Übungszettel 3 zur 3.SA

1. Der Graph einer Funktion 3. Grades hat in T(0/0) einen Tiefpunkt und in H(2/ 4/3 ) einen Hochpunkt.
a) Zeige, dass die Gleichung der Funktion lautet: f(x) = 1/3 (3x² - x³)
b) Ermittle die Koordinaten der zweiten Nullstelle N sowie die Gleichung ihrer Tangente!
c) Skizziere den Graphen mit Tangenten.
d) Wie groß ist das Flächenstück, das vom Funktionsgraphen, der Tangente in N und der y-Achse
eingeschlossen wird?
e) Das Flächenstück, das zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse liegt, rotiert um die x-Achse.
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.
2. Die Punkte A, B und C liegen in einer Ebene; in D erhebt sich ein Berg, dessen Höhe bestimmt werden soll.
Die Entfernung von A und B ist bekannt: AB = 1800 m. Man misst folgende Horizontalwinkel:
<)BAC = 42,8°, <)CAD = 85,5°, <)ABD = 37,7°, <) DBC = 67,1°.
Von A aus sieht man den Berggipfel unter dem Höhenwinkel 7,34°.
a) Berechne die horizontalen Entfernungen AD, BD und CD.
b) Wie hoch ist der Berg?
c) Unter welchen Höhenwinkeln sieht man den Berggipfel von B und C aus? (2 Dez)
3. Gegeben ist das Dreieck ABC: A(-3/-4), B(9/0), C(-3/6).
a) Ermittle die Koordinaten des Höhenschnittpunkt und die Gleichung des Umkreises.
b) Die Höhe ha schneidet den Umkreis im Punkt D und die Seite a im Punkt E.
Berechne die Koordinaten von D und E. Zeige, dass die Strecken DE und EH gleich lang sind.
c) Berechne den Flächeninhalt des Vierecks ABCD.
4. Bei einer Operation werden unter anderem zwei Medikamente eingesetzt.
a) Medikament 1 wird im Körper mit einer Halbwertszeit von 45 Minuten abgebaut. Die Restmenge nach der
Zeit t wird durch die Funktion N(t) = N0·e-λt angegeben.
i) Berechne die Konstante λ.
ii) Wie viel Prozent des Medikaments werden pro Stunde abgebaut?
iii) Wie lange dauert es, bis nur mehr 1% der ursprünglichen Menge übrig ist?
b) Die Menge des Medikaments 2 nimmt pro Stunde um 10% ab.
i) Berechne auch hier die Konstante λ (bezogen auf die Zeit in Minuten!)
ii) Ermittle die Halbwertszeit.
c) Eine Patientin erhält gleichzeitig 2 mg von Medikament 1 und 0,25 mg von Medikament 2.
Nach welchem Zeitraum ist von beiden Medikamenten noch gleich viel vorhanden?
5. Bei einem Fest werden zwei Gewinnspiele angeboten.
Spiel A: In einem Sack befinden sich 5 rote und 5 schwarze Kugeln. Der Spieler nimmt ohne Zurücklegen drei
Kugeln heraus; er gewinnt, wenn alle drei rot sind.
Spiel B: Der Spieler würfelt mit zwei Würfeln; er gewinnt, wenn die Augensumme 11 oder 12 beträgt.
a) Bei welchem Spiel ist die Chance zu gewinnen höher?
b) Frau G. hat 25mal gewürfelt und folgende Augensummen erzielt:
5, 8, 9, 7, 10, 4, 7, 5, 7, 8, 8, 2, 4, 3, 5, 8, 3, 11, 7, 8, 11, 6, 4, 10, 6
Ermittle die absoluten und relativen Häufigkeiten und stelle die Ergebnisse in einem Histogramm dar.
Berechne den Mittelwert und die Standardabweichung.
c) Herr H. versucht sein Glück bei Spiel A. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er bei 10 Spielen
i) mindestens einmal
ii) höchstens zweimal gewinnt?
iii) Wie oft müsste er spielen, um mit 90% Wahrscheinlichkeit mindestens einmal zu gewinnen?
d) Die Veranstalter erwarten, dass 3000 Personen an Spiel A teilnehmen.
i) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 240 Preise ausgegeben werden?
ii) In welchem symmetrischen Intervall [μ - ε, μ + ε] liegt mit 95% Wahrscheinlichkeit die Anzahl der Preise?
iii) Wie viele Preise muss man bereitstellen, wenn die Gefahr, dass sie nicht ausreichen, höchstens 1%
betragen soll?
Ergebnisse:
1 a) f(x) = -x³/3 + x² b) N(3/0), tN: y = -3x + 9 d) 11,25 FE e) 81/35 π = 7,27 VE
2 a) AD = 4550 m, BD = 5839 m, CD = 5379 m b) 586 m c) B: 5,73°, C: 6,22°
3 a) H(-1/0), U(2/1), ku: (x - 2)² + (y - 1)² = 50 b) D(3/8), E(1/4) c) 90 FE
4 a) i) λ1 = 0,0154 ii) 60,3% iii) 299 min b) i) λ2 = 0,00176 ii) 395 min c) 152 min
5 a) beide gleich: 1/12 b) Hi: 1; 2; 3; 3; 2; 4; 5; 1; 2; 2; 0
hi: 0,04; 0,08; 0,12; 0,12; 0,08; 0,16; 0,20; 0,04; 0,08; 0,08; 0
x = 6,64; s = 2,48
c) i) 0,5811 ii) 0,9555 iii) 27mal
d) i) 0,7454 ii) [220, 280] iii) 286