3. Überblick Schätz- und Testverfahren

Einführung in Statistik Übungsaufgaben
Ü8
FH Campus Wien ITTK, SS 2010
Übungsaufgaben zur Einführung in Statistik
3. Überblick Schätz- und Testverfahren
36. Eine Maschine produziert Werkstücke, deren Länge normalverteilt mit dem Mittelwert µ
und der Standardabweichung σ ist. Eine Stichprobe ergibt die folgenden 20 Messwerte:
23,0
23,1
23,1
23,0
23,3
22,9
22,8
22,8
23,0
23,0
22,9
22,6
22,9
23,0
23,1
23,1
23,0
22,9
22,9
23,0
Ermitteln Sie an Hand dieser Stichprobe Schätzwerte für µ und σ (Punktschätzung).
37. Unter Verwendung der Stichprobe aus Aufgabe 36 konstruiere man ein Konfidenzintervall für den Mittelwert µ zur Konfidenzzahl γ = 95%, wobei die Varianz σ2 = 0,02
aus früheren Messungen bekannt sei. Wie ändert sich das Konfidenzintervall in
Abhängigkeit von γ? Geben Sie zwei konkrete Beispiele an.
38. Die Untersuchung des Gewichts bei n = 12 Knaben im Alter von 10 Jahren ergab ein
Stichprobenmittel von x = 33,1 kg und eine Standardabweichung von s = 5,15 kg. Man
bestimme ein Konfidenzintervall für das mittlere Gewicht µ von Knaben des betrachteten
Alters zum Niveau γ = 95% sowie γ = 99%. (Dabei nehme man an, dass σ ≈ s gilt, also
die Standardabweichung der Grundgesamtheit bekannt ist.) Wie groß müsste der Stichprobenumfang sein, um das Normgewicht µ auf ±1 kg genau mit einer Sicherheit von
95% angeben zu können?
39. In einer Stichprobe von 1000 Personen wurden 358 Brillen- oder Kontaktlinsenträger
gezählt.
(a) Bestimmen Sie einen Schätzwert p̂ für die Wahrscheinlichkeit p dafür, dass eine
Person Brillen- oder Kontaktlinsen trägt.
(b) Geben Sie ein 95%-Konfidenzintervall für die Wahrscheinlichkeit p an.
(c) Wie viele Personen müsste man in eine Stichprobe einbeziehen, um die Wahrscheinlichkeit p mit einer Sicherheit von 95% auf ± 0,02 zu schätzen?
40. Mit Hilfe geeigneter statistischer Tafeln oder mit Excel finde man
(a) Werte c1 und c2, so dass P(c1 ≤ X ≤ c2) = 80% sowie
(b) die Wahrscheinlichkeit P(X ≥ c) zum kritischen Wert c = 3,
und zwar für eine Standardnormalverteilung X, eine t-Verteilung X mit 14 Freiheitsgraden und für eine χ2-Verteilung X mit 4 Freiheitsgraden.
41. Anhand der nachstehenden Stichprobe aus einer normalverteilten Grundgesamtheit teste
man die Hypothese, dass der Mittelwert µ der Grundgesamtheit (a) genau 88 bzw. (b)
mindestens 88 beträgt, falls die Varianz σ2 = 20 bekannt ist (Signifikanzniveau α = 5%):
x1 = 87, x2 = 75, x3 = 86, x4 = 82, x5 = 78, x6 = 91, x7 = 82.
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Ü9
42. Wie verläuft der Test von Aufgabe 41 unter der Annahme, dass keine Information über
die Varianz der Grundgesamtheit gegeben ist?
43. Für die Körpergröße X von zehnjährigen Knaben wurden folgende Werte (in cm)
gemessen:
146
140
141
152
142
149
134
131
138
143
145
141
Wird durch diese Stichprobe die Vermutung bestätigt, dass die mittlere Körpergröße µ =
E(X) höchstens 140 cm beträgt (Signifikanzniveau α = 5%)?
44. In einer vergleichenden Studie soll die Wirkung eines Blutdruck senkenden Medikaments auf Nichtraucher bzw. Raucher untersucht werden. Die nachstehende Tabelle zeigt
die Änderung des systolischen Blutdrucks Xa am Anfang bzw. Xb am Ende des Behandlungszeitraumes für beide Patientengruppen.
Nichtraucher
Patient
Xa
1
145
2
168
3
181
4
157
5
155
6
172
7
169
8
180
9
175
Xb
135
140
163
138
157
154
165
171
157
Patient
1
2
3
4
5
6
7
Raucher
Xa
174
210
185
206
174
156
176
Xb
170
201
168
180
148
146
178
Man prüfe innerhalb jeder Patientengruppe, ob ein signifikanter Behandlungseffekt stattgefunden hat (Signifikanzniveau α = 5%).
45. Gegeben seien weiterhin die Daten aus Aufgabe 44. Man teste, ob ein signifikanter
Unterschied zwischen den beiden Patientengruppen (a) im Blutdruck vor bzw. (b) nach
der Behandlung, (c) im Behandlungseffekt besteht (Signifikanzniveau α = 5%).
46. Kann man eine Münze, die 1184 mal „Kopf“ und 1316 mal „Adler“ geliefert hat, als
regelmäßig ansehen (Signifikanzniveau α = 5%)?
47. Ein Bürgermeister behauptet, dass in seiner Gemeinde mindestens 80% aller Autofahrer
einen Sicherheitsgurt verwenden. Bei einer Verkehrskontrolle zeigt sich, dass unter 50
überprüften Lenkern nur 36 angeschnallt waren. Kann die Behauptung des Bürgermeisters aufrechterhalten werden?
48. Aus Polizeiberichten wurden zufällig 100 Unfallprotokolle ausgewählt und folgende
Verteilung der Unfälle auf die Wochentage festgestellt:
Mo
5
Di
8
Mi
9
Do
7
Fr
12
Sa
31
So
28
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Man teste die Hypothese, dass sich die Unfälle gleichmäßig auf alle Wochentage
verteilen, an Hand dieser Daten zum Signifikanzniveau α = 5%.
49. Anhand der Stichprobe aus der vorhergehenden Aufgabe überprüfe man die Hypothese,
dass an Samstagen und Sonntagen dreimal so viele Autounfälle geschehen wie an jedem
anderen Wochentag.
50. In der Elektrizitätsversorgung einer Region wurden über einen längeren Zeitraum Tage
mit und ohne Netzausfall aufgezeichnet, um einen vermuteten Zusammenhang mit
Temperaturextremen aufzudecken.
Ausfall
kein Ausfall
Summe
Temperaturmaximum
2
12
14
Temperaturminimum
5
11
16
keine Extreme
Summe
34
296
330
41
319
360
Man prüfe auf dem Signifikanzniveau α = 5%, ob ein Zusammenhang zwischen
Netzausfall und Temperaturextremen besteht.