Dimlights (Lösungen) Auf- gabe 1 (a) Zum Zeichnen des

Dimlights (Lösungen)
Aufgabe
1 (a)
Zum Zeichnen des Baumdiagramms werden Ereignisse vereinbart: Wu, Yu, Zu (Hersteller) sowie
D (DimLight) und nD (nicht DimLight). Die Wahrscheinlichkeit entlang der Pfade sind dem Text
zu entnehmen, die Pfadwahrscheinlichkeiten ergeben sich mit der Produktregel.
Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten ergeben sich mit Hilfe der Pfadregeln:
(i) P( D)  P(Wu  D)  P(Yu  D)  P(Zu  D) = 0,02 + 0,0231 + 0,02 = 0,061
(ii) P(Yu  nD)  P(Wu  nD)  P( Zu  nD) = 0,48 + 0,18 = 0,64
1 (b)
Für die drei Hersteller sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten für das Ereignis „DimLight unter
der Bedingung der Herstellung durch …“ zu bestimmen. Das Maximum dieser Wk. ist zu
ermitteln.
P( D  Wu ) 0,02
PD (Wu ) 

 0,3279 ;
P ( D)
0,061
Analog ergeben sich PD (Yu ) ≈ 0,3443 und PD ( Zu ) ≈ 0,3279.
Das Maximum ist bei Hersteller Yu erreicht. Die DimLight stammt somit mit größter
Wahrscheinlichkeit von Yu.
2
Abbildung 1: binomialCDF(k, n, p) berechnet die kumulierten Wahr-scheinlichkeiten, also P(X ≤
k).
Abbildung 2: binomialPDF(k, n, p) berechnet die Wahrscheinlichkeits-verteilung der
Zufallsvariablen X = „Anzahl der Treffer“ einer Bernoulli-Kette der Länge n und der
Trefferwahrscheinlichkeit p.
Zusammenhang: Da BinomialPDF eine Wk-Verteilung erzeugt, ergibt die Summe aller
Rechteckflächen 1. BinomialCDF summiert die Flächen, die BinomialPDF liefert auf, ist also die
Flächensummenfunktion zu BinomialPDF. BinomialCDF hat an der Stelle k den Funktionswert,
der dem Inhalt der ersten k Rechtecke der BinomialPDF-Abbildung entspricht. Folglich nimmt
BinomialCDF den maximalen Wert 1 an.
(Möglicherweise sehen die SuS eine Parallele zu Funktion und zugehöriger Integralfunktion.)
3 (a)(b)
Der Kauf der Lampen kann als Bernoulli-Kette der Länge 60 aufgefasst werden mit der
Trefferwahrscheinlichkeit p aufgefasst werden. Die Zufallsgröße ist X „Anzahl der DimLights“ ist
B(60; p, k) –verteilt.
 60 
a) P( X  2)     0,042  0,9658  0, 2654 (oder CAS-Befehl binomialPDF(2, 60, 0.04) mit
2
Erklärung)
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4
 60 
b) P( X  4)      0,07 k  0,9360 k ≈ 0,5885 (oder CAS-Befehl binomialCDF(0, 4, 60, 0.07)
0  k 
mit Erklärung)
3 (c)
Erwartungswert µ = n ∙ p = 60 ∙ 0,1 = 6.
Standardabweichung   n  p  (1  p)  60  0,1  0,9  2,32
In der 1,96σ – Umgebung des Erwartungswertes liegen mit 95%iger Wk die Werte der Zufallsvariablen X.
[µ - 1,96σ; µ + 1,96σ] ≈ [1,45; 10,5]
Also liegt die erwartete Anzahl von DimLights mit einer Wk von mind. 95% im Intervall [2,10].
4 (a)
X: Anzahl der „DimLights“ in der Stichprobe vom Umfang n = 200;
X ist B(200; 0,07)-verteilt. Als Signifikanzniveau wird 95% angenommen.
Der Hersteller will aus Sicherheitsgründen mit möglichst kleiner Wahrscheinlichkeit irrtümlich
von einer Verbesserung des Produkts ausgehen (p < 0,07), wenn sich tatsächlich nichts verändert hat (p ≥ 0,07). Daher wird als Nullhypothese H0 : p ≥ 0,07 festgelegt. Es handelt sich somit
um einen linksseitigen Hypothesentest.
Wird die Nullhypothese als gültig angenommen, ergibt sich als Annahmebereich das Intervall [8;
200] und entsprechend der Ablehnungsbereich [0; 7].
4 (b)
5 (a)
Einen Fehler 1. Art zu begehen heißt, die Nullhypothese abzulehnen, obwohl sie gültig ist.
7
 200 
i
200  i
  P(X  7)   
 0,0274 (oder: Mit CAS und Erklärung auch α = Bino  0,07  0,93
i 0  i 
mialCDF(0, 7, 200, 0.07)
Erweitert man den Ablehnungsbereich auf das Intervall [0; 8], so ist
8
 200 
i
200 i
  P(X  8)   
 0,0556 . Da dieser Wert größer als 5% ist, erfüllt die  0,07  0,93
i 0  i 
ser Ablehnungsbereich das vorgegebene Signifikanzniveau von 5% nicht. Somit ist der gewählte
Ablehnungsbereich optimal.
X<8
Nein
┐
│
┘
Ablehnung von H0
┐
│
┘
Annahme von H0
X=8
Ja
X>8
5 (b)
Ist eine mögliche graphische Darstellung der Entscheidungsregel.
Wie oben gibt die Zufallsvariable X die Anzahl der „DimLights“ in der Stichprobe vom Umfang n
= 200 an; p ≥ 0,07. Das Ergebnis der Stichprobe liegt nun im Ablehnungsbereich, wenn entweder
X < 8 ist oder X = 8 und das anschließende Zufallsexperiment das Ergebnis „nein“ hat. Von 5 Kugeln sind k mit „Ja“ beschriftet, also p(Ja) = 0,2 k.
Α = P(Fehler 1. Art) = P(X < 8) + (1 – 0,2 k) ∙ P(X = 8) = P(X ≤ 7) +
 200 
8
192
(1 – 0,2 k) ∙ P(X = 8) ≈ 0,0274  (1  0, 2k )  
  0,07  0,93 = 0,0274 + 0,0282 – 0,0056 k =
8


0,0556 – 0,056k.
Um das Signifikanzniveau von 5% vollständig auszuschöpfen, muss gelten: 0,0556 – 0,0056k =
0,05 bzw. k ≈ 1.
Somit ist eine der fünf Kugeln mit „ja“ zu beschriften.
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