Aufgabe 1. (6 Punkte) Beweisen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion

—— T E I L I ——
Aufgabe 1.
(6 Punkte)
Beweisen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion die nachfolgende Aussage:
Für jede natürliche Zahl n ≥ 1 gilt
n
1
1
∑ k · (k + 1) = 1 − n + 1 .
k=1
Aufgabe 2.
(4 Punkte)
Bestimmen Sie die Eigenwerte und die zugehörigen Eigenvektoren der Matrix
−1 2
A=
.
2 −1
Aufgabe 3.
(12 Punkte)
Die folgende Tabelle aus seriösen Quellen gibt Auskunft über die Anzahl der Storchenpaare und die Anzahl
der Geburten (in Tausend) in den Jahren 1970 bis 1976 in Köln.
Jahr
Anzahl der Storchenpaare
Anzahl der Geburten (in Tausend)
1970
132
55
1971
142
55
1972
166
70
1973
188
65
1974
235
60
1975
250
70
1976
252
80
Tabelle 1: Datensatz Storchenpaare und Geburten
(i) (5 Punkte) Zeichnen Sie einen Boxplot, der die Anzahl der Geburten darstellt. Gehen Sie dafür wie
folgt vor:
(i.1) Berechnen Sie die benötigten Quantile.
(i.2) Berechnen Sie das arithmetische Mittel der Anzahl der Geburten.
(i.3) Geben Sie die minimale und maximale Ausprägung an.
(i.4) Fassen Sie die Daten in einem Boxplot zusammen.
(ii) (7 Punkte) Berechnen Sie die Regressionsgerade mittels der die Anzahl der Geburten in Abhängigkeit
der Anzahl der Storchenpaare beschrieben wird. Gehen Sie dabei folgendermaßen vor:
(ii.1) Geben Sie die Formel für die Regressionsgerade an.
(ii.2) Berechnen Sie das arithmetische Mittel der Anzahl der Storchenpaare,
(ii.3) Berechnen Sie die Varianz der Anzahl der Storchenpaare,
(ii.4) Berechnen Sie die Kovarianz zwischen der Anzahl der Geburten und der Anzahl der Storchenpaare.
(ii.5) Berechen Sie nun die gesuchte Regressionsgerade und geben Sie den Funktionswert der Regressionsgerade an der Stelle x = 260 an.
Aufgabe 4.
(8 Punkte)
Gegeben sei die Differentialgleichung
y0 (x) + x2 y(x) = 0.
(i) (6 Punkte) Bestimmen Sie alle Lösungen der Differentialgleichung.
(ii) (2 Punkte) Überprüfen Sie, ob Ihre Lösungen aus (i) richtig sind, indem Sie diese in die gegebene
Differentialgleichung einsetzen.
—— T E I L II ——
Aufgabe 5.
(10 Punkte)
Eine Kandidatin K spielt bei einem Quiz mit. Zuerst muss sie eins von vier Türchen wählen, wobei hinter
einem der Türchen eine schwere Frage auf sie wartet, hinter den anderen drei Türchen eine leichte. Schwere
Fragen kann K mit 40% Wahrscheinlichkeit beantworten, leichte mit 80%.
(i) (5 Punkte) Ermitteln Sie, wie groß die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass K die richtige Antwort auf
die gewählte Frage weiß.
(ii) (5 Punkte) Ein Freund F der Kandidatin K verlässt kurz das Studio, bevor K das Türchen wählt,
und bekommt erst wieder mit, wie K Applaus für die richtige Antwort bekommt. Geben Sie an, mit
welcher Wahrscheinlichkeit F in der gegebenen Situation das Ereignis ’K erwischt die schwere Frage’
bewertet.
Aufgabe 6.
(8 Punkte)
Eine stetige Zufallsvariable X ist exponentialverteilt mit Parameter λ > 0, wenn ihre Wahrscheinlichkeitsdichte gegeben ist durch die Funktion:
f (x) =
λe−λx , für x ≥ 0,
0,
für x < 0.
(i) (4 Punkte) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion F(x) der Zufallsvariable X.
(ii) (4 Punkte) Zeigen Sie, dass für die Zufallsvaribale X gilt:
P(X > s + t|X > s) = P(X > t),
s,t > 0.
Formen Sie dazu zunächst P(X > s + t|X > s) mit Hilfe der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit um und verwenden Sie anschließend die in (i) berechnete Verteilungsfunktion.
Aufgabe 7.
(6 Punkte)
Die Länge der erwachsenen Ringelnattern (natrix natrix) wird in der Literatur mit 100 bis 130 cm angegeben.
Dabei sind aber die Weibchen im Durchschnitt länger als die Männchen. Ein Zoologe hat bei 11 Weibchen
die folgenden Längen (in cm) beobachtet:
124, 134, 117, 128, 120, 135, 109, 117, 125, 124, 131.
Nehmen Sie an, dass die Länge der Ringelnatter annähernd normalverteilt ist und bestimmen Sie ein 95%iges konkretes Konfidenzintervall für die erwartete Länge einer weiblichen Ringelnatter. Gehen Sie dazu
wie folgt vor:
(i) (1 Punkt ) Geben Sie die Formel für das gesuchte konkrete Konfidenzintervall an.
