Musterlösung 2. Termin (ohne Gewähr)

Test-0
8d: t < -qt(.05,df=15)
Ihre Version ist
. Bitte vergessen Sie nicht, Ihre Version in den 8e: t > qt(.025,df=15)
Lösungsbogen zu übertragen. Lösen Sie die Aufgaben zunächst hier und auf dem
Die richtige Antwort ist t > -qt(.05,df=15)
Konzeptpapier und übertragen Sie die Lösungen zum Schluss in den Lösungsbogen. Geben Sie den Lösungsbogen ab, und behalten Sie dieses Aufgabenblatt. Wir
Aufgabe:
Sie testen weiter die Nullhypothese aus der obigen Aufgabe. Wie bewünschen Ihnen viel Erfolg!
stimmen Sie den 𝑝-Wert?
Es gibt unterschiedliche Versionen — Sie finden die richtigen Antworten jeweils unter
(3 Punkte)
verschiedenen Buchstaben (a,b,c,d,e), die Antworten sind aber in allen Versionen die
9a: Keine der folgenden Antworten ist richtig.
gleichen.
9b: pt(t,df=15)
9c: pt(-t,df=15)
Aufgabe:
Ihre Stichprobe der Zufallsvariablen 𝑋 enthält 7 unabhängige und nor- 9d: 2*pt(t,df=15)
malverteilte Beobachtungen: 𝑋1 , … , 𝑋7 . Welche Schätzfunktionen für 𝐸(𝑋) sind 9e: 2*pt(-t,df=15)
erwartungstreu?
(mehrere Antworten möglich, 5 Punkte) 𝜎 = 5/4, 𝑡 = 1/(5/4) = 0.8. Weil die Varianz geschätzt ist, soll mit der 𝑡𝑥̄
Verteilung gerechnet werden.
1: a 𝑋7 +𝑋6 b 𝑋7 +𝑋5 c 2𝑋7 +𝑋3 d𝑋 + 𝑋 + 𝑋 e𝑋 + 𝑋6 −𝑋5
3
2
3
7
6
5
7
2
Aufgabe:
Welche Wahrscheinlichkeit gibt der 𝑝-Wert an?
(3 Punkte)
Betrachten Sie weiter die obige Stichprobe. Die Varianz von 𝑋 sei 3. Wie 10a: Keine der folgenden Antworten ist richtig.
groß ist die Varianz von 𝑋1 + 𝑋2 − 2𝑋3 ?
(2 Punkte) 10b: Die Wahrscheinlichkeit, eine Stichprobe zu ziehen, die mindestens so advers
a
b
c
d
e
zur Nullhypothese ist, wie die gezogene Stichprobe, falls die Nullhypothese
2: anderer
12
18
24
0
Wert
falsch ist.
10c: Die Wahrscheinlichkeit, eine Stichprobe zu ziehen, die mindestens so advers
zur Nullhypothese ist, wie die gezogene Stichprobe.
Aufgabe:
Welche Schätzfunktionen für 𝐸(𝑋) sind weniger effizient als 𝑋1 +𝑋2 −
𝑋3 ?
(mehrere Antworten möglich, 5 Punkte) 10d: Die Wahrscheinlichkeit, die Nullhypothese abzulehnen, wenn sie wahr ist.
10e: Die Wahrscheinlichkeit, eine Stichprobe zu ziehen, die mindestens so advers
a
b
c
d
e
3: 𝑋1 + 𝑋2 1 ∑7 𝑋𝑖 3𝑋1 − 2𝑋2 3𝑋1 3𝑋1 + 3𝑋2 − 5𝑋3
zur Nullhypothese ist, wie die gezogene Stichprobe, falls die Nullhypothese
7 𝑖=1
wahr ist.
3𝑋1 ist kein erwartungstreuer Schätzer für 𝐸(𝑋), kann also gar nicht als mehr oder
weniger effizient verglichen werden.
Aufgabe:
Aufgabe:
Betrachten Sie das folgende Testergebnis. x und y sind jeweils StichproDie Zufallsvariable 𝑋 hat eine Standardabweichung von 18. Sie haben ben von 𝑋 bzw. 𝑌. Verwenden Sie ein Signifikanzniveau von 5%.
vor, eine Stichprobe von 𝑛 unabhängigen und identisch verteilten Beobachtungen
Paired t-test
zu ziehen. Wie groß muß 𝑛 sein, damit die Standardabweichung des Stichprobendata: x and y
t = -5.5664, df = 11, p-value = 0.0001686
mittelwerts 𝜎𝑋̄ = 2 ist?
