1. Klausur - Lehrer-Uni

2014-02-06
Klausur Nr. 1
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Pflichtteil
Keine Hilfsmittel gestattet, bitte alle Lösungen auf dieses Blatt.
Name:
0. Für Pflicht- und Wahlteil gilt: saubere und übersichtliche Darstellung, klar ersichtliche
VP
Rechenwege, Antworten in ganzen Sätzen und Zeichnungen mit spitzem Bleistift bringen
/2
Ihnen bis zu 2 Punkte.
1. Erklären Sie, was der GTR bei pdfbin(n,p,k) und cdfbin(n,p,k) berechnet.
2. Notieren Sie für eine Bernoulli-Kette der Länge fünf die Formel für die Wahrscheinlichkeit
/2
/3
für genau zwei Treffer bei einer Trefferwahrscheinlichkeit von zehn Prozent und berechnen Sie den Wert genau.
3. Ein Würfel wird 256-mal geworfen. Die Zufallsvariable
beschreibt, wie oft eine gerade
Zahl gewürfelt wird.
a) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung von .
b) Geben Sie das Intervall an, in dem nach den
-Regeln die Werte von
mit einer
Wahrscheinlichkeit von ca. 99,7% liegen.
… bitte wenden!
/4
2014-02-06
VP
4. Sind die folgenden Aussagen jeweils wahr oder falsch?
/4
Begründen Sie kurz, wenn Sie sich für falsch entscheiden.
a) Durch einen Test findet man heraus, ob die Nullhypothese wahr ist.
b) Bei einem zweiseitigen Signifikanztest mit Signifikanzniveau 1% sind a und b die
Grenzen des Ablehnungsbereichs mit
0,5% und
0,5%.
c) Der Fehler 1. Art gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass man die Nullhypothese nicht
ablehnt, obwohl sie falsch ist.
d) Das Signifikanzniveau gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass die Nullhypothese falsch
ist.
Sobald Sie diesen Pflichtteil abgegeben haben, können Sie Ihren grafikfähigen Taschenrechner (GTR) und die Formelsammlung für die Bearbeitung des Wahlteils verwenden.
Klausur Nr. 1
2014-02-06
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Wahlteil
Verwendung von GTR und Formelsammlung ist gestattet,
bitte alle Lösungen auf den Doppelbogen.
Name:
5. Smartphones werden immer beliebter. Ein Sechstel aller Handy-
VP
Besitzer besitzt bereits ein Smartphone.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse.
/6
Notieren Sie dabei, was die Zufallsvariable beschreibt, sowie jeweils ihre Verteilung und welche Wahrscheinlichkeit Sie berechnen.
A: Von 100 zufällig ausgewählten Handy-Besitzern besitzen genau 15 ein
Smartphone.
B: Von 200 zufällig ausgewählten Handy-Besitzern besitzen mindestens 25
ein Smartphone.
C: Von 200 zufällig ausgewählten Handy-Besitzern besitzen mindestens 32
und weniger als 38 ein Smartphone.
b) In der Produktion eines führenden Herstellers werden 4% aller Geräte fehler-
/4
haft hergestellt. Es wird der Einfachheit halber angenommen, dass die Fehler
zufällig und unabhängig voneinander auftreten.
Bestimmen Sie die Anzahl von Geräten, die der laufenden Produktion mindestens entnommen werden müssen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99% mindestens ein fehlerhaftes Gerät zu erhalten.
c) Durch eine Produktionsumstellung konnte der Fehleranteil auf 2% gesenkt
werden. Bei einer Charge, die vor zwei Wochen produziert wurde, fehlte die
Information, ob es sich bereits um eine bessere mit nur 2% Ausschuss handelt
oder um eine mit 4% Ausschuss. Um dies zu entscheiden, wurde eine Stichprobe von 200 Smartphones ausgewählt und die Anzahl der defekten Smartphones in der Stichprobe gezählt. Als Entscheidungsregel wurde festgelegt:
Befinden sich in der Stichprobe mehr als 5 defekte Smartphones, wird angenommen, dass es sich um eine Charge aus der Produktion mit 4% Ausschuss
handelt, sonst um eine aus der Produktion mit 2% Ausschuss.
