Beispiel 14.9: In einem Molkereibetrieb werden Joghurtbecher

Beispiel 14.9:
In einem Molkereibetrieb werden Joghurtbecher abgefüllt. Der Sollwert für die Füllmenge dieser Joghurtbecher beträgt 150 g. Aus der laufenden Produktion wurde eine Stichprobe von 15 Joghurtbechern entnommen und jeweils die Füllmenge festgestellt. Der Mittelwert dieser Stichprobe betrug x = 149 g.
Mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von α = 0.05 soll getestet werden, ob die mittlere Füllmenge der Joghurtbecher signifikant von dem vorgegebenen Sollwert abweicht. Es wird von einer Normalverteilung der
ZV X: Füllmenge eines Joghurtbechers“ ausgegangen, die Varianz sei bekannt: σ 2 = 2.25 g2 .
”
Gemäss der soeben beschriebenen Vorgehensweise wird ein zweiseitiger Test für den unbekannten Erwartungswert µ einer Normalverteilung bei bekannter Varianz durchgeführt.
1) Nullhypothese H0 : µ = µ0 = 150 g, Alternativhypothese H1 : µ 6= µ0
2) Die Signifikanzzahl (Irrtumswahrscheinlichkeit) ist vorgegeben: α = 0.05.
3) Testvariable: T =
X − µ0
√
σ/ n
4) Bestimmung des (1 − α/2)-Quantils der standardisierten Normalverteilung (aus der Tabelle):
z1−0.05/2 = z0.975 = 1.96 und Festlegung des nicht-kritischen Bereiches:
−1.96 ≤ T ≤ 1.96 (oder: |T | ≤ 1.96)
5) Der Mittelwert der vorliegenden Stichprobe ist vorgegeben: x = 149 g.
Der Test- oder Prüfwert wird berechnet:
t̂ =
x − µ0
149 g − 150 g
√
√ =
= −2.582.
σ/ n
1.5 g/ 15
6) Testentscheidung: Die Bedingung −1.96 ≤ T ≤ 1.96 (siehe 4)) ist für den Testwert t̂ = −2.582
nicht erfüllt. ⇒ Die Nullhypothese H0 : µ = µ0 = 150 g wird zugunsten der Alternativhypothese H1
abgelehnt.
Das Testergebnis sagt folgendes aus:
Die Nullhypothese H0 , welche der Aussage mittlere Füllmenge der Joghurtbecher ist gleich dem Sollwert
”
von 150 g“ entspricht, wird mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.05 abgelehnt (d.h. man kann auf Grund
der vorliegenden Stichprobe davon ausgehen, dass eine signifikante Abweichung vom Sollwert vorhanden
ist).
Beispiel 14.10:
Es wird der gleiche Sachverhalt wie im Beispiel 14.9 betrachtet, nur unter der Annahme, dass die Varianz σ 2
der Normalverteilung unbekannt sei. Bei der Auswertung der Stichprobe von 15
pJoghurtbechern wird dann
2
2
auch die Stichprobenvarianz berechnet, diese sei: s = 2.4 g (d.h. es gilt: s = 2.4 g2 ≈ 1.549 g).
Der Test, ob die mittlere Füllmenge der Joghurtbecher signifikant vom Sollwert abweicht, wird wie folgt
durchgeführt:
1) Nullhypothese H0 : µ = µ0 = 150 g, Alternativhypothese H1 : µ 6= µ0
2) Die Signifikanzzahl sei wiederum α = 0.05 (siehe Beispiel 14.9).
3) Testvariable: T =
X − µ0
√
S/ n
4) Bestimmung des (1 − α/2)-Quantils der t-Verteilung mit n − 1 Freiheitsgraden (aus der Tabelle):
t14;1−0.05/2 = t14;0.975 = 2.145 und Festlegung des nicht-kritischen Bereiches: −2.145 ≤ T ≤ 2.145
(oder: |T | ≤ 2.145)
5) Der Mittelwert x und die √
Varianzp(bzw. die Standardabweichung) der vorliegenden Stichprobe sind
gegeben: x = 149 g, s = s2 = 2.4 g2 .
Der Test- oder Prüfwert wird berechnet:
t̂ =
149 g − 150 g
x − µ0
√ =p
√ = −2.5 .
s/ n
2.4 g2 / 15
6) Testentscheidung: Die Bedingung −2.145 ≤ T ≤ 2.145 (siehe 4)) ist für den Testwert t̂ = −2.5
nicht erfüllt. ⇒ Die Nullhypothese H0 : µ = µ0 = 150 g wird zugunsten der Alternativhypothese H1
abgelehnt.
Hinweis: Der wesentliche Unterschied zu Beispiel 14.9 besteht darin, dass bei der Quantilbestimmung jetzt
die t-Verteilung anstelle der standardisierten Normalverteilung zu nehmen ist. Im Vergleich zu Beispiel 14.9
ist der nicht-kritische Bereich jetzt ein größeres Intervall.
