1.SA 8D

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1. Mathematikschularbeit, am 14. 12. 2010
8D
Bei allen Aufgaben, egal ob du sie mit oder ohne Verwendung des TI-Voyage löst, muss der Rechenweg klar nachvollzogen werden können.
1. Die Graphen der beiden Funktionen f(x) und g(x) begrenzen eine endliche Fläche.
Ermittle ohne Verwendung des TI Voyage den Flächeninhalt dieser Fläche!
f(x) =
x2
3
– 2x + 4
g(x) = - x² + 10x – 20
(10 Punkte)
2. Gegeben ist die Parameterdarstellung einer Kurve k. Zeichne den Graphen der
Funktion für t  [0;360] (t in Grad) in dein Heft und berechne die Länge dieses
Kurvenbogens.
(8 Punkte)
k:
x(t) =
y(t) =
10  t  cos(t)
z''
15
z'''
10  t  sin(t)
15
par''
par'''
3. Ermittle das Volumen der Kapelle (Fronhausen –
Mieminger Plateau)! Der untere Teil des Gebäudes ist
ein Quader, die beiden Dachflächen
sind Konoide, d.h. sie werden von
Geraden parallel zur xz-Ebene erzeugt. Die Maße sind der Zeichnung
zu entnehmen, der parabelförmige (in
y''
par'
y'
x'
der Angabe blaue) First liegt in der yz-Ebene.
2
par: z = y + 4
9
x'''
(8 Punkte)
4 a) Die Funktion f(x) und die x-Achse begrenzen eine endliche Fläche. Fertige eine
Skizze an! Berechne den Flächeninhalt, den Umfang und den Schwerpunkt dieser Fläche!
Rotiert die Fläche um die x-Achse, so entsteht ein Drehkörper. Berechne das Volumen,
die Oberfläche und den Schwerpunkt dieses Drehkörpers!
b) Der Körper aus Teil a) ist durch ebene Schnitte rechtwinklig zur x-Achse in drei dem
Volumen nach gleich große Teile zu zerteilen. Wo müssen diese Schnitte erfolgen?
f(x) =
x  ( x  6) 2
10
(12 Punkte)
5. Laut Newton’schem Temperaturänderungsgesetz ist die Änderung der Temperatur mit
der Zeit direkt proportional zum bestehenden Temperaturunterschied. Leite davon
ausgehend die Formel für beschränktes Wachstum / beschränkte Abnahme her!
Eine Tasse Glühwein hat, als sie serviert wird, 80°C, zehn Minuten später 50°C und weitere fünf Minuten später nur noch 39°C. Wie groß ist die Umgebungstemperatur? Wie kalt ist
der Glühwein nach 30 Minuten? Wann hat der Glühwein eine Temperatur von 10°C?
(10 Punkte)
Viel Erfolg! 
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