51. Mathematik-Olympiade 3. Stufe (Landesrunde) Klasse 11–13

51. Mathematik-Olympiade
3. Stufe (Landesrunde)
Klasse 11–13
Aufgaben – 1. Tag
c 2011 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.V.
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Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und Nebenrechnungen soll deutlich erkennbar
in logisch und grammatisch einwandfreien Sätzen dargestellt werden. Zur Lösungsgewinnung
herangezogene Aussagen sind zu beweisen, falls sie nicht aus dem Schulunterricht bekannt sind.
Auf eine Beweisangabe kann außerdem verzichtet werden, wenn die Aussage einen eigenen
Namen besitzt und dadurch als allgemein bekannt angesehen werden kann.
511331
Man ermittle alle reellen Zahlen a und b, für die das Gleichungssystem
x3 + y 3 = 54,
ax − y = b
keine reellen Lösungen x, y hat.
511332
Der Inkreis des Dreiecks ABC berühre die Seiten BC und CA des Dreiecks ABC in den
Punkten D bzw. E. Der Umkreis des Dreiecks ABC schneide den Umkreis des Dreiecks EDC
außer im Punkt C noch in einem von C verschiedenen Punkt X.
Man beweise: Ist I der Mittelpunkt des Inkreises und O der Mittelpunkt des Umkreises des
Dreiecks ABC, so schneiden sich die Geraden CO und IX auf dem Umkreis des Dreiecks
ABC.
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511333
Ein Parallelogramm werde durch Geraden in Teilfiguren zerlegt. Die Abbildung A 511333 zeigt
eine solche Zerlegung durch 3 Geraden in 5 Teilfiguren I–V.
Abbildung A 511333
Man bestimme alle Parallelogramme, die man durch endlich viele Geraden so zerlegen kann,
dass alle entstehenden Teilfiguren spitzwinklige Dreiecke sind.