2
Beispiel 14.11:
Die Länge von Schrauben, welche in Serienproduktion gefertigt werden, kann als normalverteilt angesehen
werden. Aus Erfahrung ist bekannt, dass für die Varianz gilt: σ02 = 1.44 mm2 . Die Auswertung einer Stichprobe von 25 Schrauben ergab jedoch eine Stichprobenvarianz von s2 = 2.25 mm2 .
Bei einem Signifikanzniveau von 0.01 soll getestet werden, ob diese Abweichung zufallsbedingt ist oder ob
die Varianz σ02 signifikant überschritten wird.
Es handelt sich um einen einseitigen Test für die Varianz σ 2 einer Normalverteilung. Dieser wird wie folgt
durchgeführt.
1) Nullhypothese H0 : σ 2 ≤ σ02 = 1.44 mm2 , Alternativhypothese H1 : σ 2 > σ02
2) Die Signifikanzzahl (Signifikanzniveau) ist vorgegeben: α = 0.01.
3) Testvariable: T = (n − 1)
S2
σ02
4) Bestimmung des (1 − α)-Quantils der χ2 -Verteilung mit (n − 1) Freiheitsgraden (aus der Tabelle):
χ2n−1;1−α = χ224;0.99 = 43.0 und Festlegung des nicht-kritischen Bereiches: T ≤ 43.0
5) Die Varianz s2 der Stichprobe ist vorgegeben: s2 = 2.25 mm2 . Der Test- oder Prüfwert wird berechnet:
t̂ = (n − 1)
s2
2.25 mm2
= 37.5.
=
24
·
1.44 mm2
σ02
6) Testentscheidung: Es gilt: t̂ = 37.5 < 43.0, d.h. die Testvariable fällt in den nicht-kritischen Bereich
⇒ Nullhypothese H0 : σ 2 ≤ σ02 = 1.44 mm2 wird nicht abgelehnt.
Der durchgeführte Test liefert die Aussage, dass die Überschreitung der Varianz mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.01 als zufallsbedingt angesehen werden kann.
3
Beispiel 14.12 (Fortsetzung zum Text im Skript):
1) Nullhypothese H0 : µ = µ0 = 0, Alternativhypothese H1 : µ 6= µ0
2) Festlegung einer Signifikanzzahl: α = 0.01
3) Testvariable: T =
Z − µ0
√
S/ n
4) Bestimmung des (1 − α/2)-Quantils der t-Verteilung mit n − 1 Freiheitsgraden (aus der Tabelle):
t5;1−0.01/2 = t5;0.995 = 4.032 und Festlegung des nicht-kritischen Bereiches: −4.032 ≤ T ≤ 4.032
(oder: |T | ≤ 4.032)
5) Berechnung des Mittelwertes z und der Standardabweichung s der vorliegenden Stichprobe (siehe obige
Tabelle für zi ):
1
· (2.3 + 2.9 + 1.9 + 0.4 + 2.2 + 1.1) = 1.8 (in Ω)
6
√
1
s2 = · (2.32 + 2.92 + 1.92 + 0.42 + 2.22 + 1.12 − 6 · 1.82 ) = 0.816 (in Ω2 ), s = 0.816 ≈ 0.903 (in Ω)
5
z =
sowie des Test- oder Prüfwertes:
t̂ =
1.8 Ω − 0 Ω
z − µ0
√ =√
√ = 4.881.
s/ n
0.816 Ω2 / 6
6) Testentscheidung: Für den berechneten Testwert t̂ = 4.881 gilt: t̂ > 4.032. Somit liegt er außerhalb
des nicht-kritischen Bereiches ⇒ Die Nullhypothese H0 : µ = µ0 wird zugunsten der Alternativhypothese H1 abgelehnt.
Auf Grund der vorliegenden Stichprobe ist mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.01 davon auszugehen,
dass die verglichenen Messmethoden nicht gleichwertig sind.
4
Beispiel 14.13 (Fortsetzung zum Text im Skript):
Gemäß der beschriebenen Vorgehensweise sind die folgenden Schritte durchzuführen.
1) Nullhypothese H0 : F (x) = F0 (x) , Alternativhypothese H1 : F (x) 6= F0 (x)
(F0 (x): Verteilungsfunktion der diskreten Gleichverteilung, siehe auch Beispiel 14.2)
2) Festlegung eines Signifikanzniveaus: α = 0.05
3), 4) Die Unterteilung der Stichprobenwerte in k Klassen (hier: k = 6) und die zugehörigen absoluten Klassenhäufigkeiten
sowie die hypothetischen Wahrscheinlichkeiten pi = P (X ∈ Ii ) = 16 und die Anzahl
n∗i = npi = 120 · pi der theoretisch erwarteten Stichprobenwerte sind in der nachfolgenden Tabelle
dargestellt.
Klasse
(Augenz. i)
ni
pi
n∗i = npi
∆ni = ni − n∗i
(∆ni )2
n∗i
1
15
1
6
20
−5
25
20
2
19
1
6
20
−1
1
20
3
22
1
6
20
2
4
20
4
21
1
6
20
1
1
20
5
17
1
6
20
−3
9
20
6
26
1
6
20
6
36
20
Σ
120
1
120
0
76
20
Eine nachträgliche Zusammenlegung von Klassen ist offensichtlich nicht erforderlich.
