4.SA 7C

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4. Mathematikschularbeit, am 5. 6. 2008
7C
Bei allen Aufgaben, egal ob du sie mit oder ohne Verwendung des TI-Voyage löst, muss der Rechenweg klar nachvollzogen werden können.
1. Ein Unternehmer produziert EDs. Er kennt für einige Stückzahlen den Zusammenhang
zwischen Produktionsmenge und Gesamtkosten. Weiters weiß er auf Grund von Marktbeobachtungen, bei welchem Preis er noch alle EDs an den Mann bzw. an die Frau bringt,
wenn er eine bestimmte Anzahl von EDs auf den Markt wirft. Ermittle eine Kostenfunktion
dritten Grades, die möglichst nah an den vorgegebenen Punkten verläuft, und eine Nachfragefunktion der Form p(x) = abx + c, die durch die drei vorgegebenen Punkte verläuft.
Wie viel Gewinn kann der Unternehmer maximal erzielen? Beachte, dass sich halbe EDs
weder produzieren noch verkaufen lassen!
K(0) = 1200 €
k(200) = 1550 €
K(400) = 1800 €
K(600) = 1950 €
K(800) = 2200 €
K(1000) = 2700 €
p(70) = 8 €
p(250) = 5,8 €
p(1000) = 2 €
(12 Punkte)
2. Gegeben ist die Kostenfunktion K(x) = 0,0000008x³ – 0,002x² + 2,2x + 1000 und die
Nachfragefunktion p(x) = 6 – 0,004x.
a) Berechne die Kostenkehre. Wo sind die Kosten progressiv, wo regressiv?
b) Berechne das Durchschnittskostenminimum und das Betriebsoptimum.
c) Berechne die Sättigungsmenge.
d) Berechne die erlösmaximierende Menge und den maximalen Erlös.
e) Berechne die gewinnmaximierende Menge und den maximalen Gewinn.
f) Bei welchen Stückzahlen macht man Gewinn?
(12 Punkte)
3. Von einem Kreis kennt man zwei Tangenten t1[T(9/-2); S(-1/-12)] und t2[P(-4/9); S]. T ist
ein Punkt des Kreises, S und P liegen nicht am Kreis. Die y-Koordinate des Mittelpunktes
des gesuchten Kreises ist positiv. Ermittle die Kreisgleichung. Ermittle die Gleichung jener
Tangenten t3 und t4 an den Kreis, die durch den Punkt W(19/-2) gehen.
(12 Punkte)
4. Gegeben ist die Ellipse 16x² + 49y² = 784. Ermittle rechnerisch die Haupt- und
Nebenachsenlänge. Berechne und konstruiere die Schnittpunkte der Ellipse mit der Geraden g: 3y – 2x = 6. Zeichne die Brennpunkte ein. Ermittle mit Hilfe der Brennpunktdefinition mindestens zwei weitere Punkte der Ellipse. Ermittle durch Stauchung des
Hauptscheitelkreises zumindest zwei weitere Punkte der Ellipse. Konstruiere die Hauptund Nebenscheitelkrümmungskreise. Zeichne die Ellipse ein.
(12 Punkte)
Viel Erfolg! 
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