(2 Punkte)
alternative hypothesis: true difference in means
a anderer b
c
d
e
4: Wert
81
3
9
36
is not equal to 0
95 percent confidence interval:
2
2
2
2
2
2
2
𝜎𝑋̄ = 𝜎𝑋 /𝑛 ⇔ 2 = 18𝑋 /𝑛 ⇔ 𝑛 = 18 /2 = 9 = 81
-2.502550 -1.084296
Aufgabe:
sample estimates:
mean of the differences
-1.793423
Aufgabe:
Die Dichtefunktion von 𝑋 ist
20−2𝑋
⎧
falls 𝑋 ∈ [𝜃, 10]
{
𝑓 (𝑋|𝜃) = ⎨ (𝜃−10)2
{
0
sonst
⎩
wobei 𝜃 < 10. Eine Stichprobe ergibt zwei Beobachtungen: {3, 2}.
Was ist der Maximum-Likelihood Schätzer für 𝜃?
a
b
c
d
5: anderer
0
2
3
Wert
20−4
20−6
⎧
falls 𝜃 ≤ 2
{
Wir maximieren 𝐿 = ⎨ (𝜃−10)2 (𝜃−10)2
{
0
sonst
⎩
𝑑𝐿/𝑑𝜃 = −
4⋅16⋅14
(𝜃−10)5
e
10
> 0 falls 𝜃 ≤ 2, also wird 𝐿 maximal für 𝜃 = 2.
Was können Sie aus dem Testergebnis schließen?
(mehrere Antworten möglich, 5 Punkte)
11a: Es wurde ein paarweiser Test durchgeführt.
11b: Die Nullhypothese 𝐸(𝑋 − 𝑌) = −2 kann abgelehnt werden.
11c: Die Nullhypothese 𝐸(𝑋 − 𝑌) = −4 kann abgelehnt werden.
(3 Punkte) 11d: Die Alternativhypothese in diesem Test war 𝐸(𝑋) − 𝐸(𝑌) > 0.
11e: Die Alternativhypothese in diesem Test war 𝐸(𝑋) ≠ 𝐸(𝑌).
Der Test gibt auch ein Konfidenzintervall für 𝐸(𝑋 − 𝑌). −2 liegt im Intervall, nicht
aber −4.
Betrachten Sie das folgende Testergebnis. Verwenden Sie ein Signifikanzniveau von 5%.
Aufgabe:
Wilcoxon signed rank test
data: x and y
Die Zufallsvariable 𝑋 folgt einer Verteilung 𝒳𝜃 mit Erwartungswert
V = 1, p-value = 0.0009766
𝐸(𝑋) = 𝜃2 und Varianz 1/𝜃2 mit 𝜃 > 0. Die Variable x enthält Ihre Stichproalternative hypothesis: true location shift is not equal to 0
be. Wie berechnen Sie mit R den Momentenschätzer für 𝜃 auf Basis des zweiten
Moments?
(2 Punkte) Was können Sie aus dem Testergebnis schließen?
a
b
c
d
e
(mehrere Antworten möglich, 5 Punkte)
6: anderer
12a: Es wurde ein paarweiser Test durchgeführt.
Wert 1/var(x) mean(x) mean(x)ˆ2 1/sd(x)
12b: Die Nullhypothese 𝐸(𝑋) − 𝐸(𝑌) = 1 kann abgelehnt werden.
var(𝑋) = 1/𝜃2 , auflösen nach 𝜃 ergibt 𝜃 = 1/√var(𝑋) = 1/sd(X).
12c: Die Alternativhypothese in diesem Test war 𝐸(𝑋) > 𝐸(𝑌).
12d: Die Alternativhypothese in diesem Test war 𝐸(𝑋) ≠ 𝐸(𝑌).
Aufgabe:
Der Vektor x enthält Ihre Stichprobe mit 16 Beobachtungen, s ist die 12e: Die Nullhypothese 𝐸(𝑋) = 𝐸(𝑌) kann abgelehnt werden.
geschätzte Standardabweichung von x. Sie gehen davon aus, dass x einer Normal- Der Rangsummentest betrachtet nur Ränge, und kann (ohne zusätzliche Annahmen
verteilung folgt. Wie berechnen Sie die Breite des 90%-Konfidenzintervalls für den über die Art der Verteilung von 𝑋 und 𝑌) keine Aussage über Erwartungswerte maMittelwert von x?