5) Testvariable: T =
k
X
(Ni − n∗ )2
i
n∗i
i=1
=
k
X
(Ni − npi )2
i=1
npi
(Ni : beobachtete Anzahl der Stichprobenwerte in der i-ten Klasse)
6) Bestimmung des (1 − α) -Quantils der χ2 -Verteilung mit (k − r − 1) Freiheitsgraden
(r: Anzahl der geschätzten Parameter von F0 (x); hier: r = 0, da die diskrete Gleichverteilung nicht
parameterabhängig ist): χ2k−r−1; 1−α = χ26−0−1; 1−0.05 = χ25;0.95 = 11.1
und Festlegung des nicht-kritischen Bereiches: T ≤ 11.1
7) Berechnung des Testwertes (siehe obige Tabelle):
t̂ =
k
X
(ni − n∗ )2
i
i=1
n∗i
=
k
X
(ni − npi )2
i=1
npi
=
76
= 3.8
20
8) Testentscheidung: Für den berechneten Testwert gilt: t̂ = 3.8 < 11.1 , d.h. er fällt in den nichtkritischen Bereich ⇒ Die Nullhypothese H0 wird nicht abgelehnt.
Auf Grund der vorliegenden Stichprobe besteht (bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.05) kein Anlass,
die diskrete Gleichverteilung der Augenzahlen anzuzweifeln.
5
Beispiel 14.14:
Die Bedienzeit an einem Schalter wird zunächst als eine ZV T mit unbekannter Verteilung angesehen.
Um Erkenntnisse über die Verteilung von T zu gewinnen, wurde eine Stichprobe vom Umfang n = 100 erhoben, d.h. bei insgesamt 100 Kunden wurde jeweils die Bedienzeit erfasst. Durch Gruppierung der erhaltenen
Stichprobenwerte ergab sich die folgende Häufigkeitstabelle:
Bedienzeit
Anzahl Kunden
T ∈ [0, 1)
60
T ∈ [1, 2)
25
T ∈ [2, ∞)
15
Die Hypothese Die ZV T unterliegt einer Exponentialverteilung mit dem Parameter λ = 1“ soll mit Hilfe
”
eines χ2 -Tests überprüft werden.
Durchführung des Tests:1
1) Nullhypothese H0 : F (x) = F0 (x) , Alternativhypothese H1 : F (x) 6= F0 (x)
Dabei bezeichnet F0 (x) die Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung mit dem Parameter λ = 1.
2) Festlegung eines Signifikanzniveaus: α = 0.05
3) Unterteilung der n Stichprobenwerte in k Klassen I1 , I2 , . . . , Ik und Feststellung der absoluten Klassenhäufigkeiten: siehe obige Häufigkeitstabelle (es gilt: n = 100, k = 3)
4) Die nachfolgende Tabelle enthält die Größen, welche später zur Berechnung des Testwertes (siehe dazu
auch 5) und 7)) benötigt werden. Hinweis zur Berechnung der hypothetischen Wahrscheinlichkeiten pi :
Es gilt z.B. für i = 1: p1 = P (T ∈ I1 ) = P (T < 1) = F0 (1) = 1 − e−λ·1 = 1 − e−1 ≈ 0.6321,
siehe dazu auch: Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung mit dem Parameter λ im Abschnitt 13.4.4
des Vorlesungsskriptes.
i
Klasse Ii
ni
pi
n∗i = npi
∆ni = ni − n∗i
(∆ni )2
n∗i
1
[0, 1)
60
0.6321
63.21
-3.21
0.1630
2
[1, 2)
25
0.2325
23.25
1.75
0.1317
3
[2, ∞)
15
0.1353
13.53
1.47
0.1597
0.9999 ≈ 1
99.99 ≈ 100
0.01 ≈ 0
0.4544
Σ
5) Testvariable: T =
k
X
(Ni − n∗ )2
i
i=1
n∗i
=
k
X
(Ni − npi )2
npi
i=1
(Ni : beobachtete Anzahl der Stichprobenwerte in der i-ten Klasse)
6) Bestimmung des (1 − α) -Quantils der χ2 -Verteilung mit (k − r − 1) Freiheitsgraden: χ2k−r−1; 1−α
In diesem Fall gilt: k = 3 (Anzahl der Klassen), r = 0 (keine geschätzten Parameter)
und somit χ2k−r−1; 1−α = χ22; 1−0.05 = 5.99; nicht-kritischer Bereich: T ≤ 5.99
7) Berechnung des Testwertes
t̂ =
k
X
(ni − npi )2
i=1
npi
=
k
X
(ni − n∗ )2
i
i=1
n∗i
=
k
X
(∆ni )2
i=1
n∗i
= 0.4544
(siehe ganz unten rechts in der Tabelle im Schritt 4))
8) Testentscheidung: Da 0.4544 < 5.99 gilt, wird die Nullhypothese H0 nicht abgelehnt.
1
Es werden die im Vorlesungsskript auf S. 93 aufgeführten Arbeitsschritte durchgeführt.
6