Gehen Sie von der Nullhypothese „Die Charge stammt aus der Produktion mit
2% Ausschuss“ aus.
Beschreiben Sie, welche beiden Fehler bei dieser Entscheidungsregel auftreten können und berechnen Sie deren Wahrscheinlichkeit.
… bitte wenden!
/4
2014-02-06
VP
d) Die Herstellerfirma rechtfertigte die letzte Preiserhöhung mit der Behauptung,
/4
dass nach einer Verbesserung der Produktion nun maximal 1% aller Smartphones defekt sei. Ein Großhändler, der von der Preiserhöhung betroffen ist,
bezweifelt diese Behauptung und möchte sie daher mit Hilfe eines Hypothesentests überprüfen. Er entnimmt dazu der Lieferung zufällig eine Stichprobe
von 1.000 Stück und testet die Hypothese:
:
0,01.
Geben Sie an, um was für einen Test es sich handelt.
Ermitteln Sie eine Entscheidungsregel für die angegebene Hypothese auf
Grundlage der Stichprobe mit einem Signifikanzniveau von
5%.
Viel Erfolg!
Notenschlüssel siehe
Erwartungshorizont siehe
http://www.hoeger.org
Schule
Notengebung
http://www.hoeger.org/M12/m12_3_1314_wk-rechnung.pdf
Rückgabe am 13. Februar 2014
Note:
mündlich:
Arithmetisches Mittel:
von 33 VP
2014-02-06
Klausur Nr. 1
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Pflichtteil
keine Hilfsmittel gestattet, bitte alle Lösungen auf dieses Blatt.
Erwartungshorizont
0. Für Pflicht- und Wahlteil gilt: saubere und übersichtliche Darstellung, klar ersichtliche
VP
Rechenwege, Antworten in ganzen Sätzen und Zeichnungen mit spitzem Bleistift bringen
/2
Ihnen bis zu 2 Punkte.
1. Erklären Sie, was der GTR bei pdfbin(n,p,k) und cdfbin(n,p,k) berechnet.
/2
pdfbin(n,p,k) berechnet die Wahrscheinlichkeit einer binomialverteilten Zufallsvariablen, bei n Versuchen genau k Treffer zu erhalten. cdfbin(n,p,k) ermittelt die Wahrscheinlichkeit, dabei höchstens k Treffer zu erhalten.
2. Notieren Sie für eine Bernoulli-Kette der Länge fünf die Formel für die Wahrscheinlichkeit
/3
für genau zwei Treffer bei einer Trefferwahrscheinlichkeit von zehn Prozent und berechnen Sie den Wert genau.
sei binomialverteilt mit ,
!
& '∙ ,
%
∙ ,)
!, -
!∙
∙
und .
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
, :
²
∙
3. Ein Würfel wird 256-mal geworfen. Die Zufallsvariable
)
)
+ )
beschreibt, wie oft eine gerade
Zahl gewürfelt wird.
a) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung von .
sei binomialverteilt mit ,
, ∙ .
0, ∙ . ∙
!/ und .
, !:
!/ ∙ , !
.
0 !/ ∙ , ! ∙ , !
√/
b) Geben Sie das Intervall an, in dem nach den
-Regeln die Werte von
mit einer
Wahrscheinlichkeit von ca. 99,7% liegen.
In der
-Umgebung des Erwartungswertes liegen die Werte von X mit einer
Wahrscheinlichkeit von ca. 99,7%:
,
! ,
Das gesuchte Intervall ist also "
; ! $.
… bitte wenden!
