Integralrechnung 2

Übungen zur 1. SA der 8C
8. Leite mit Hilfe der Integralrechnung die Formel für das Volumen eines Torus her:
V = 2²Rr²
1. Ermittle das Volumen des Konoids!
Grundfläche:
Rechteck A(2/-1/0), B(2/1/0), C(-2/1/0), D(-2/-1/0)
Deckfläche: Kreis M(0/0/2), r=2, a ║ z-Achse
9. Aus einem Drehzylinder mit dem Radius
5 cm wurde wie in der nebenstehenden
Abbildung (links) ein Drehzylinder mit dem
Radius 5 cm herausgebohrt. Berechne das
Volumen des entstehenden Restkörpers!
2. Der Drehkegel DK[M(0/0/0), S(0/0/12), r=4] wird mit der
zweitprojizierenden Ebene : y + z = 4 geschnitten. Der obere Teil
wird entfernt. Berechne das Volumen des verbleibenden Restkörpers!
z''
10. Der Drehkegel mit dem Radius 5 cm und der Höhe 10 cm
(M(0/0/0), S(0/0/10)) wurde mit
der Ebene : x + 2z = 5
geschnitten. Berechne das Volumen des unterhalb der Ebene
liegenden Drehkegelteiles!
z'''
par''
par'''
4. Die Funktion f(x) und die x-Achse begrenzen eine endliche Fläche. Berechne den
Flächeninhalt, den Umfang und den Schwerpunkt dieser Fläche. Die Fläche rotiert um die
x-Achse. Berechne das Volumen, die Oberfläche und den Schwerpunkt des entstehenden
Rotationskörpers!
y''
x  2  (x  5)2
10
5. Die Funktion f(x) und die x-Achse begrenzen eine endliche Fläche. Berechne den
Flächeninhalt, den Umfang und den Schwerpunkt dieser Fläche. Die Fläche rotiert um die
x-Achse. Berechne das Volumen, die Oberfläche und den Schwerpunkt des entstehenden
Rotationskörpers!
f(x) =
par'
x  8  x  x  12
5
y'
 (x  2)2  (1 0  x)
 x  8x
 4
f(x) = 


20


8
7. In einer Schule verbreitet sich das Gerücht, es gäbe gar keine Eds.
Anfangs glauben 6 Schülerinnen bzw. Schüler darüber Bescheid zu wissen, zwei Stunden
später sind es bereits 40 Schülerinnen bzw. Schüler. Nach vier weiteren Stunden hat
sich das Gerücht bei 570 Schülerinnen und Schülern herumgesprochen.
Wie viele Schüler und Schülerinnen besuchen die Schule? Wann wissen 90% aller
Schülerinnen und Schüler Bescheid?
(Leite die Formel für logistisches Wachstum selber her. Warum sind andere
Wachstumsmodelle nicht geeignet?)
M'=S'
x'''
11. Ermittle das Volumen der Kapelle
(Fronhausen – Mieminger Plateau)! Der
untere Teil des Gebäudes ist ein Quader, die
beiden Dachflächen sind Konoide, d.h. sie
werden von Geraden parallel zur xz-Ebene erzeugt. Die Maße sind der Zeichnung zu
entnehmen, der parabelförmige (in der
Zeichnung blaue) First liegt in der yz-Ebene.
x'
6. Die Funktion f(x) und die x-Achse begrenzen eine endliche
Fläche. Berechne den Flächeninhalt, den Umfang und den
Schwerpunkt dieser Fläche. Wenn die Fläche um die x-Achse
rotiert, entsteht der nebenstehende Barbapapa. Berechne
Barbapapas Volumen, seine Oberfläche und seinen Schwerpunkt!
(Die Arme sind zu vernachlässigen.)
''
M''
3. Die Eckpunkte der Parfumflasche haben die Koordinaten A(6/0/0),
B(6/6/0), C(0/6/0), D(0/0/0), E(6/0/8), F(6/6/8), G(0/6/8) und
H(0/0/8). Berechne das Volumen!
f(x) =
S''
par: z =
y2
+4
9
12. Eine Halbkugel mit dem Radius 10 cm wurde wie
in der nebenstehenden Abbildung mit drei Drehzylindern mit dem Radius 10 cm ausgebohrt. Der Abstand
der Zylinderachsen vom Kugelmittelpunkt beträgt
jeweils 16 cm. Berechne das Volumen des entstehenden Restkörpers!
13. Aus einem Drehkegel mit dem Radius 10 cm und der Höhe 20
cm wurde wie in der nebenstehenden Abbildung ein Drehzylinder
mit dem Radius 5 cm herausgebohrt. Berechne das Volumen des
entstehenden Restkörpers!