Vektorrechnung im R² / Ellipse, Parabel und Hyperbel

Wiederholung Vektorrechnung im R2 / Ellipse, Hyperbel und Parabel
Wiederhole:
Gleichung einer Geraden (Parameterform, Normalvektorform); Abstand Punkt/Gerade (HNF); Winkel zwischen
Geraden; Winkel, Umfang und Flächeninhalt von Dreiecken
H,U und S sowie Euler’sche Gerade eines Dreiecks, Kreisgleichung, Kreistangenten, ...
Ellipse, Parabel und Hyperbel: Gleichung, Tangente, Berührbedingung, Brennpunkt, ...
Eingabe/Rechengang/Formeln am Voyage 200
Löse:
1) Der Kreis k: x2 + y2 - 4x + 2y = 60 ist der Umkreis eines Dreiecks ABC. Der Punkt A liegt auf der x-Achse
möglichst nahe beim Ursprung, B und C liegen auf der Geraden g: 11x + 3y = 84. Wie viel Prozent der
Umkreisfläche nimmt das Dreieck ABC ein?
2)
Die Eckpunkte des Dreiecks ABC [A(12/0), B(-15/-9), C(20/y< 0)] liegen auf einer Hyperbel in 1.Hauptlage.
Berechne den Höhenschnittpunkt des Dreiecks und zeige, dass auch er auf der Hyperbel liegt!
3)
Von einer Parabel in 1.HL kennt man eine Tangente tP: x - 2y + 8 = 0. Die Gerade g, die durch den Berührpunkt P
von tP und den Brennpunkt F der Parabel geht, schneidet die Parabel neben P noch in einem zweiten Punkt Q.
Berechne den Winkel, den die Parabeltangenten in P und Q einschließen!
In welchem Punkt S schneidet die Gerade g die Leitlinie l der Parabel?
4)
geg.: Dreieck ABC: A(4/y>0), B und C liegen auf g: x + 2y = 2 , Umkreis k: x2 - 6x + y2 - 4y - 37 = 0
Vergleiche den Abstand des Punktes A von der Euler’schen Geraden e mit dem Abstand zwischen
Umkreismittelpunkt U und Höhenschnittpunkt H!
5)
0
3
geg.: Gerade t: X =   + s ⋅  
 5
1
 
 
a) Bestimme die Gleichung einer Ellipse, die t in T(-3/y) berührt
b) Bestimme die Gleichung eines Kreises k, der t in T berührt, dessen Radius gleich
40 ist, und dessen
Mittelpunkt im 4.Quadranten liegt.
c) Zeige, dass einer der beiden Brennpunkte der Ellipse auf diesem Kreis k liegt!
6)
geg.: Dreieck ABC: A(-2/-8), B(4/4), C(-8/16)
ges.: a) Unter welchen Winkeln schneidet die Euler’sche Gerade e die Seiten a, b und c?
b) Unter welchem Winkel schneidet die Schwerlinie sA die Seite BC ?
7)
geg.: Dreieck ABC: A(1/-3),B(4/-2),C(6/2)
ges.: a) Gleichung des Umkreises k
b) Gleichung der Tangente in A
c) Schnittwinkel der Geraden g[AB] mit k
8)
Eine Ellipse berührt die Gerade t: x + y + 4 = 0 im Punkt T(-3/y).
Berechne die Gleichung der Ellipse! Berechne den Höhenschnittpunkt des Dreiecks PTO [O(0/0)], dessen
Schwerpunkt der Nebenscheitel C(0/y>0) der Ellipse ist! Unter welchen Winkeln schneidet die Euler’sche
Gerade des Dreiecks PTO die Ellipse?
9)
Die Eckpunkte A(3/-4) und B(x/6) liegen auf einer Geraden t, welche eine Hyperbel im Punkt T(-2/1) berührt.
Der Eckpunkt C(10/y>0) liegt auf der Hyperbel. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC!
Lösungen: 1) A(-6/0), B(9/-5), C(6/6) ; 36,72% 2) H(13/5) ∈ hyp: x2-y2=144 3) Q( 21 /-2) ; 90° ; S(-2/- 16
3 )
4) A(4/9), B(-4/3), C(8/-3), H(2/5), e:3x+y=11, Ae = UH = 10 5) ell: 4x2+9y2=180 ; F(5/0) ∈ k: (x+1)2+(y+2)2=40
16
6a) 53,13° ; 84,09° ; 55,30° b) 45° 7a) (x-1)2+(y-2)2=25 b) y=-3 c)18,43° 8) ell: x2+3y2=12 ; P(3/7) ; H( 64
9 /- 3 ) ;
e:33x+32y=64 ; 45,88° in C bzw. 89,15° in Se,ell(≈-2,95/≈-1,05) 9) hyp: x2-2y2=2 ; AABC=90
Version 8.12.2006