Zusammenfassende Aufgaben zur Differentialrechnung 1) Gegeben

Zusammenfassende Aufgaben zur Differentialrechnung
1) Gegeben ist die Funktion
1
𝑓(𝑥) = 𝑥² − 1
2
a) Zeichne die Funktion in [-2, 4]
b) Berechne den Differenzenquotienten zwischen x0 = 2 und x1 = 4. Was bedeutet er
geometrisch (im Graphen einzeichnen!)
c) Was bedeutet es geometrisch, wenn x1 immer näher an x0 rückt? Berechne den
entsprechenden Differenzenquotienten für x =1; 0,1; 0,001.
d) Berechne durch Limesbildung den Differentialquotienten der Funktion f.
e) Zeichne mit Hilfe dieser Berechnung die erste Ableitung im selben Graphen wie oben ein!
2) Von der Spitze des Eifelturms ( h = 300 m ) wird ein Stein fallengelassen. Folgende Formel
beschreibt den zurückgelegten Weg in Abhängigkeit von der Zeit t. (Der Luftwiderstand wird
vernachlässigt). (g = 10 m/s²).
𝑠(𝑡) =
𝑔
𝑡²
2
a) Lege eine Wertetabelle zur Berechnung des nach t sec. zurückgelegten Weges s für
t [0, 8] an.
b) Skizziere den Graphen mit einem geeigneten Maßstab, so dass die Höhe des Eiffelturms
dargestellt wird.
c) Nach welcher Zeit trifft der Stein am Boden auf?
d) Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeit vom Beginn bis zum Auftreffen auf dem
Boden.
e) Wie kann das in d) Berechnete im Graphen veranschaulicht werden? Zeichne ein!
f) Mit welcher Momentangeschwindigkeit trifft der Stein am Boden auf?
g) Wodurch kann die Momentangeschwindigkeit im Graphen veranschaulicht werden?
1
3) Gegeben ist die Funktion 𝑓(𝑥) = 8 x 3 + 1; x0 = 1.
a) Zeichne den Graphen in [-2, 8]!
b) Ermittle jenen Punkt x1, so dass die mittlere Steigung im Intervall [x0, x1] gleich 1 ist!
c) Wie lautet der Ansatz, so dass b) rechnerisch ermittelt werden kann?
d) Ermittle (ungefähr) jenen Punkt P(x/y) des Graphen, wo die Steigung ebenfalls gleich eins
ist!
e) Berechne den Differentialquotienten an der Stelle x0 (allgemein) durch Grenzwertbildung!
+f) Berechne mit Hilfe der aus e) ermittelten Ableitungsfunktion den Punkt P exakt (an dem
die Steigung gleich 1 ist)!