Trigonometrie

Analytische Geometrie III
16.) Die Gerade g: x = 4 schneidet die Parabel par: y2 = 4x in zwei Punkten P und Q. In P und Q werden
die Tangenten und Normalen gelegt. Die Tangenten schneiden einander in einem Punkt T, die
Normalen in einem Punkt N.
a) Bestimme die Koordinaten von P, Q, T und N.
[P(4|4), Q(4|-4), T(-4|10), N(6|0)]
b) Zeige, dass P, Q, T und N auf einem Kreis liegen, dessen Mittelpunkt der Brennpunkt F der
Parabel ist. Wie lautet die Kreisgleichung?
[(x - 1)2 + y2 = 25]
c) Der Kreis und die Parabel bestimmen ein sichelförmiges Flächenstück. Wie groß ist der
Flächeninhalt (Rechne auf Zehntel FE genau!)?
[A = 50,1 FE]
d) Das Flächenstück aus c) rotiert um die x-Achse. Berechne auf Zehntel RE genau den Rauminhalt
1
des entstehenden Rotationskörpers.
[V  117  RE  368,6 RE ]
3
17.) Von einer Ellipse in 1. HL kennt man a  20 sowie den Punkt P(2|2).
a) Stelle eine Gleichung der Ellipse auf.
[x2 + 4y2 = 20]
b) Welchen Winkel schließt die Tangente an die Ellipse im Punkt P mit der y-Achse ein?
[76,0°]
c) Bestimme jenen Punkt der Ellipse, der von der Geraden g: -x + y = 10 den größten Abstand hat.[(4|-1)]
18. Gegeben ist eine Hyperbel in 1. HL durch u: y = 2x sowie eine Tangente t: 5x – 2y = 9.
a) Bestimme die Hyperbelgleichung.
[4x2 – y2 = 36]
b) Berechne die Koordinaten des Berührpunktes T der Tangenten t.
[T(5|8)]
c) Die Hyperbel wird im Punkt T von einer Ellipse in 1. HL mit a  5 5 geschnitten. Berechne
den Schnittwinkel der beiden Kurven.
[90°]
19. Eine gleichseitige Hyperbel in 1. HL geht durch den Punkt P(5|3). Durch P geht auch eine Ellipse in
1. HL, deren Halbachsen a und b sich wie 5:3 verhalten.
a) Wie lauten die Gleichungen der Kegelschnittlinien?
[hyp: x2 – y2 = 16, ell: 9x2 + 25y2 = 450]
b) Der Hyperbelbogen zwischen x-Achse und P sowie der Ellipsenbogen zwischen y-Achse und P
begrenzen im 1,. Quadranten ein Flächenstück. Berechne das Volumen des Drehkörpers, der bei
Drehung dieses Flächenstücks um die x-Achse entsteht.
[V = 222π RE]
20.) Durch den rechts vom Mittelpunkt liegenden Brennpunkt der Ellipse ell: 4x2 + 9y2 = 180 wird eine
Ellipsensehne parallel zur Geraden g: 2x + y = 0 gezogen. Wie lang ist diese Sehne? Welchen
Winkel bildet sie mit der Ellipsentangente, die in ihrem im 1. Quadranten liegenden Endpunkt
gezogen werden kann?
[ 45 , 45]
21.) Für welche Punkte der Hyperbel hyp: 8x2 – y2 = 8 ist die Summe der Abstände von den
Brennpunkten 18? Berechne die Gleichungen der Tangenten an die Hyperbel, die zur Geraden
g : 2 6 x  y  1 parallel sind.
[ P(3  8), t : y  2 6 x  4]
22.) Gegeben sind die Hyperbel in 1.HL durch den Punkt T(3|y>0) und g: 3x – y = 5 als
Hyperbeltangente in T sowie eine Parabel in 1. HL mit g: -2x + y = 2 als Tangente.
Berechne die Schnittpunkte der beiden Kegelschnittlinien.
[ S (5  4 5 )]
Reifeprüfungsvorbereitung 2002/2003 - SCHRIFTLICH
Peter Graf