Formelsammlung Kombinatorik

Formelsammlung
Kombinatorik
Permutation: ohne Wiederholung
n! = n ● (n - 1) ● (n - 2) . . . . 3 ● 2 ● 1
n= alle Elemente
Permutation: mit Wiederholung
Pn,k =
n!
n!
____
…usw.
___________
=
k = gleiche Elemente
k1! ● K2!
k!
Stichproben (SP) = geordnete Auswahl
Geordnete SP: ohne Zurücklegen
v
n!
k
n =
_________
k = Anzahl Elemente oder SP
v = Variationen
(n – k)!
Geordnete SP: mit Zurücklegen
v nk = nk
ungeordnete SP: ohne Zurücklegen
n
()
v nk =
n!
=
_______________
k
k! ● (n – k)!
ungeordnete SP: mit Zurücklegen
( )( )
r+k–1
V=
r+k–1
=
r-1
k
( r + k – 1)!
= _________________
k! ● (r – 1)!
r = Anzahl versch.
Elemente
k = Umfang der SP
Wahrscheinlichkeitsrechung I
Häufigkeitsbegriff
= oder
_ = und
A = nicht A
ei = Elementarereignis
n (ei) = absolute Häufigkeit
h (ei) = relative Häufigkeit
n = Umfang der SP
_
h (E) + h (E) = 1
_
h (E) = 1 – h (E)
La Place-Experiment: Gleichwahrscheinlichkeit
jedes Ereignis gleiche Wahrscheinlichkeit
1
p (e1) = p (e2) = p (ek) = ___
k
|E|
g
p (E) = ______ = _____
|S|
m
ek = Elementarereignis
p(ek) = Wahrscheinlichkeit von ek
k = Anzahl Elementarereignisse
Bedingte Wahrscheinlichkeit
(B / A) = A B
p(B / A) = P (A B)
p (A)
p (R/W) = bedingte Wahrscheinlichkeit
„R unter Hypothese von W“
rel. Häufigkeit
Multiplikationssatz
p (A B) = p (A) ● p (B / A) = p (B) p (A / B)
Wahrscheinlichkeitsrechung II
Unabhängige Ereignisse
(A / B) = A
| (A B) = A ● B
p (A / B) = p (A)
| (A B) = A +B
p (A B) = p (A) p (B)
Totale Wahrscheinlichkeit (=vollständige)
n
P (B) = Σ p (Ai) ● p (B / Ai) = p(A1) ● p (B / A1) + p (A2) …
i=1
Satz von Bayes (Ereignis ist eingetreten. Wie gross ist der Anteil einer bzw. zweier
Ursachen?)
p (Aj / B) = p (Aj) ● p ( B / Aj)
n
Σ p(Aj) ● p (B / Aj)
i=1
p (A1/B) = p (A1) ● p (B/ A1)
p (A1) ● p (B / A1) + p (A2) ● p (B/ A2)
S = A1 + A2
Wahrscheinlichkeitsfunktionen
S |R
ek xk p (xk )
X:
-
ek: Elemtarereignis des Ereignisraumes S
k: Anzahl aller Elem.ereignisse von S
Funktionen, die auf s definiert sind keinen Zufallsvariable (X)
Verteilungsfunktion
F(xk) = p (x1) + p (x2) + . . . + p (xk) = Σ p (xk)
p (xk) max. = xk
Modus:
Erwartungswert (Mittelwert theoretisch):
n
●
µ = E (X) = Σ xi p (xi)
i=1
µ ● (a ● X + b) = a ● µ (x) + b
µ (y) =
““
µ = Erwartungswert (Mü)
σ = Standardabweichung (Sigma)
σ2 = Varianz
lineare Transformation
Varianz
n
V (X) = Σ (x – µ)2 ● p (xi)
i=1
n
kürzer:
V (X) = Σ xi2 ● p (xi) - µ2
lin. Trans.:
V (a X +b) = a2 ● V(x)
i=1
●
Streuung / Stabdardabweichung
σ (X) =
V (X)
Lin. Transformation:
σ (a ● X + b) = |a| ● σ (X)
= +- a
Wahrscheinlichkeitsfunktion
xk
x1
x2
x3
…
p(xk) p(x1) p(x2) p(x3) …
Standardisierte (lineare) Transformation: normale Zufallsgrösse
z=X–µ
σ
}
=> µ = 0
σ=1
Ungleichung von Tschebyschew (ungenaue Schätzung)
I [µ - a; µ + a]
2
σ
P(|x - µ| a) ___
a = Abweichung
= Ausschuss
µ2
σ2 = σ2
a 2 = k2 ● σ 2
=1
k2
a=k●σ
Gleichverteilte (diskrete) Zufallsgrösse
p(xi) = 1
r
i = 1, 2, . . . , r
µ=r+1
2
V = v2 – 1
12
σ=
v2 - 1
12
Wahrscheinlichkeitsfunktionen II
Bernoulli-Experiment (unabhängige Wiederholungen)
P (E) = p
_
P (E) = 1 - p = q
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
1 0
xi
p(xi) p 1 - p
Bernoulli - Kette
_
; p (E) = 1 - p = q = n – g
n
P€=p= g
N
()
P (n, p, k) =
n
K
pk ● qn – k
g = günstige
n = mögliche
k = 0, 1, 2, . . ., n
x
Verteilfunktion: F (x) = P (X x) = Σ
k=0
()
n
n = Anzahl Versuche
k = Anzahl Ereignisse
pk ● qn - k
k
Binominalverteilung [HP Solve E2]
()
b (x) =
{
n
x
●
Abweichung von σ:
- 2σ µ 2σ
verdächtig, aber i. O.
