Beispiel 2 - Gymnázium Dr. Karla Polesného Znojmo
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Gymnázium Dr. Karla Polesného, Komenského náměstí 4, Znojmo Schriftliche Reifeprüfung Mathematik – Klasse 6B Vorschlag 2 Gruppe A Beispiel 1 Der Graph der Funktion f(x)=ax3+bx2+cx+d hat den Wendepunkt auf der x-Achse. Die erste Ableitung heißt: f x x 16 x2 . a) Zeige, dass die Gleichung der Funktion lautet f(x)= 1 x3 1 x 2 3 18 2 b) Berechne die Nullstelle(n) und Extremstellen, untersuche das Monotonieverhalten der Funktion! c) Untersuche das Krümmungsverhalten von f, gib den Wendepunkt und die Gleichung der Wendetangente an! d) Zeichne den Graphen der Funktion und die Wendetangente (Einheit 1cm)! e) Der Graph schließt mit der x-Achse zwei Flächen ein. Zeige (rechnerisch), dass ihre Flächeninhalte gleich sind! Beispiel 2 Ein Kreis k geht durch die Punkte A(2/-8), B(3/-7) und C(0/-4). a) Gib die Gleichung des Kreises k an! b) Vom Punkt S(4/-5) werden die Tangenten an den Kreis k: x 2 y 2 2x 12 y 32 0 gelegt. Gib die Gleichungen der Tangenten t1 und t2 und die Koordinaten der Berührungspunkte T1, T2 an! c) Berechne den Flächeninhalt des Dreieckes ST1T2! (S wie oben, T1(3/-7), T2(2/-4)) d) Löse die Aufgabe graphisch (Einheit 1cm)! Zeichne die Punkte A, B, C, den Kreis k (als Umkreis des Dreiecks ABC), die Tangenten t1, t2 vom Punkt S und das Dreieck ST1T2! Beispiel 3 (bei beiden Beispielen sind übersichtliche Skizzen anzufertigen, Ergebnisse auf 2 Dezimalstellen runden!) a) Zwischen zwei gleich hohen Orten A und B soll eine geradlinige Eisenbahnlinie gebaut werden, die zwischen den Punkten M und N durch einen Tunnel führt. Zur Bestimmung der Tunnellänge MN wird in derselben Horizontalebene liegender Punkt P abgesteckt. Berechnen sie die Tunnellänge MN, wenn im Gelände folgende Daten gemessen wurden:PA=a= 5 750m, PB=b= 6 410m, APB==98,27, APM==25,03, BPN==26,03. b) Ein schiefwinkeliges Dreieck c=5cm, =60°, =105° rotiert um die Seite c! Berechne das Volumen des Rotationskörpers! Beispiel 4 a) Gib die Lösungsmenge der Exponentialgleichung an: 5 2 x4 2 5 2 x3 3 x2 5 x2 b) Gib die Definitions- und Lösungsmenge der Logarithmusgleichung an: x log x 1000 x 2 c) Im Jahre 1987 gab es in Mexiko-City 20Mio. Einwohner, 1995 waren es bereits 25Mio. In welchem Jahr gab es in Mexiko-City 30Mio.Einwohner? Wie viele Einwohner wird es im Jahre 2010 in dieser Stadt geben? d) Ein radioaktives Element zerfällt nach dem Gesetz N(t)=N0·0,78t (t in Jahren). Um wie viel Prozent nimmt die Masse des radioaktiven Elements in jedem Jahr ab? Wie viel Prozent der Anfangsmasse N0 sind nach 4 Jahren vorhanden? Wie viel radioaktives Element sind nach 20 Jahren noch vorhanden, wenn es Anfangs 100g waren? Gymnázium Dr. Karla Polesného, Komenského náměstí 4, Znojmo Schriftliche Reifeprüfung Mathematik – Klasse 6B Vorschlag 2 Gruppe B Beispiel 1 Der Graph der Funktion f(x)=ax3+bx2+cx+d hat den Wendepunkt auf der x-Achse. Die erste Ableitung heißt: f x x 16 x2 . a) Zeige, dass die Gleichung der Funktion lautet f(x)= 1 3 1 2 x x 3 18 2 b) Berechne die Nullstelle(n) und Extremstellen, untersuche das Monotonieverhalten der Funktion! c) Untersuche das Krümmungsverhalten von f, gib den Wendepunkt und die Gleichung der Wendetangente an! d) Zeichne den Graphen der Funktion und die Wendetangente (Einheit 1cm)! e) Der Graph schließt mit der x-Achse zwei Flächen ein. Zeige (rechnerisch), dass ihre Flächeninhalte gleich sind! Beispiel 2 a) Ein Kreis k geht durch die Punkte A(2/-8), B(3/-7) und C(0/-4). Gib die Gleichung des Kreises k an! b) Vom Punkt S(4/-5) werden die Tangenten an den Kreis k: x 2 y 2 2x 12 y 32 0 gelegt. Gib die Gleichungen der Tangenten t1 und t2 und die Koordinaten der Berührungspunkte T1, T2 an! c) Berechne den Flächeninhalt des Dreieckes ST1T2! (S wie oben, T1(3/-7), T2(2/-4)) d) Löse die Aufgabe graphisch (Einheit 1cm)! Zeichne die Punkte A, B, C, den Kreis k (als Umkreis des Dreiecks ABC), die Tangenten t1, t2 vom Punkt S und das Dreieck ST1T2! Beispiel 3 (bei jedem Beispiel ist eine übersichtliche Skizze anzufertigen!) a) Im Punkt P(8/8) einer Parabel in erster Hauptlage wird die Tangente an die Parabel gelegt. Die Parabel rotiert im Intervall y[0;8] um die y-Achse. Berechne das Rotationsvolumen Vpar! Die Tangente rotiert um die y-Achse im Intervall y[4;8]. Berechne das Volumen Vt! In welchem Verhältnis stehen Vpar und Vt? b) Eine Vase hat innen die Form eines Drehhyperboloids. Der Durchmesser der Standfläche ist der kleinste innere Durchmesser und ist 8cm groß, die Höhe der Vase beträgt 8cm und der größte Durchmesser 40/3 cm. Die Vase ist mit Wasser gefüllt. Wie groß ist das Volumen? Der Inhalt der Vase wird restlos in ein Gefäß gegossen, dessen Innenraum ein Rotationsparaboloid ist (größter Durchmesser 8 6 , Höhe 24cm). Wie hoch steht das Wasser? Beispiel 4 a) Bestimme im angegebenen Binom ( 3 x 2 10 ) den Summanden, in dem sich x2 befindet (für x≠0)! x b) In einem Raum gibt es 8 Lampen, die man unabhängig voneinander ein- und ausschalten kann. Wie viele Beleuchtungsarten gibt es, wenn mindestens vier Lampen brennen sollen? c) In einer Urne sind 5 schwarze, 4 weiße und 3 rote Kugeln Es wird zweimal ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine rote Kugel zu ziehen? d) Erstelle eine Tabelle für die binomialverteilte Zufallsvariable X mit den Parametern n=5 und p=0,45. Ordne die Daten der Wahrscheinlichkeitsfunktion P(X=k) und die der Verteilungsfunktion P(X k) in folgende Tabelle! k P(X = k) P(X k) 0 X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0,45 1 2 3 4 5 Die Wahrscheinlichkeit einer Mädchengeburt beträgt in Mitteleuropa 0,45. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 5 Geborenen (1) höchstens zwei, (2) mindestens vier,(3) genau drei Mädchen sind? Verwende die Tabelle!
