Probeklausur

Dr. S. Wiesendorf
Sommersemester 2016
Probeklausur
Bei den folgenden Aufgaben handelt es sich um Klausuraufgaben
der letzten beiden Jahre
Aufgabe 1. Zeigen Sie mittles vollständiger Induktion, dass
für jede natürliche Zahl n ≥ 1 gilt:
n
X
2k = 2n+1 − 1.
k=0
Aufgabe 2. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem
x
x
x
−y
+a(a + 1)y
+a(a + 1)y
+3z
+2az
+4z + 2az
=
=
=
4
3a + 1
5 + 3a.
(a) Lösen Sie das lineare Gleichungssystem in den Unbekannten x, y, z ∈ R in
Abhängigkeit des Parameters a ∈ R.
(b) Für welche Werte des Parameter a ∈ R hat das Gleichungssystem keine
Lösung/eine Lösung/unendlich viele Lösungen?
Aufgabe 3. Im Rahmen einer Studie wurde das Wachstum von Bäumen (in m)
innerhalb von 3 Jahren und der pH-Wert der jeweiligen Böden festgehalten:
pH-Wert Xi
Wachstum in m Yi
7.35 7.65 7.75 7.8
7.2 7.10 6.8 6.9
7.9 8.0 8.05 8.3
5.45 4.8 4.2 3.75
8.35 8.5 8.7
3.20 2.75 2.3
Tabelle 1. Datensatz pH-Werte der Böden und Wachstum der Bäume
(a) Zeichnen Sie einen Boxplot, der den pH-Wert der Böden darstellt. Gehen
Sie dafür wie folgt vor:
(i) Berechnen Sie die benötigten Quantile.
(ii) Berechnen Sie das arithmetische Mittel der pH-Werte.
(iii) Geben Sie die minimale und maximale Ausprägung an.
(iv) Fassen Sie die Daten in einem Boxplot zusammen.
(b) Berechnen Sie die Regressionsgerade, mittels der die pH-werte der Böden
in Abhängigkeit von dem Wachstum der Bäume beschrieben wird. Gehen
Sie dabei folgendermaßen vor:
(i) Geben Sie die Formel für die Regressionsgerade an.
(ii) Berechnen Sie das arithmetische Mittel des Wachstums der Bäume.
(iii) Berechnen Sie die Varianz der pH-Werte.
(iv) Berechnen Sie die Kovarianz zwischen den pH-Werten und dem Wachstum der Bäume.
(v) Geben Sie nun die Regressionsgerade in der Form y(x) = m · x + b an;
m, b ∈ R. Bestimmen Sie dabei b und m.
(vi) Welches Wachstum innerhalb von 3 Jahren lässt sich demnach bei
einem Baum vermuten, bei dem der Boden einen pH-Wert von 7 hat.
Aufgabe 4. Gegeben sei die Differentialgleichung
y 0 (x) · exp(y(x)) − 1 = 0.
(a) Bestimmen Sie die Lösungen der gegebenen Differentialgleichung mithilfe
der ’Trennung der Variablen’.
(b) Überprüfen Sie, ob Ihre Lösungen aus (a) richtig sind, indem Sie diese in
die gegebene Differentialgleichung einsetzen.
Aufgabe 5. Eine Kandidatin K spielt bei einem Quiz mit. Zuerst muss sie eins
von vier Türchen wählen, wobei hinter einem der Türchen eine schwere Frage auf
sie wartet, hinter den anderen drei Türchen eine leichte. Schwere Fragen kann K
mit 40% Wahrscheinlichkeit beantworten, leichte mit 80%.
(a) Ermitteln Sie, wie groß die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass K die richtige
Antwort auf die gewählte Frage weiß.
(b) Ein Freund F der Kandidatin K verlässt kurz das Studio, bevor K das
Türchen wählt, und bekommt erst wieder mit, wie K Applaus für die richtige Antwort bekommt. Geben Sie an, mit welcher Wahrscheinlichkeit F
in der gegebenen Situation das Ereignis ’K erwischt die schwere Frage’
bewertet.
Aufgabe 6. Eine stetige Zufallsvariable X ist exponentialverteilt mit Parameter
λ > 0, wenn ihre Wahrscheinlichkeitsdichte gegeben ist durch die Funktion:
λe−λx , für x ≥ 0,
f (x) =
0,
für x < 0.
(a) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion F (x) der Zufallsvariable X.
(b) Zeigen Sie, dass für die Zufallsvaribale X gilt:
P (X > s + t|X > s) = P (X > t),
s, t > 0.
Formen Sie dazu zunächst P (X > s + t|X > s) mit Hilfe der Formel für
die bedingte Wahrscheinlichkeit um und verwenden Sie anschließend die in
(a) berechnete Verteilungsfunktion.
Aufgabe 7. Die Länge der erwachsenen Ringelnattern (natrix natrix) wird in der
Literatur mit 100 bis 130 cm angegeben. Dabei sind aber die Weibchen im Durchschnitt länger als die Männchen. Ein Zoologe hat bei 11 Weibchen die folgenden
Längen (in cm) beobachtet:
124, 134, 117, 128, 120, 135, 109, 117, 125, 124, 131.
Nehmen Sie an, dass die Länge der Ringelnatter annähernd normalverteilt ist und
bestimmen Sie ein 95%-iges konkretes Konfidenzintervall für die erwartete Länge
einer weiblichen Ringelnatter. Gehen Sie dazu wie folgt vor:
(i) Geben Sie die Formel für das gesuchte konkrete Konfidenzintervall an.
(ii) Bestimmen Sie die zur Berechnung des konkreten Konfidenzintervalls aus
(i) benötigten Werte.
(iii) Berechnen Sie das konkrete Konfidenzintervall.
Aufgabe 8. Für Tulpenzwiebeln wird eine Keimfähigkeit von genau 80% garanatiert. In einer Stichprobe von n = 100 keimten 35 Zwiebeln. Liegt eine signifikante
Abweichung vom garantierten Ergebnis vor?
(a) Formulieren Sie die zu überprüfende Nullhypothese, sowie die entsprechende Alternativhypothese und zeigen Sie, dass der Stichprobenumfang n hinreichend groß ist, um den Binomialtest anwenden zu können.
(b) Überprüfen Sie mithilfe eines Binomialtests die Nullhypothese bei einem
Signifikanzniveau von α = 2, 5%. Gehen Sie dazu wie folgt vor:
(i) Geben Sie die Bedingung an, unter der die Nullhypothese angenommen
wird.
(ii) Bestimmen Sie das benötigte Quantil.
(iii) Geben Sie an, ob die Nullhypothese angenommen wird.