10 Serie — Aufgaben zur Statistik 2

10
Serie — Aufgaben zur Statistik 2
Aufgabe 1. Eine neue Sorte von Reagenzgläsern soll bezüglich der Schmelztemperatur mit einer gebräuchlichen Sorte, die eine mittlere Schmelztemperatur
von 745◦C hat, verglichen werden. Bei der neuen Sorte wurden 16 Reagenzgläser
getestet:
675 720 621 653 750 631 742
828
715 611 790 671 820 730 650 785 + x
Es wird angenommen, dass die Stichprobe aus einer Normalverteilung mit Erwartung µ und Varianz σ 2 = 4900 stammt.
a) Es sei x = 0. Zeigen Sie, dass mit einem geeigneten Test die Hypothese
H0 : µ = 745 gegen H1 : µ 6= 745, falls das Signifikanzniveau α = 0, 05 beträgt,
angenommen wird.
b) Kann man x so verändern, dass die Hypothese H0 aus a) abgelehnt wird?.
c) Es sei x = 0. Zeigen Sie, dass mit einem geeigneten Test die Hypothese
H0 : µ = 745 gegen H1 : µ < 745, falls das Signifikanzniveau α = 0, 05 beträgt,
abgelehnt wird.
d) Kann man x so verändern, dass die Hypothese H0 aus c) angenommen wird?
e*) Bestimmen Sie zum Testproblem in a) die Wahrscheinlichkeit β(µ) des Fehlers zweiter Art, falls in der Alternativhypothese µ = 800 vorliegt.
Lösung 1. a) Die Teststatistik für den Gauss-Test mit der Nullhypothese
H0 :
µ = 745
H1 :
µ 6= 745
Tn =
X n − 745
und der Alternativhypothese
lautet
√σ
n
.
√
Mit σ = 70 und n = 4 ergibt sich aus der Stichprobe Tn = −1, 89. Für den
kritische Wert erhalten wir
k = z1− α2 = 1, 96
Da |Tn | = 1, 89 ≤ 1, 96 gilt, wird die Nullhypothese nicht abgelehnt.
b) Es gilt offenbar in diesem Fall
n
xn =
1X
x
xi + ,
n i=1
n
wobei xi die Werte bei x = 0 bezeichnen. Dann folgt
Tn =
X n − 745
√σ
n
x
x
= −1, 89 +
. = −1, 89 + √
280
nσ
Also folgt aus der Gleichung |Tn | = 1, 96 die Gleichungen
−1, 89 +
x
= 1, 96
280
und
x
= −1, 96
280
Es ergeben sich die Lösungen x1 = 1076.79 und x2 = −20, 79. Somit wird mit
dem Gauss-Test die Nullhypothese abgelehnt, wenn
−1, 89 +
x∈
/ (x2 , x1 )
1
c) Das Testproblem
H0 : µ = 745
gegen
H1 : µ < 745
gegen
H1 : µ < 745
ist gleichwertig mit dem Testproblem
H0 : µ ≥ 745
Der kritische Wert lautet nun mit den ”vollen” 5% Fehler am unteren Rand
k1 = −z1−α = −1, 64
und der Ablehnungsbereich ist
Tn < k1
Da Tn = −1, 89 < k1 = −z1−α = −1, 64 wird die Nullhypothese abgelehnt.
x
d) Wir lösen die Gleichung Tn = −1, 89+ 280
= −1, 64 und erhalten x3 = 67, 44.
Somit wird die Nullhypothese nicht abgelehnt, falls
x > x3 .
e) Es gilt
β(800) = β(µ) = P (|Tn | ≤ k|µ)
Damit folgt
β(µ)
σ
σ
= P −k √ + 745 ≤ X n ≤ 745 + k √
n
n
!
55
X n − 800
55
≤− σ +k
= P −k − σ ≤
σ
√
n
= Φ −
55
√σ
n
+k
√
!
√
n
−Φ −
55
√σ
n
−k
n
!
= Φ (−1, 182893) − Φ (−5.102821) = 0, 1184256
2
Aufgabe 2. In einem Labor ist durch Langzeiterfahrung bekannt, dass die
Bestimmung eines Enzyms mit einer Standardabweichung von 1, 5 i. E. variiert.
Es wird eine Stichprobe vom Umfang 25 mit folgenden Werten erhalten :
22, 84 21, 87 20, 39 21, 60 22, 01 22, 66 22, 36 21, 19 22, 76 21, 20
21, 24 24, 01 21, 17 20, 14 19, 91 23, 40 22, 67 20, 68 24, 41 22, 48
22, 72 22, 72 23, 43 21, 63 22, 42
Unter der Annahme, dass das Merkmal N (µ, 1, 52 )-verteilt ist, bestimmen Sie
ein zweiseitiges Konfidenzintervall für µ zum Niveau 0, 95.
Lösung 2. Es gilt xn = 22.0764, α = 0, 05 und z1− α2 = 1, 96 Damit erhalten
wir
1.5
1.5
21, 488 = xn − z ∗ √ < µ < xn + z ∗ √ = 22, 604.
n
n
Aufgabe 3. Für die Gewichte von Warenpackungen wird angenommen, dass
sie N (µ, σ 2 ) verteilt mit unbekannten µ und σ sind. Es ergaben sich für eine
Stichprobe vom Umfang 10 folgende Gewichte (in kg)):
20, 40 20, 25 20, 00 19, 80 20, 05
19, 90 20, 50 20, 15 20, 20 20, 10
a) Man bestimme ein Konfidenzintervall der Form [a, ∞) für µ zum Niveau 0, 9.
b) Man bestimme ein Konfidenzintervall der Form [a, b] für µ zum Niveau 0, 9.
c) Man bestimme ein Konfidenzintervall der Form (−∞, a] für µ zum Niveau
0, 9.
Lösung 3. Es gilt
x =
20, 135
s =
α =
0.2148
0, 1
tn−1,1− α2
tn−1,1−α
=
=
a1
=
[a1 , ∞) =
a
=
b =
[a, b] =
b1
=
(−∞, b1 ] =
1, 833
1, 383
s
x − √ tn−1,1−α
n
(20, 04106, ∞)
s
x − √ tn−1,1− α2
n
s
x + √ tn−1,1− α2
n
[20, 0105, 20, 2595]
s
x + √ tn−1,1−α
n
(−∞, 20, 2289]
3