MSG-Hausaufgaben Zirkel 9d, Serie 13

MSG-Hausaufgaben Zirkel 9d, Serie 13
Abgabe: 08.02.2017
Lucas Mann
Aufgabe 1. Gegeben sei das Dreieck ABC mit den Eckpunkten A = (0, 0), B = (5, 0) und C = (4, 3).
(a) Berechne die Seitenlängen von ABC .
(b) Sei D der Punkt auf BC mit B D : DC = 2 : 1, sei E der Punkt auf C A mit C E : E A = 1 : 3 und
sei F der Punkt auf AB , sodass AF : F B = 3 : 2. Berechne die Punkte D, E und F .
(c) Berechne den Schnittpunkt von AD und B E . Berechne außerdem den Schnittpunkt von B E
und C F . Was fällt dir auf?
(d) Zeige mit dem Satz von Ceva, dass die in der vorigen Teilaufgabe berechneten Schnittpunkte
tatsächlich gleich sein müssen.
Aufgabe 2. Seien A, B , C und D vier Punkte. Zeige, dass die Mittelpunkte der Seiten des Vierecks
ABC D ein Parallelogramm bilden.
Tipp: Benutze die in Aufgabe 2, Serie 12 bewiesene Charakterisierung von Parallelogrammen.
Aufgabe 3. Sei ABC D ein Viereck und sei A 0 B 0C 0 D 0 das Viereck der Schwerpunkte von den Dreiecken BC D, C D A, D AB und ABC . Zeige, dass ABC D ähnlich zu A 0 B 0C 0 D 0 ist, indem du zeigst,
+D
dass ABC D durch Streckung von A 0 B 0C 0 D 0 mit dem Zentrum Z = A+B +C
(dem Schwerpunkt
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des Vierecks ABC D) entsteht. Was ist der Streckfaktor?
Zusatz
Aufgabe 4. Auf welche zwei Ziffern endet die Zahl 22008 ?
Aufgabe 5. Zeige, dass für alle reellen Zahlen a, b, c gilt:
a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca.
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