Juni 2015 deutsch

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Harmonisiertes Examen ohne CAS (32 Punkte)
1. Kreisgleichung ( 6 Punkte )
Bestimme den Mittelpunkt und den Radius des Kreises k:
x 2  y 2  8x  6 y  20  0
k:
2. Trigonometrische Gleichungen
( 10 Punkte )
(4+6)
Bestimme die Lösungen der trigonometrischen Gleichungen
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x ∈ [0; 2𝜋]
a)
cos(2𝑥) =
b)
2 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 − sin 𝛼 − 1 = 0
3. Polynome
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( 8 Punkte )
𝛼 ∈ [0°; 360°]
(4+4)
a) Gegeben ist das Polynom P ( x ) durch
P(x) = 2𝑥 3 + 4𝑥 2 + 𝑘𝑥 + 20
( k ∈ ℝ)
Ermittle die reelle Zahl k, für die das Polynom durch ( x - 2) ohne Rest teilbar ist.
b) Schreibe das Polynom als Produkt von Linearfaktoren:
2𝑥 3 + 4𝑥 2 − 26𝑥 + 20.
4. Geradengleichungen
( 8 Punkte)
( 2+2+2+2 )
Gegeben sind der Punkt C ( 1 | 1 ) und die Gerade g: - 2x + 3y + 6 = 0.
a) Zeige, dass der Punkt A (−3 | − 4) auf der Geraden g liegt.
b) Gib eine Parametergleichung der Geraden g an.
c) Berechne den Abstand des Punktes C von der Geraden g.
d) Ermittle die Gleichung einer Geraden h in expliziter Form, die senkrecht zum
Vektor 𝑣⃗ = (
3
) und durch den Punkt P ( - 2 | - 2 ) verläuft.
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Harmonisiertes Examen mit CAS (68 Punkte)
1. Lineare Gleichungssysteme
( 8 Punkte)
(6+2)
Ein Freizeitpark bietet Tickets in drei verschiedenen Preiskategorien an:
Man kann Schülertickets, Erwachsenentickets und Tickets für Kinder kaufen.
Familie A kauft 3 Kindertickets und 2 Erwachsenentickets und bezahlt 104 €.
Familie B kauft 5 Kindertickets, ein Erwachsenenticket und 2 Schülertickets und bezahlt
155 €.
Familie C kauft 2 Tickets von jeder Sorte und bezahlt 126 €.
a) Stelle ein lineares Gleichungssystem mit den angegebenen Informationen auf.
b) Löse das LGS und berechne so die Kosten für die einzelnen Tickets.
2. Wahrscheinlichkeit
( 13 Punkte )
( 4+3+3+3 )
15-16jährige Jugendliche wurden zu ihrer Wahl zwischen iPhone und
Android befragt. 32 % der Befragten waren junge Frauen, die übrigen
waren junge Männer. Die Studie zeigte, dass 74 % der Frauen und
48 % der Männer ein iPhone haben.
a) Zeichne ein Baumdiagramm zur beschriebenen Studie.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Teilnehmer
b) weiblich ist und ein iPhone hat,
c) ein Android besitzt,
d) männlich ist, wenn bekannt ist, dass er ein Android besitzt.
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3. Trigonometrie
( 12 Punkte )
( 4 + 4+ 4 )
Die Skizze zeigt eine Fläche ABCD, in die die Diagonale ̅̅̅̅
𝐵𝐷 eingezeichnet ist.
Es sind folgende Maße bekannt:
∡( 𝐷𝐴𝐵 ) = 15 °
∡( 𝐵𝐶𝐷 ) = 36 °
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅ | = 66 𝑚.
|𝐴𝐷| = 235 𝑚, |𝐴𝐵 | = 300 𝑚, |𝐵𝐶
Gib in folgenden Berechnungen das Ergebnis jeweils als ganze Zahl an.
̅̅̅̅|.
a) Berechne die Länge der Diagonalen |𝐵𝐷
b) Berechne den Winkel ∡(BDC).
c) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks BCD.
4. Hyperbeln
( 14 Punkte )
Eine Funktion f sei definiert durch f ( x ) =
( 3+2+2+2+3+2 )
𝑎𝑥+6
𝑥+𝑏 ,
( a, b ∈ ℝ )
a) Bestimmen Sie reelle Zahlen a und b so, dass gilt:
1. Die Gerade y = - 2 ist eine Asymptote des Graphen von f und
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2. Der Punkt A (1 | ) liegt auf dem Graphen von f.
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b) Nutze für die folgenden Aufgaben a = - 2 und b = 4.
1. Bestimme die Gleichungen der Asymptoten von f.
2. Gib die Koordinaten des Symmetriezentrums C an.
3. Bestimme die Schnittpunkte des Graphen von f mit den Koordinatenachsen.
4. Skizziere den Graphen von f in einem rechtwinkligen Koordinatensystem.
5. Gegeben sei die Gerade g: y = - x + q ( q 𝜖 ℝ ).
Untersuche mit Hilfe eines Schiebereglers die Anzahl der gemeinsamen Punkte
des Graphen von f mit dem Graphen von g, wenn q Werte von - 3 bis 14 mit
einer Schrittweite von 0,5 annimmt.
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5. Statistik
( 8 Punkte )
(3+3+2)
Die folgenden Tabellen zeigen die Testergebnisse einer Studentengruppe in zwei Tests, in
denen die maximal zu erreichende Punktzahl 20 betrug.
TEST 1
arithmetisches Mittel: 9,69
Punkte
Anzahl
Standardabweichung σ = 3,64
0-2
0
3-5
8
6-8
9
9-11
15
12-14
13
15-17
2
18-20
1
0-2
0
3-5
0
6-8
10
9-11
36
12-14
2
15-17
0
18-20
0
TEST 2
Punkte
Anzahl
a) Berechne das arithmetische Mittel im Test 2 und gib das Ergebnis mit 2
Dezimalstellen an.
b) Berechne die Standardabweichung von Test 2 und gib das Ergebnis mit 2
Dezimalstellen an.
c) Stimmst Du folgender Aussage zu? Begründe Deine Meinung.
"Beide Test ermöglichen sehr gut das Erkennen von Leistungsunterschieden
der Studenten."
6. Analytische Geometrie des Kreises und der Geraden
( 13 Punkte)
( 3+2+3+2+3 )
Ein Kreis k mit dem Mittelpunkt M hat die Gleichung ( 𝑥 − 5 )2 + ( 𝑦 + 12 )2 = 169.
a) Gib die Koordinaten des Mittelpunktes M und den Radius an.
b) i. Prüfe, ob der Kreis k durch den Koordinatenursprung verläuft.
ii. Der Kreis k verläuft durch die Punkte P ( 10 | 0 ) und Q ( 0 | p ).
Bestimme die Werte von p.
c) Der Punkt R ( - 7 | - 7 ) liegt auf dem Kreis k.
i. Bestimme den Anstieg der Geraden g (RM ).
ii. Ermittle die Gleichung der Tangente an den Kreis im Punkt R, gib die
Tangentengleichung in allgemeiner Form Ax + By + C = 0 an, wobei A, B und C
ganze Zahlen sein sollen.
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