(3 Punkte) chen.
7a: Keine der folgenden Antworten ist richtig.
7b: s/2*qt(.95,df=15)
Aufgabe:
7c: s/4*qt(.95,df=15)
7d: s/2*qt(.90,df=15)
Zwei Merkmale, 𝑋 und 𝑌, können jeweils die Werte 𝐴, 𝐵, 𝐶 bzw. 𝐷 und 𝐸 an7e: s/4*qt(.90,df=15)
nehmen. Die Häufigkeiten sind durch die folgende Tabelle gegeben.
𝑋=𝐴 𝑋=𝐵 𝑋=𝐶
𝑌=𝐷
23
11
22
Aufgabe:
Sie betrachten weiter die obige Stichprobe. Ihre Nullhypothese ist
𝑌=𝐸
12
13
23
𝐸(𝚡) ≤ 8, Ihre Alternativhypothese ist 𝐸(𝚡) > 8. Ihre Teststatistik haben Sie mit
Aufgabe:
dem Kommando
Ihr Signifikanzniveau ist 5%. Interpretieren Sie das folgende Testergebnis:
t <- (mean(x)-8)/(s/4)
Pearson's Chi-squared test
data: Z
berechnet, wobei mean(x) den Mittelwert Ihrer Stichprobe enthält. In welchem
X-squared = 3.0487, df = 2, p-value = 0.2178
Bereich lehnen Sie die Nullhypothese bei einem Signifikanzniveau von 5% ab?
(3 Punkte) Was können Sie aus dem Testergebnis schließen?
8a: Keine der folgenden Antworten ist richtig.
(mehrere Antworten möglich, 5 Punkte)
8b: t > -qt(.25,df=15)
13a: Zwischen den beiden Merkmalen 𝑋 und 𝑌 finden Sie keinen signifikanten
8c: t < qt(.05,df=15)
Zusammenhang.
13b: Die Nullhypothese, 𝑋 und 𝑌 seien unabhängig, kann man zum gegebenen Aufgabe: Sie schätzen den Zusammenhang zwischen 𝑋 und 𝑌 mit Hilfe unterSignifikanzniveau verwerfen.
schiedlicher Modelle und erhalten die folgenden Ergebnisse:
13c: Das nicht-signifikante Testergebnis zeigt, dass mit großen Werten von 𝑌 kleine Werte von 𝑋 wahrscheinlicher sind.
𝛽0̂
𝛽1̂
13d: Die Nullhypothese, 𝑋 und 𝑌 seien voneinander abhängig, kann man zum
𝑌 = 𝛽0 + 𝛽 1 ⋅ 𝑋 + 𝑢
6.20 2.10
gegebenen Signifikanzniveau verwerfen. Eine solche Hypothese wird hier nicht
𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1 ⋅ log 𝑋 + 𝑢
7.73 0.43
getestet, und man würde sie auch mit keinem Test verwerfen können, egal wie
log 𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1 ⋅ 𝑋 + 𝑢
1.83 0.29
die Stichprobe aussieht.
log 𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1 ⋅ log 𝑋 + 𝑢 2.04 0.06
13e: Um zu testen, ob 𝑋 und 𝑌 voneinander unabhängig sind, sollte man besser
einen Rangsummentest verwenden.
Wie groß schätzen Sie die marginale Änderung von 𝑌 bei einer Änderung von 𝑋
um 1 Prozent?
(2 Punkte)
Aufgabe:
In der folgenden Regression schätzen Sie den Effekt der Variablen 𝑎 und
a anderer b
c
d
e
𝑏 auf die Variable 𝑌. Sie erhalten den folgenden Output:
23: Wert
0.29
0.06
2.10
0.43
Call: lm(formula = y ˜ a * b)
0.43/100
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -3.00
0.71
-4.24 0.0028
a -3.00
1.00
-3.00 0.0171
b 2.00
1.00
2.00
0.0805
a:b 1.00
1.41
0.71
0.4996
Residual standard error: 1.225 on 8 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.7612, Adjusted R-squared: 0.6716
F-statistic: 8.5 on 3 and 8 DF, p-value: 0.007196
Welchen Wert für 𝑌 erwarten Sie, wenn 𝑎 = 0 und 𝑏 = 0?
a
b
c
d
e
14: anderer
-6
-3
0
Wert
Aufgabe:
Aufgabe:
Aufgabe:
Aufgabe:
Aufgabe:
Wie groß schätzen Sie die prozentuale Änderung von 𝑌 bei einer Änderung von
𝑋 um 1 Prozent?
