Übungsaufgaben Kapitel 4

Übungsaufgaben: Schließende Statistik
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Aufgabe 1
Die Herstellung eines Teils muss verschiedenen Anforderungen genügen. Unter
anderen wird ein Loch in ein Blech gestanzt. Die Anforderungen an den Durchmesser
des Loches sind wie folgt:
•
•
•
Sollwert (Zielwert): 12,15 mm
obere Toleranzgrenze: 12,25 mm
untere Toleranzgrenze: 12,05 mm
Der Durchmesser sei normalverteilt. Aus einer Stichprobe vom Umfang n = 30 für den
Wellendurchmesser wurden folgende statistische Maßzahlen geschätzt:
•
•
X = 12,12 mm
σˆ = 0,04 mm
a) Wie hoch ist der Fehleranteil, wenn X = µ gilt und σ der oberen Grenze des 90%Konfidenzintervalls für σ̂ entspricht?
b) Wie hoch ist der Fehleranteil, wenn σ̂ = σ gilt und µ der unteren Grenze des 95%Konfidenzintervalls X entspricht? (Gaußstatistik)
Aufgabe 2
Bei einer Produktion sind in jüngster Zeit immer wieder technische Probleme
aufgetreten, so dass sich der Produktionsleiter nicht mehr sicher ist, ob die Anlage noch
mit der normalen Ausschussquote von 10 % arbeitet. Im Rahmen der
Qualitätssicherung werden deshalb regelmäßig Zufallsstichproben vom Umfang 100
entnommen, in denen jeweils die Ausschussquote festgestellt wird.
a) Bestimmen Sie ein 99%-Schwankungsintervall für die Anzahl der defekten Bauteile
in einer solchen Stichprobe unter der Annahme, dass die Produktionsanlage noch
mit der normalen Ausschussquote arbeitet! (Interpretation?)
b) In der neusten Stichprobe waren 15 Bauteile defekt. Bestimmen Sie ein 99%Konfidenzintervall für die Ausschussquote in der Produktion! (Interpretion?)
c) Der Produktionsleiter benutzt die Stichproben jeweils zu einem Test, ob die
Ausschussquote in der Produktion nicht über 10% angestiegen ist. Formulieren Sie
die Nullhypothese und geben Sie den kritischen Bereich bei einem Signifikanzniveau
von 1% an! Bei wie vielen defekten Bauteilen in der Stichprobe wird die
Nullhypothese abgelehnt?
d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man die Nullhypothese im obigen Test
nicht ablehnt, wenn die Ausschussquote tatsächlich auf 18% gestiegen ist?
Dr. Lorenz Braun
Version: März 03
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Aufgabe 3
Eine Studentenbefragung zur Beurteilung der didaktischen Fähigkeiten eines
Professors ergab als Intervallschätzung für die Durchschnittsnote das Intervall
[2,712; 3,888] bei einer Varianz in der Grundgesamtheit von 2,25 und einer
Aussagesicherheit von 0,95.
a) Geben Sie eine Punktschätzung für die Durchschnittsnote!
b) Liefert das von Ihnen zur Beantwortung der Frage in a) verwendete Schätzverfahren
eine erwartungstreue Schätzfunktion? (Stichwortartige Begründung erforderlich!)
c) Wie groß war der Stichprobenumfang?
d) Welche Voraussetzungen
erforderlich?
waren
für
die
Berechnung
des
Schätzintervalls
Aufgabe 4
In einem Unternehmen mit 4000 Beschäftigten will man mit Hilfe einer Stichprobe ohne
Zurücklegen die durchschnittliche monatliche Überstundenzahl der Beschäftigten
abschätzen.
a) Die Intervallschätzung soll bei einem Konfidenzniveau von 95 % eine Genauigkeit
von maximal 36 Minuten aufweisen. Wie groß muss der Stichprobenumfang gewählt
werden, wenn man aufgrund früherer Erhebungen weiß, dass σ2 ≤ 25 [Stunden2]
ist?
b) Bei einer Stichprobe vom Umfang 400 ergibt sich µˆ = 10 [Stunden] und σˆ 2 = 15
[Stunden2]. Geben Sie ein 95 %-Konfidenzintervall für die durchschnittliche
monatliche Überstundenzahl je Beschäftigten und für die Gesamtüberstundenzahl
im Unternehmen an!
Aufgabe 5
Gegeben seien zwei unabhängig normalverteilte Grundgesamtheiten X und Y mit
µ x = 3, µ y = 7
und
σx = σy = 1
Aus beiden Grundgesamtheiten werden jeweils 2 Einzelstichproben entnommen mit
x1 = 2,5
x2 = 5,5
y1 = 4,5
y2 = 8,5
a) Skizzieren Sie die Verteilungen der beiden Grundgesamtheiten und tragen Sie die
Stichprobenwerte in die Verteilungen ein.
b) Erläutern Sie anhand Ihrer Grafik den Fehler 1. und 2. Art bei statistischen Tests,
wenn X der zu prüfenden Testverteilung entspricht (H0: X ∼ N(3,1)). Treffen Sie
dabei eine sinnvolle Annahme für die α-Grenze.
