Analytische Geometrie I

Analytische Geometrie I
1.) Gegeben ist das Dreieck ABC mit A(-13|-10), B(15|-10), C(5|14). Zeige, dass die
Streckensymmetrale der Seite BC und die Winkelsymmetrale des Winkels α einander in einem
Punkt des Umkreises des Dreiecks schneiden.
2.) Bestimme im Dreieck ABC mit A(-1|-3), B(14|2) und C(3|13) den Höhenschnittpunkt H, den
Schwerpunkt S und den Umkreismittelpunkt U. Zeige, dass diese 3 Punkte auf einer Geraden
(Eulersche Gerade) liegen. Bestimme das Verhältnis US : SH
(US : SH  1 : 2)
3.) Der Umkreis eines Dreiecks ist zu den Kreisen, die durch den Höhenschnittpunkt und durch 2 Ecken
eines Dreiecks gehen, kongruent. Man zeige dies für den Umkreis des Dreiecks ABC mit A(-4|-5),
B(10|-3) und C(-4|11) und den Kreis durch die Eckpunkte B und C.
4. Das Quadrat ABCD mit A(-5|4|-3), B(3|4|3), C, D(-5|-6|z) ist die Grundfläche einer Pyramide, deren
Spitze S der Schnittpunkt der drei Ebenen E1: x – y + 2z = 9; E2: 5x + y + z = 6 und E3: 2x + y –
z = -3 ist.
a) Berechne die Koordinaten von C, D und S.
[C( | | ), D(-5|-6|-3), S(1|-2|3)]
b) Wie groß ist das Volumen der Pyramide?
(V = 40 RE)
c) Welchen Winkel (auf Zehntel Grad genau!) schließt die Seitenkante AS mit der Ebenen des
Grundflächenquadrats ein?
( )
5.) Man zeige, dass die beiden Geraden
  2
 2
 5 
  1
 
 
 
 
g : X   4   t   1  und h : X    3   s   3 
 4 
2
 2 
 4
 
 
 
 
einander schneiden. Ihr Schnittpunkt S ist die Spitze eines Tetraeders, dessen Grundfläche das
Dreieck ABC mit A(-4|-9|1), B(3|3|-1) und C(6|-1|3) ist. Berechne das Volumen des Tetraeders und
ermittle den Neigungswinkel des Kante AS gegen die Grundfläche ABC. Wie lauten die
Koordinaten jenes Punkts S’, den man erhält, wenn man S an der Ebene ABC spiegelt?
[S(2|6|10), V = 108 RE, α = 29,1°, S’(-6|8|-6)]
6.) Die Grundfläche ABC mit A(4|4|z), B(5|y|2), C(x|4|0) eines dreiseitigen geraden Prismas liegt in der
Ebene
 3 
1
1
 
 
 
E1 : X    2   u   3   v   0 
 1 
 0
  1
 
 
 
Dieses dreiseitige Prisma wird von der Ebene E2: -15x + 5y + 4z = 6 geschnitten. Berechne den
Flächeninhalt der Schnittfigur.
(A = 8,15 FE)
7.) Die Punkte A(3|0|-1), B(1|4|-1) und C(-2|0|4) liegen auf einer Kugel, deren Mittelpunkt in der Ebene
E: 2x + 3y – 8z = 4 liegt. Berechne den Rauminhalt jenes Tetraeders, der das Dreieck ABC zur
100
Grundfläche und den tiefsten Kugelpunkt zur Spitze hat.
(V 
RE)
3
8. Eine Kugel k, deren Mittelpunkt in der Ebene E1: A(-1|0|-1), B(3|1|4), C(-1|-2|1) liegt, berührt die
Ebene E2: x + 5z = 34 im Punkt T(4|4|z).
a) Berechne die Gleichung der Kugel.
[k: (x – 3)2 + (y – 4)2 + (z – 1)2 = 26]
b) Die xy-Ebene schneidet aus der Kugel einen Kreis heraus. Berechne die Koordinaten des
Mittelpunkts sowie den Radius dieses Kreises.
[r = 5, M(3|4)]
Reifeprüfungsvorbereitung 2001/2002 - SCHRIFTLICH
Peter Graf