Übungen zur Verteilung, Erwartungswert, Varianz 8. Klasse 1

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Übungen zur Verteilung, Erwartungswert, Varianz
8. Klasse
1. Anlässlich eines Maturaballs werden 300 Lose verkauft. Davon sind 150 Nieten,
bei 100 Losen erhält man einen Preis im Wert von 20 e, bei 40 Losen einen Preis
im Wert von 50 e, bei 9 Losen einen Preis im Wert von 80 e, der Haupttreffer
bringt einen Preis im Wert von 1000 e. Berechne Erwartungswert und Varianz des
Preises!
2. Setzt man beim Roulette-Spiel einen Jeton (Spielmarke) auf eine bestimmte Zahl,
so erhält man im Falle des Gewinns 36 Jetons. Verliert man, so ist der gesetzte Jeton
verloren. Berechne Erwartungswert und Varianz des Gewinns, wenn man auf eine
bestimmte Zahl setzt!
3. Setzt man beim Roulette-Spiel einen Jeton auf sog. “einfache Chancen” (Ereignisse
mit der Wahrscheinlichkeit 18
, z.B. “Rot” oder “Gerade”), so erhält man im Falle
37
des Gewinns 2 Jetons. Der Gewinn beträgt also ein Jeton. Verliert man, so ist der
gesetzte Jeton verloren. Berechne Erwartungswert und Varianz des Gewinns, wenn
man auf einfache Chancen setzt!
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man von 8 Spielen genau 3 gewinnt?
4. Eine Maschine produziert 10% Ausschuß. Es werden 20 Artikel untersucht. Es sei
H die Anzahl der fehlerhaften Artikel.
(a) Berechne den Erwartungswert µ und die Standardabweichung σ von H!
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der fehlerhaften Artikel
um mehr als 2 größer ist als µ?
(c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass H außerhalb des Intervalls [µ−σ, µ+
σ] liegt?
(d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ausgewählten Produkten
mindestens 5 Ausschußstücke sind?
5. Zwei Schachspieler, von denen der eine den anderen erfahrungsgemäß mit der
Wahrscheinlichkeit 0.6 schlägt, beschließen 5 Spiele zu spielen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt der bessere Spieler mehr als die Hälfte der Spiele?
6. Um zu testen, ob jemand über außersinnliche Wahrnehmung verfügt, wird folgender Versuch durchgeführt: Aus einem gut gemischten Kartenspiel wird eine Karte
gezogen. Die Versuchsperson soll die “Farbe” der Karte (Herz, Karo, Treff oder
Pick) erraten. Ein Medium erziehlt bei 10 Versuchen 7 Treffer. Wie wahrscheinlich
ist ein so gutes oder noch besseres Ergebnis?
7. Ein Sänger, der erfahrungsgemäß mit der Wahrscheinlichkeit 0.1 bei einer Vorstellung ausgepfiffen wird, tritt im letzten Monat bei 10 Vorstellungen auf. Wie groß ist
die Wahrscheinlichkeit, dass er bei höchstens 3 Vorstellungen ausgepfiffen wird?
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Übungen zur Verteilung, Erwartungswert, Varianz
8. Klasse
8. Ein Fußballstar bringt erfahrungsgemäß 9 von 10 Elfmeterschüssen ins Tor.
(a) Wie viele Tore sind bei den nächsten 20 Elfmeterschüssen zu erwarten? Wie
groß ist die Standardabweichung?
(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Anzahl der Tore bei den nächsten 20
Elfmeterschüssen des Erwartungswert übersteigen?
(c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird jeder der nächsten 20 Elfmeterschüsse
ins Tor gehen?
9. Eine schriftliche Überprüfung besteht aus 5 Fragen mit je 2 vorgegebenen Antworten, wobei jeweils genau eine Antwort richtig ist. Ein “Ahnungsloser” kreuzt auf
gut Glück jeweils eine Antwort an. Die Zufallsvariable X sei die Anzahl der richtigen Antworten. Gib die Verteilung von X an und stelle sie graphisch dar. Berechne
Erwartungswert und Standardabweichung.
