Leistungskurs 13.1, Jg. 98/99, HhG

2004/05 , 13.1 , LK Mathematik
Bonn, den 03. Dezember 2004
Übungsaufgaben Nr. 7
1. An einem Autorennen nehmen fünf Rennwagen gleichen Fabrikats teil. Bei jedem Wagen ist die
Ausfallwahrscheinlichkeit 0,2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß mindestens einer der Wagen
ausfällt und auch mindestens einer am Ziel ankommt ? Wieviele Wagen erreichen im Durchschnitt
das Ziel ?
2. Begriff des Erwartungswertes und der Varianz
X sei die Zufallsvariable Augenzahl auf einem Dodekaederwürfel, Y die Zufallsvariable Anzahl der
Punkte auf einem Oktaederwürfel.
(a) Man berechne Erwartungswert und Varianz von X und Y. ?
(b) Man berechne E(X + Y) und VAR(X + Y) mit Hilfe der Regeln für Erwartungswert und Varianz.
(c) Man berechne Erwartungswert und Varianz der Zufallsvariablen U = 3X und
vergleiche mit (b)
V = 2Y und
(d) Der Tetraederwürfel wird 1000 mal geworfen. Man berechne Erwartungswert und Varianz für die
Zufallsvariable „durchschnittliche Augenzahl“
3. Ein Ikosaederwürfel wird 100 mal geworfen.
(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der geworfenen durch 4 teilbaren
Augenzahlen innerhalb der einfachen Standardabweichung liegt.
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der geworfenen durch 4 teilbaren
Augenzahlen innerhalb der doppelten, wie groß, dass sie in der dreifachen Standardabweichung
liegt ? Man schätze zunächst mithilfe der Tschebyscheff-Ungleichung.
4. Binomialverteilung
Bestimmte Taschenlampenbirnchen seien im Durchschnitt erfahrungsgemäß zu 10 % defekt. In einer
Packung sind 10 Birnchen.
(a) X sei die Zufallsvariable „Zahl der defekten Birnchen in der Packung“. Man erkläre anhand dieses
Beispiels den Begriff „Bernoulli-Experiment“ und die Formel (*). Sodann berechne man
Erwartungswert und Varianz mit Hilfe der Formeln (**) bzw. (***) und erläutere die Grundidee zur
Herleitung dieser Formeln
(*) b(n, p, k) =
(nk) pk (1 - p)n-k
(**) = n p
(***) 2 = n p q
(b) Man berechne die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse :
A : genau ein Birnchen ist defekt,
B : mehr als ein Birnchen sind defekt,
C : wenigstens eines ist defekt und wenigstens eines nicht.
(c) Man schätze mit Hilfe der Tschebyscheff-Ungleichung die Wahrscheinlichkeit dass die Anzahl der
defekten Birnchen innerhalb der doppelten Standardabweichung liegt und vergleiche mit dem
Ergebnis, das man unter Anwendung der Formel (***) erhält.
(d) Wieviele Birnchen müßte eine Packung mindestens enthalten, so dass mit Wahrscheinlichkeit
> 95 % wenigstens ein defektes im Karton ist ?
5. X sei eine Zufallsvariablen mit k Ergebnissen 1,2,3, ... , k, die gleichverteilt ist.
(a) Man berechne Erwartungswert und Varianz der Zufallsvariablen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
liegt das Ergebnis innerhalb der einfachen (doppelten) Standardabweichung ?
1
(b) Man betrachte die Zufallsvariable D = n (X + X + X + ... + X) (n Summanden X) und berechne E(D) und VAR (D).
Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt das Ergebnis innerhalb der einfachen (doppelten) Standardabweichung ?