/4
2014-02-06
VP
4. Sind die folgenden Aussagen jeweils wahr oder falsch?
/4
Begründen Sie kurz, wenn Sie sich für falsch entscheiden.
a) Durch einen Test findet man heraus, ob die Nullhypothese wahr ist.
falsch
Man kann durch einen Test nicht entscheiden, ob die Nullhypothese 2 richtig
oder falsch ist, man versucht nur die Wahrscheinlichkeit für eine Fehlentscheidung bei der Ablehnung von 2 zu kontrollieren.
b) Bei einem zweiseitigen Signifikanztest mit Signifikanzniveau 1% sind a und b die
Grenzen des Ablehnungsbereichs mit
0,5% und
0,5%.
richtig
c) Der Fehler 1. Art gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass man die Nullhypothese nicht
ablehnt, obwohl sie falsch ist.
falsch
Der Fehler 1. Art ist die Wahrscheinlichkeit, dass man die Nullhypothese 2
ablehnt, obwohl sie zutrifft.
d) Das Signifikanzniveau gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass die Nullhypothese falsch
ist.
falsch
Das Signifikanzniveau ist die maximale Wahrscheinlichkeit, dass man die Nullhypothese 2 verwirft, obwohl sie richtig ist.
Sobald Sie diesen Pflichtteil abgegeben haben, können Sie Ihren grafikfähigen Taschenrechner (GTR) und die Formelsammlung für die Bearbeitung des Wahlteils verwenden.
2014-02-06
Erwartungshorizont Wahlteil
5. a) X beschreibt die Anzahl der Smartphone-Besitzer und ist binomialverteilt.
3
Ereignis A:
4
,
5
100,
7
3
Ereignis B:
1
3
Ereignis C:
4
,
5
9:;
4
8 &100; ; 15' < 0,1002 < 10,0%
5
6
25
25
1
24
4
,
5
32
32
4
[1 VP]
6 C 38
C 38
? &200; 5 ; 37'
[1 VP]
[1 VP]
9:;
4
? &200; 5 ; 24' < 0,9574 < 95,7%
200,
E
15
15
200,
8
6
[1 VP]
37
31
[1 VP]
9:;
4
? &200; 5 ; 31' < 0,4167 < 41,7%
[1 VP]
b) X beschreibt die Anzahl der fehlerhaften Geräte und ist binomialverteilt.
n ist gesucht:
1
0,99
1
1
0,04, 6
1
[1 VP]
0
[1 VP]
Betrachte die Tabelle der Zufallsvariable beim GTR von 1
für 3
8
; 0,04; 0 ,
113 wird erstmals die
[1 VP]
Wahrscheinlichkeit 99% überschritten, deshalb müssen der
laufenden Produktion mindestens
113 Geräte entnommen werden.
[1 VP]
c) X beschreibt die Anzahl der fehlerhaften Geräte und ist binomialverteilt.
: Die Charge stammt aus der Produktion mit 2% Ausschuss
Fehler 1. Art:
Die Nullhypothese wird abgelehnt, obwohl das Gerät der 2%-Charge angehört.
G5
1
5
1
9:;
? 200; 0.02; 5 < 0,2133 < 21,3%
[1 VP]
[1 VP]
Fehler 2. Art:
Die Nullhypothese wird nicht abgelehnt, obwohl das Gerät der 4%-Charge angehört. [1 VP]
5
9:;
? 200; 0.04; 5 < 0,1856 < 18,6%
[1 VP]
2014-02-06
d) X beschreibt die Anzahl der fehlerhaften Geräte und ist im Grenzfall binomialverteilt mit
n=1000 und p=0,01.
Testart:
Hierbei handelt es sich um einen rechtsseitigen Signifikanztest.
[1 VP]
Entscheidungsregel:
Gesucht ist die kleinste natürliche Zahl 6 mit
6
1
6
6
0,05.
1
Betrachte die Tabelle der Zufallsvariable beim GTR von 1
6
16 ist die kleinste natürliche Zahl,
so dass
6
[1 VP]
? 1000; 0,01;
1 ,
[1 VP]
0,05 gilt.
Der Ablehnungsbereich ist also
{16; 17; …; 1000}.
[1 VP]