Dr. Lorenz Braun
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Aufgabe 6
Eine Portionieranlage zur Fabrikation von Konfitüre in 250g Paketen führt stets zu
normalverteilten Packungsgewichten mit einer Varianz von 36 (g2). Die Anlage wird
regelmäßig auf die Einhaltung des Füllgewichts mittels einfacher Stichproben vom
Umfang n = 9 überprüft.
a) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art, wenn der Nicht-Ablehnungsbereich eines geeigneten Tests zur Überprüfung der genannten Anlage von
246 bis 254g reicht.
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit die Nullhypothese zu akzeptieren, obwohl die
Anlage im Durchschnitt tatsächlich nur 245g pro Packung abfüllt?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art, wenn die Anlage im
Durchschnitt 254g jeder Packung zuteilt?
Aufgabe 7
In Ihrem Unternehmen wurde zur Reduzierung der Herstellkosten Y ein neues
Fertigungsverfahren eingeführt. Y sei normalverteilt. Sie wollen feststellen, ob sich
dadurch eine signifikante Verbesserung der Kostensituation ergeben hat. Folgende
Daten liegen Ihnen vor:
Altes Verfahren mit 26 Aufträgen: Y[Alt ] = 10.865
Vâr (Y[Alt ] ) = 1.085.000
Neues Verfahren mit 7 Aufträgen: Y[Neu] = 9.900 Vâr (Y[Neu] ) = 425.000
a) Prüfen Sie, ob sich die Streuung der Herstellkosten signifikant geändert hat!
b) Prüfen Sie, ob sich der Mittelwert der Herstellkosten signifikant geändert hat!
Hinweis: Y[Alt ] = µ
Aufgabe 8
In dem vornehmen Restaurant “Teurer Tropfen” legt man nicht nur Wert auf ein großes
Sortiment guter Weine, sondern auch auf die richtige Temperatur derselben. Für einen
Rotwein der Sorte “Cabernet Sauvignon” wird von angesehenen Weinkennern
durchschnittlich eine Temperatur von 17°C empfohlen, wobei eine Standardabweichung
von 0.5°C toleriert wird. Da ein Gast eher die Temperaturunterschiede als die absolute
Temperatur wahrnimmt, legt man im Restaurant bei der Lagerung der Weine vor allem
Wert darauf, die Standardabweichungen so gering wie möglich zu halten.
Eine Stichprobe von n = 101 Flaschen ergab eine mittlere Temperatur µ̂ von 16.8°C bei
einer Standardabweichung von σ̂ = 0.6°C. Es sei ferner bekannt, dass die Temperatur
einer zufällig ausgewählten Weinflasche normalverteilt ist.
a) Überprüfen Sie mit einem geeigneten zweiseitigen Test, ob die ermittelte Varianz
signifikant von der Vorgabe der Weinkenner abweicht (Signifikanzniveau 5%).
b) Vor einer Woche wurde eine gleich große Stichprobe gezogen. Dabei wurde eine
mittlere Temperatur von 17°C bei einer Standardabweichung von σ̂ = 0.55°C
Dr. Lorenz Braun
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gemessen. Stellen Sie mit einem geeigneten Test fest, ob sich die
Temperaturschwankungen signifikant vergrößert haben (Signifikanzniveau 5%).
Aufgabe 9
Zwei Antiviren-Programme werden auf ihre Zuverlässigkeit hin halbjährlich überprüft.
Bei allen bisher durchgeführten Tests entdeckte Programm A durchschnittlich 95%,
Programm B 98% aller Viren.
a) Im Februar 2000 wurde ein erneuter Test durchgeführt. Bei 200 Testläufen wurden
mit Programm A dieses Mal lediglich eine Erkennungsrate von 90% ermittelt. Prüfen
Sie bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von α = 0,005, ob sich die Güte des
Antivirenprogramms signifikant verschlechtert hat.
b) Im selben Monat wurde auch Programm B mit 200 Durchläufen erneut unter die
Lupe genommen; dieses Mal wurden 95% aller Viren korrekt erkannt. Ist davon
auszugehen, dass B – trotz der ebenfalls beobachteten Verschlechterung bei der
Erkennungsrate – signifikant besser als Programm A ist? Führen Sie einen
geeigneten Test durch.
Hinweis:
Definieren Sie in beiden Aufgabenteilen die Zufallsvariable(n) und geben Sie die
Voraussetzungen für das von Ihnen benutzte Testverfahren an; führen Sie erst danach
den entsprechenden Test durch!
Aufgabe 10
Folgende klassierte Klausurergebnisse in Punkten der letzten Statistik-Klausur liegen
vor:
männlich
weiblich
[0; 30[
7
9
[30; 50[
23
12
[50; 70[
20
11
[70; 100]
10
8
a) Überprüfen Sie mittels eines geeigneten statistischen Tests, ob zwischen dem
Geschlecht und der Punkteanzahl ein Zusammenhang besteht! (α = 0,05)
b) Überprüfen Sie, ob die Varianzen der erreichten Punkte der Männer und der Frauen
als identisch angenommen werden können! (α = 0,05)
c) Prüfen Sie, ob die Punkteverteilung der Männer normalverteilt mit N(50, 400) ist!
(α = 0,05)
d) Prüfen Sie, ob die Punkteverteilung der Frauen gleichverteilt im Intervall [0,100] ist!
(α = 0,05)
Dr. Lorenz Braun
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