px ● (1 - p)n – x
Erwartungswert:
µ=n●p
Varianz:
σ2 = n ● p ● q
Streuung:
σ=
n●p●q
- 3σ µ 3σ
kaum vorhanden, n. i. O.
σ praktisch =
σ theoretisch
Faires Spiel: So viel wie man im Durchschnitt einsetzt, soll man auch bekommen.
Poissonverteilung (Annäherung an Binominalverteilung)
[HP Solve E4]
p (X) = Π (x) = e-µ ● µx
x!
σ2 = n ● p ● q = µ
σ=
µ
( )
1-µ
n
theoretisch;
n 50
p 0.1
x = Erfolge
µ = σ2
µ = n ● p theoretisch
σ = ( x – µ) praktisch
N(x) = N ● Π (x)
Vergleich: Π (x) - h(x) =
H
N = total Anzahl
= absoluter Anteil
Wahrscheinlichkeitsfunktionen III
Normalverteilung (arbeiten mit Gauscher-Formel, ansonsten Tschebyschew)
Standardisierte Binominalverteilung (diskrete Var.)
(symetrisch)
µ0
σ1
z = (µ) = x - µ = prakt. σ
σ
theor. Σ
Dichtefunktion der standardisierten Binominalverteilung
Φ (x) =
●
1
2
-x
2
e
Φ = Phi
µ=0
σ=1
2Π
Normalverteilte Zufallsgrössen (stetig ZG)
F(x) = =
●
1
σ
exp
2Π
Zweiseitige NV:
Standard.
- 0.5
x-µ
2
( [ ])
σ
P = ( 60 x 100)
P = ( - 2.5 z 4.08)
P = Φ (Z2) – Φ (z1)
Regeln:
Φ (-z) = 1 – Φ (z)
P (|x| z) = 2 ● Φ (z) -1
P (x 20) = P (z 5)
σ = 2; µ = 10
P (|x - µ| c) = P (|x - µ| c) = P (|z| c)
σ
σ
σ
P (x 750) = P (z 0.625) Standardisierung
Φ (a) = 0.975
a = 1.96
zwischen bedeutet (. . . x . . .)
Beurteilende Statistik I
Schätzproblem
a) Stichproben (SP) (zufällig und unabhängig)
b) Stichprobenmittel
_
n
X = 1 Σ Xi
i=1
_
µ (X) = µ (X)
_
σ2 (X) = σ2 (X)
n
_
σ (X) = σ (X)
n
(=Stichprobenfehler)
n (E) P (E) = p
Sonderfall: N n, dann folgende Formel:
_
n
σ (X) = σ (X) ● 1 – N
n
N = Anzahl Stichproben
n = Anzahl Elemente der Stichprobe
Beurteilende Statistik II
2. Vertauenintervalle
a) Vertrauensintervalle für unbekanntes µ
_
_
T = [x – c; x + c]
γ = P (|x – µ| cγ)
k = Anzahl SP
n = Umfang der SP
γ = Sicherheitswahrscheinlichkeit
_
c = Abw. von x
P (z) zγ)
Bei normalverteilter Zufallsgrüsse
_
σ=
µ=? n=
x=
_
_
I = x - zγ ● σ ; x + zγ ● σ
n
n
[
zγ = cγ ● n
Σ
]
; cγ = zγ ● σ
n
Vertrauensintervallberechnung
Regeln:
Cγ = tatsächliche Abweichung von µ, abh. Von γ
z = Standard µ
zγ = Stand. Wert in Abh. Von Sicherheit γ
1. Φ(zγ) = 1 + γ
2
Φ(zγ) = 0, … siehe gelbes Blatt
zγ =
2. P (|z| zγ) = 2 ● Φ (zγ) – 1
3. Länge des Vertrauensintervall:
Ln = 2 σ ● zγ
n
4. n =
( )
2
●
2 zγ σ
Ln
γ = 2 ● Φ(zγ) - 1
_
falls (|x – µ| x)
γ = 1 – (2 ● Φ (zγ) - 1)
_
falls (|x - µ| x)
x ist mindestens 5 x 5 5, 6, 7, . . ., n
x ist mehr als 5
x > 5 6, 7, 8,. . ., n
x ist genau 5
x=55
x ist höchstens 5
x 5 5, 4, 3, 2, 1, 0
x ist kleiner 5
x < 5 4, 3, 2, 1, 0
P(|x - µ) > 20) = 1 - P (|x – µ| 20)