Analytische Geometrie II

Analytische Geometrie II
9.
Durch den Wendepunkt des Graphen von f : x 
1 3
2
x  2 x 2  x  5 und durch die Kurvenpunkte
3
3
P(1|y1) und Q(6|y2) geht ein Kreis k.
a) Ermittle die Kreisgleichung!
[(x - 6)2 + (y - 4)2 = 25]
b) Berechne den Winkel zwischen den Tangenten, die man vom Ursprung aus an den Kreis legen
kann.
[87,8°]
c) Berechne auf Hunderstel FE genau den Inhalt jenes dreiecksähnlichen Flächenstücks, das vom
Kreis k und den beiden Tangenten begrenzt wird.
[6,83 FE]
10.) Gegeben sind der Kreis k1: x2 + y2 +2x +6y –10 = 0 und die Gerade g: 3x + y = 4. Man berechne die
Schnittpunkte A und B der Geraden g mit dem Kreis.
a) Wie lautet die Gleichung jenes Kreises k2, der mit dem Kreis k1 die Sehne [A, B] gemeinsam hat
und durch den Punkt C(13|5) geht?
[(x – 8)2 + y2 = 50]
b) Unter welchem Winkel α schneiden einander die Kreise?
[α = 71,6°]
c) Stelle Gleichungen der Tangenten vom Punkt P(-1|7) an den Kreis k1 auf und bestimme den
Winkel β zwischen diesen beiden Tangenten.
[β = 53,1°]
11.) Gegeben ist die Hyperbel hyp: 4x2 – y2 = 20. Berechne
a) die Koordinaten jener Hyperbelpunkte P, für die gilt: F1P  F2 P
b) die Gleichung der Tangenten in diesen vier Punkten
c) den Inhalt des so entstandenen Tangentenvierecks
d) die Gleichung jenes Kreises, der sich diesem Tangentenviereck einschreiben lässt.
[ P(3  4)]
[t : 3x  y  5]
50
FE]
3
[k: x2 + y2 = 2,5]
[A 
12. Vom Punkt P(-6|3) werden an die Parabel par: y2 = 12x die Tangenten t1 und t2 gelegt. Die Tangente
t3 ist zur Polaren des Punktes P1 parallel. Zeige für das Dreieck, dessen Seiten die Trägergeraden t1,
t2 und t3 bilden:
a) Der Höhenschnittpunkt dieses Dreiecks liegt auf der Leitgeraden der Parabel.
b) Der Umkreis dieses Dreiecks geht durch den Brennpunkt der Parabel.
13.) Der Brennpunkt eines Rotationsparaboloids, das durch die Drehung der Parabel y2 = 8x um die
x-Achse entstanden ist, ist Mittelpunkt einer Kugel vom Radius r = 6 LE. In welchem Verhältnis
stehen die Volumina der Kugelteile, in welche die Kugel durch das Rotationsparaboloid geteilt
wird?
[13:14]
14.) An die Parabel y2 = 24x werden in den drei Punkten, deren Ordinaten y1 = 4, y2 = 6 und y3 = 12
betragen, die Tangenten gelegt. Dem so entstehenden Dreieck wird ein Kreis umgeschrieben. Wie
lautet die Kreisgleichung?
[(x – 6)2 + (y – 5)2 = 25]
15.) Die Hyperbel hyp: 3x2 – 5y2 = 30 hat dieselben Brennpunkte wie eine Ellipse um mit dieser
außerdem den Punkt P(5|y) gemeinsam.
a) Ermittel die Ellipsengleichung.
[3x2 + 5y2 = 120]
b) Berechne den Schnittwinkel der beiden Kegelschnittslinien.
[90°]
Reifeprüfungsvorbereitung 2008/2009 - SCHRIFTLICH
Peter Graf
c)
Die Tangenten an die Ellipse und die Hyperbel in P schneiden die y-Achse in den Punkten Q
und R. Zeige, dass die 5 Punkte P, Q, R, F1 und F2 auf einem Kreis liegen.
Reifeprüfungsvorbereitung 2008/2009 - SCHRIFTLICH
Peter Graf