(2 Punkte)
a anderer b
c
d
e
24:
0.06%
2.10%
0.43%
0.29%
(1 Punkt)
Wert
-9
Aufgabe:
Welchen Wert für 𝑌 erwarten Sie, wenn 𝑎 = 1 und 𝑏 = 0?
a
b
c
d
e
15: anderer
-3
0
-9
-6
Wert
Wie groß schätzen Sie die prozentuale Änderung von 𝑌 bei einer Änderung von
(1 Punkt) 𝑋 um eine Einheit?
(2 Punkte)
a
25: anderer
Wert
Welchen Wert für 𝑌 erwarten Sie, wenn 𝑎 = 1 und 𝑏 = −1? (1 Punkt) 100 ⋅ 0.29 = 29
a
b
c
d
e
16: anderer
0
-9
-6
-3
Wert
Aufgabe:
210%
c
43%
d
29%
e
6%
Wie groß schätzen Sie die marginale Änderung von 𝑌 bei einer Änderung von 𝑋
Wie groß ist der geschätzte marginale Effekt von 𝑏 auf 𝑌 falls 𝑎 = −1? um eine Einheit?
(2 Punkte)
(2 Punkte)
a anderer b
c
d
e
a
b
c
d
e
17: Wert
1
2
3
4
26: anderer
0.43
0.29
0.06
2.10
Wert
Wie groß ist der geschätzte marginale Effekt von 𝑎 auf 𝑌 falls 𝑏 = −1? maximal erreichbare Punktzahl: 70
(2 Punkte) davon durch Randomisieren erreichbar: 22
a anderer b
c
d
e
hinreichend: 39
18: Wert
-3
-2
-1
-4
Wie bestimmen Sie für die obige Regression die Obergrenze des 95%Konfidenzintervalls für den Koeffizienten von 𝑎?
(3 Punkte)
19a: Keine der folgenden Antworten ist richtig.
19b: -3+qt(.95,df=8)
19c: -3+qt(.975,df=8)
19d: -3-qt(.975,df=8)
19e: -3-qt(.95,df=8)
Aufgabe:
Sie verwenden das folgende quadratische Modell, um den Zusammenhang zwischen der erklärenden Variablen 𝑋 und der abhängigen Variablen 𝑌 zu
schätzen:
𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋 + 𝛽2 𝑋 2 + 𝑢
Aufgabe:
Sie erwarten folgendes: Für 𝑋 = 1 ist der marginale Effekt von 𝑋 auf 𝑌 gleich 0.
Für 𝑋 = 2 ist der marginale Effekt von 𝑋 auf 𝑌 gleich 2.
Welchen Wert erwarten Sie für 𝛽1 ?
(2 Punkte)
a anderer b
c
d
e
20: Wert
4
−2
0
2
𝑑𝑌/𝑑𝑋 = 2𝛽2 𝑋 + 𝛽1 , 2𝛽2 + 𝛽1 = 0, 4𝛽2 + 𝛽1 = 2 → 𝛽1 = −2, 𝛽2 = 1
Aufgabe:
b
Welchen Wert erwarten Sie für 𝛽2 ?
a
b
c
21: anderer
−1
0
Wert
(2 Punkte)
d
1
e
2
Sie schätzen den Zusammenhang zwischen der erklärenden Variablen
𝑟
𝑋 und der abhängigen Variablen 𝑌 mit einem Polynom 𝑌 = ∑𝑘=0 𝛽𝑘 𝑋 𝑘 + 𝑢. Für
verschiedene Werte von 𝑟 erhalten Sie die folgenden Werte für das AIC:
Aufgabe:
AIC
1
104.98
2
105.04
3
107.01
4
107.37
5
105.82
6
107.77
Welchen Wert von 𝑟 sollten Sie auf Basis des AIC wählen?
(2 Punkte)
a
22: anderer
Wert
b
2
c
3
d
5
e
1