MATHE-MIX 4 1) Eine Ellipse 1.HL ( b = 3 ) hat mit einer Parabel 1
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MATHE-MIX 4 1) Eine Ellipse 1.HL ( b = 3 ) hat mit einer Parabel 1.HL den Punkt P ( 3 / 2,4 ) gemeinsam. a) Bestimme das Volumen des Drehkörpers,das durch Rotation des kleineren eingeschlossenen Flächenstücks um die x-Achse entsteht ! ell: a=5, par: y² = 1,92x; V = 14,88 b) Diesem Rotationskörper ist der volumsgrößte Kegel mit S( 0 / 0 ) einzuschreiben. c) Berechne den Schwerpunkt dieses Flächenstücks! 2) Die Kugel K, die durch Q(14/-3/-14) geht, berührt die Ebene : 6x - 2y - 3z = 43 im Punkt P( x / 1 / -5 ). Bestimme die Gleichung der Kugel und der Tangentialebene in Q ! ( M(11/-1/- : 3x-2y-6z = 132 ) Berechne den Schnittwinkel der beiden Tangentialebenen ! ( 35,3° ) Welchen Anteil am Kugelvolumen nehmen die beiden durch die xz-Ebene abgeschnittenen Kugelsegmente ein ? ( 39,36% bzw. 60,64% ) 3) Kurvendiskussion : f(x) = 2x.e x Berechne den Flächeninhalt, den die Kurve mit der x-Achse einschließt! Ermittle die Koordinaten des Schwerpunkts dieses Flächenstücks! Berechne das Volumen mit Hilfe der Guldinscheen Regel! (A=2 FE) (S(1 /0,25)) V = 2 VE 4) Ein Möbelhaus lockt mit verschiedenen Gewinnmöglichkeiten. Wenn man um mindestens 300 € einkauft, hat man die Wahl, am Glücksrad zu drehen oder aus einer Urne die Glückskugel zu ziehen. Am Glücksrad sind 3 von 8 Feldern Treffer. ( 50 €, 20 € und 10 €) a) ? p , daß unter 6 Spielen mindestens 1 Gewinn (94%) genau 4 Gewinne (11,6%) höchstens 2 Gewinne erzielt werden ? (59,6%) b) Wie oft muß man drehen, um mit mehr als 95% W. mind. einmal zu gewinnen ? (n=7) c) Wie hoch ist die Gewinnerwartung? 10 € d) An einem Tag wurde das Rad 256 mal gedreht. Mit wie vielen Gewinnen musste man mit 95% Wahrscheinleichkeit rechnen? [80,8;111,2] e) Aus der Urne wird die Glückskugel pro Tag durchschnittlich 3 mal gezogen. Wie wahrscheinlich ist es, dass sie heute 5 mal erwischt wird? f) Geburtstagskinder werden heute auf Kaffee und Kuchen eingeladen. Mit wie vielen Gästen muss bei 2500 Kunden gerechnet werden? 5) : X = (0/3/3) + t(-2/4/-5) + s(-4/1/-3) liegen A( 4/2/z ) und B( 2/y/1 ). AB ist Seite des Quadrats ABCD . ( C,D: x>0 ) A(4/2/6), B(2/6/1), AB= 45 C(8/9/1), D(10/5/9) Das Quadrat ist Grundfläche einer geraden Pyramide ( h = 6 cm ) Bestimme S und berechne das Volumen! S(4/9,5/7,5) V = 90 6) Von einer geraden quadratischen Pyramide kennt man den Eckpunkt A(-1/-2/5) der Basis, die Spitze S(2/1/8) und die Trägergerade der Höhe h: X = (2/1/8) + t.(2/-1/2). a) Ermittle die fehlenden Punkte und das Volumen der Pyramide ! ( M(0/2/6) C(1/6/7) B(3/2/3) D(-3/2/9) V = 36 VE ) b*) Bestimme die Koordinaten der Eckpunkte E und F eines regelmäßigen Oktaeders mit der Grundfläche ABCD !( reg. Oktaeder: AE = AF = AB bzw. h(Pyr) = d (Quadrat)) (E ( 2. 2 / 2 2 / 6 2. 2 ) F ( 2. 