(ii) (4 Punkte) Bestimmen Sie die zur Berechnung des konkreten Konfidenzintervalls aus (i) benötigten
Werte.
(iii) (1 Punkt ) Berechnen Sie das konkrete Konfidenzintervall.
Aufgabe 8.
(6 Punkte)
Für Tulpenzwiebeln wird eine Keimfähigkeit von genau 80% garanatiert. In einer Stichprobe von n = 100
keimten 35 Zwiebeln. Liegt eine signifikante Abweichung vom garantierten Ergebnis vor?
(i) (1,5 Punkte) Formulieren Sie die zu überprüfende Nullhypothese, sowie die entsprechende Alternativhypothese und zeigen Sie, dass der Stichprobenumfang n hinreichend groß ist, um den Binomialtest
anwenden zu können.
(ii) (4,5 Punkte) Überprüfen Sie mit Hilfe eines Binomialtests die Nullhypothese bei einem Signifikanzniveau von α = 2, 5%. Gehen Sie dazu wie folgt vor:
(ii.1) Geben Sie die Bedingung an, unter der die Nullhypothese angenommen wird.
(ii.2) Bestimmen Sie das benötigte Quantil.
(ii.3) Geben Sie an, ob die Nullhypothese angenommen wird.
.BUIFNBUJL4UBUJTUJL/PSNBMWFSUFJMVOHTUBCFMMF
/PSNBMWFSUFJMVOHTUBCFMMF
&SMaVUFrVOHFO[VS/PSNBMWFSUFJMVOHTUBCFMMF
%JFGFUUHFESVDLUFO8FSUFTJOEEJF"VTQS`HVOHFO[EFSTUBOEBSEOPSNBMWFSUFJMUFO;VGBMMTWBSJBCMFO;EJFWJFSTUFMMJHFO
;JGGFSOJOEFS5BCFMMFTFMCTUTUFMMFOEJF[V[HFIaSJHFO7FSUFJMVOHTXFSUFEBSXPCFJXFHHFMBTTFOXVSEF
&TJTUCFJTQJFMTXFJTF1;`
[
Student-t-Verteilung
Tabelliert sind die Quantile der Student-t-Verteilung für ausgewählte Werte ihrer
Verteilungsfunktion und einige Werte der Freiheitsgrade.
Freiheitsgrade
0.9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
200
∞
3.078
1.886
1.638
1.533
1.476
1.440
1.415
1.397
1.383
1.372
1.363
1.356
1.350
1.345
1.341
1.337
1.333
1.330
1.328
1.325
1.323
1.321
1.319
1.318
1.316
1.315
1.314
1.313
1.311
1.310
1.303
1.299
1.296
1.294
1.292
1.291
1.290
1.289
1.289
1.288
1.288
1.287
1.286
1.282
Werte der Verteilungsfunktion
0.95
0.975
0.99
6.314
12.706
31.821
2.920
4.303
6.965
2.353
3.182
4.541
2.132
2.776
3.747
2.015
2.571
3.365
1.943
2.447
3.143
1.895
2.365
2.998
1.860
2.306
2.896
1.833
2.262
2.821
1.812
2.228
2.764
1.796
2.201
2.718
1.782
2.179
2.681
1.771
2.160
2.650
1.761
2.145
2.624
1.753
2.131
2.602
1.746
2.120
2.583
1.740
2.110
2.567
1.734
2.101
2.552
1.729
2.093
2.539
1.725
2.086
2.528
1.721
2.080
2.518
1.717
2.074
2.508
1.714
2.069
2.500
1.711
2.064
2.492
1.708
2.060
2.485
1.706
2.056
2.479
1.703
2.052
2.473
1.701
2.048
2.467
1.699
2.045
2.462
1.697
2.042
2.457
1.684
2.021
2.423
1.676
2.009
2.403
1.671
2.000
2.390
1.667
1.994
2.381
1.664
1.990
2.374
1.662
1.987
2.368
1.660
1.984
2.364
1.659
1.982
2.361
1.658
1.980
2.358
1.657
1.978
2.355
1.656
1.977
2.353
1.655
1.976
2.351
1.653
1.972
2.345
1.645
1.960
2.326
0.995
63.656
9.925
5.841
4.604
4.032
3.707
3.499
3.355
3.250
3.169
3.106
3.055
3.012
2.977
2.947
2.921
2.898
2.878
2.861
2.845
2.831
2.819
2.807
2.797
2.787
2.779
2.771
2.763
2.756
2.750
2.704
2.678
2.660
2.648
2.639
2.632
2.626
2.621
2.617
2.614
2.611
2.609
2.601
2.576
0.9995
636.578
31.600
12.924
8.610
6.869
5.959
5.408
5.041
4.781
4.587
4.437
4.318
4.221
4.140
4.073
4.015
3.965
3.922
3.883
3.850
3.819
3.792
3.768
3.745
3.725
3.707
3.689
3.674
3.660
3.646
3.551
3.496
3.460
3.435
3.416
3.402
3.390
3.381
3.373
3.367
3.361
3.357
3.340
3.290