer Normalverteilung bei bekannter Varianz σ 2 Auf der Basis einer Zufallsstichprobe x1 , x2 , . . . , xn vom Umfang n soll die Nullhypothese H0 : µ = µ0 gegen die Alternativhypothese H1 : µ 6= µ0 getestet werden. Vorgehensweise: 1) Auswahl einer Signifikanzzahl α (meist α = 0.05 oder α = 0.01) 2) Berechnung des kritischen Wertes c aus der Bedingung 2Φ(c) − 1 = 1 − α, α α -Quantil der Standard-NV) d.h. Φ(c) = 1 − (entspricht dem 1 − 2 2 3) Berechnung des Mittelwertes x d. Stichpr. sowie des Test- oder Prüfwertes: û = x − µ0 √ . σ/ n 4) Testentscheidung: Falls −c ≤ û ≤ c ⇒ Nullhypothese H0 : µ = µ0 wird nicht abgelehnt, anderenfalls wird sie abgelehnt. Beispiel 15.7.: 10 Nägel aus einem bestimmten Sortiment haben folgende Längen: i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xi /mm 20 22 19 22 18 21 18 19 21 20 Sie stammen aus einer normalverteilten Grundgesamtheit mit der Varianz σ 2 = 9 mm2 . Auf einem Signifikanzniveau von α = 0.01 ist die Hypothese zu testen, dass der Mittelwert µ0 dieser NV gleich 22 mm ist. Mathematik III - Folie 60