2 / 2 2 / 6 2. 2 ) ) c) Bestimme die Gleichung der In- und Umkugel des Oktaeders! 7) Schleife: y² = 91 (2 x )² ( x 1) ges: Def.bereich, N, E, A; V und S bei Rot. um die x-Achse D = [ -1; [ N(2/0), N(-1/0) E(0/ 2 A = 2,77 V=2,36 S(0,2/0) 3 8) Berechne das Volumen eines Torus ( ri = 15 cm), wenn die Querschnittsfläche a) ein Kreis b) ein stehender Halbkreis c) ein Viertelkreis mit r = 2 cm d) ein gls. Dreieck mit a = 2 cm ist! 9) Bei einer Lotterie soll die Gewinnchance angeblich 60 % betragen. a) Wieviele Treffer kann man mit 90% Wahrscheinlichkeit unter 500 Losen erwarten ? [282;318] b) Berechne, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Anzahl der Treffer um höchstens 30 vom Erwartungswert abweicht ! 62 % c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,mindestens 400 Treffer zu haben ? 2% d) ...... , genau 300 Treffer ... 11,5 % 11) Ein Eignungstest enthält 300 Fragen. Zu jeder Frage ist von 3 mögl.Antworten die richtige anzukreuzen. Ein Kandidat kreuzt auf gut Glück an. a)Wie groß ist die W.,daß er von den ersten 5 Fragen mind. 3 richtig hat ? 21 % b)...von allen 300 Fragen mind. 120 richtig ? 0,71 % c)...von allen Fragen mind 75 und höchstens 110 richtig ? 89 % Erkläre,warum b) und c) durch eine NV approximiert werden dürfen 12) a) Um das Budget etwas zu aufzubessern, will Bernd seine durchgerechneten WagnerBeispiele an die SchülerInnen der 6B verkaufen. Welches Angebot sollte er bei p = 3% annehmen? Wovon wird seine Wahl abhängen? A: 200 € sofort und weitere 100 € nach der Matura in 3 Jahren E3 = 318,55 € B: halbjährlich 75 € vorschüssig - 2 Jahre lang E3 = 320,67 € b) Für ein eigenes Auto nimmt er einen Kredit von 4000 € mit einer Laufzeit von 5 Jahren zu p= 8% auf. Wie hoch ist eine vorschüssige Monatsrate? 80,06 € c) Nach 3 Jahren verkauft er allerdings sein Auto wieder und zahlt seine Restschuld ab. Wie hoch ist dieser Betrag? 1786,40 € 13) Die Funktion y = ax . e bx besitzt an der Stelle x = 1 eine Extremstelle und hat im Schnittpunkt mit der die y-Achse die Steigung k = 4. Ermittle die Funktionsgleichung! f(x) = 4x . ex Bestimme die Koordinaten des Wendepunktes sowie die Steigung in W! Ermittle mit Hilfe der Regel nach de l’Hospital die Gleichung der Asymptote! Zeichne den Graphen! Berechne den Inhalt des uneigentlichen Flächenstücks zwischen Kurve und positiver x-Achse! Bestimme die Koordinaten des Schwerpunkts dieses Flächenstücks! Es gibt nun 2 Möglichkeiten, sehr rasch das Volumen anzugeben, das durch Rotation dieses Flächenstücks um die x-Achse entsteht. Welche? Lösungen: : As: y = 0 ( x-Achse ) für x A = 4 FE S( 2 / 0,5 ) Vol: Vx = 14) f(x) = x2² 52x 1 berührt y 2 W( 2 / 8 ) kW = - 0,54 e2 dx Guldinsche Regel Vx = 4 g(x) = 3x ² 4 VE a Bestimme den Wert für a , skizziere beide Graphen und berechne die von den beiden Graphen und der y-Achse eingeschlossenen Fläche ! ( a = 9/4 A = 0,42 FE )