10. Ein Ausschuß besteht aus 11 Personen, von denen sich 3 vorgenommen haben einen
Vorschlag zu blockieren; die übrigen 8 verhalten sich indifferent, d.h. sie stimmen
etwa durch Münzwurf (p = 21 ). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Vorschlag bei der Abstimmung mit einfacher Mehrheit abgelehnt wird?
11. In einem Casino gibt es das abgebildete Glücksrad. Man erhält soviel ausbezahlt
wie die Zahl am Rand angibt.
(a) Welchen Auszahlungsbetrag pro Spieler kann man erwarten?
(b) Wie hoch ist der zu erwartende Auszahlungsbetrag, wenn
man bei jedem Spiel den Zeiger zweimal betätigt? (Beachte
alle Möglichkeiten von Ausfällen!)
(c) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit in 30 Spielen mindestens 5mal auf Feld
15 zu gelangen?
12. Eine Prüfung besteht aus 10 zufällig ausgewählten Fragen, deren Beantwortung nur
r oder f sein kann. (Notenschlüssel: 10r . . . Sehr gut, 8-9r . . . Gut, 6-7r . . . Befriedigend, 5r . . . Genügend, 0-4r . . . Nicht genügend)
Bei der Vorbereitung auf diese Prüfung erkennt ein Schüler, dass er nur 50% der
üblicherweise gestellten Fragen beantworten kann. Gib die Verteilung der Zufallsvariable (X = Anzahl der richtigen Antworten) an und bestimme daraus die Wahrscheinlichkeit mit denen der Kandidat die einzelnen Noten erreicht.
Bis zur Prüfung steigert sich der Schüler auf 60% richtig beantwortete Fragen. Zeige, dass sich so die Wahrscheinlichkeit die Prüfung zu bestehen stark erhöht.
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8. Klasse
LÖSUNGEN:
1. µ ≈ 19, σ 2 ≈ 3628
(a) µ = 2, σ ≈ 1.34
4.
(b) ≈ 0.043
1
2. µ = − 37
, σ 2 ≈ 34.08
(c) ≈ 0.255
1
3. µ = − 37
, σ 2 ≈ 0.9993,
Genau 3 gew. ≈ 0.23
(d) ≈ 0.043
√
8. (a) 18; 1.8
5. ≈ 0.68
6. ≈ 0.0035
(b) 20 · 0.919 · 0.1 + 0.920
7. ≈ 0.987
(c) 0.920
ai
9.
W (X = ai )
0
1 5
2
1
5 · 215
10. X . . . Anzahl der NEIN
h von 8
8
P (X ≥ 3) = 1 − 12 + 8 ·
11.
(a) 0 · 12 + 6 · 13 + 15 ·
2
5 1
3
5 1
2 25
3 25
1 8
2
+
8
2
4
q
5
2.5 ·
1 5 µ = 2.5, σ =
5
25
1 8
2
1
2
2
i
1
6
(b) 0 · 41 + 6 · 2 · 12 · 13 + 15 · 2 · 12 · 16 + 12 · 13 · 13 + +21 · 2 · 13 · 16 + 30 · 16 ·
1
6
(c)
" 29 28 2
30
5
5
30
5
1
1 − P (X < 5) = 1 −
+ 30
+
+
6
6
2
6
6
27 3 26 4 #
5
30
1
30
5
1
+
+
3
6
6
4
6
6
12.
ai
W (X = ai )
1 10
2
ai
W (X = ai )
10 1
6 210
0
6
1
2
3
10 1
2 210
10
210
7
10 1
7 210
10 1
3 210
8
10 1
8 210
4
10 1
4 210
9
10
10
210
1
210
5
10 1
5 210
P (X ≥ 5 für 50%) = 0.623, P (X ≥ 5 für 60%) = 0.834
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