122 200304 LK Math Ue8
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2003/04 , 12.2 , LK Mathematik Bonn, den 28. Mai 2004 Übungsaufgaben Nr. 8 1. Gegeben ist die Ebene : 3x – y + 2z = 0 . (a) Wo liegt der Punkt P‘, den man durch Spiegelung von P(-73-2) an erhält ? -10 -14 4 + t 2 trifft auf die Ebene als ebener Spiegel. (b) Ein Lichtstrahl mit de Gleichung x = -4 1 Man berechne die Gleichung des reflektierten Strahls. (c) Vom Punkt A(7-51) trifft ein Lichtstrahl auf den ebenen Spiegel . Der reflektierte Strahl geht durch B(10-63). Man berechne den Reflexionspunkt auf dem Spiegel. Wie kann man feststellen, ob A und B auf derselben Seite des Spiegels liegen ? (d) Ein vom Punkt C(82-4) ausgehender Lichtstahl trifft den Spiegel im Nullpunkt. Der reflektierte Strahl geht durch D(-1-24). Welche Gleichung hat die Spiegelebene ? 2. Die Punkte A(100), B(010) und C(001) bilden mit dem Nullpunkt O ein gleichschenklig-rechtwinkliges Tetraeder. (a) Welchen Abstand hat die Ebene ABC vom Nullpunkt O ? (b) Welchen Flächeninhalt hat das Dreeick ABC ? Welches Volumen hat das Tetraeder ? (c) Welchen Winkel bilden die Ebenen OAB und ABC ? (d) Welchen Abstand hat eine Gerade durch P(-15-2) und Q(52-3) von der Ebene ABC ? (e) Welchen Abstand haben zwei windschiefe Kanten des Tertraeders ? 3. Gegeben sind die Ebene und die Ebene : : 3 x + 2 y – 3 z = 12 ; : 5 x + z = 22 (a) Wie erkennt man, dass und weder parallel noch gar identisch sind ? (b) Man zeige, dass die Ebenen einen Schnittgerade haben und berechne ihre Gleichung.! (c) Man gebe die Gleichung einer dritten Ebene an, die zu und senkrecht ist. Welchen Schnittpunkt haben diese drei Ebenen ? 4. Ein quaderförmiges Haus mit Walmdach habe eine Dachfirsthöhe (über Grund) von 6 Einheiten. Der Quader (in Normalbezeichnung) selbst habe die Seite AB = 6, AD = 8 und AE = 4. Man zeichne das Haus in ein Koordinatensystem, A sei der Nullpunkt, B liege auf der x-, D auf der y- und E auf der zAchse. Die x-Achse gebe die Nordrichtung an und der in Nord-Süd-Richtung verlaufende First IK liege symmetrisch über dem Haus und sei 2 Einheiten lang. (a) Die Sonne stehe gerade im Süden und die Neigung der Sonnenstrahlen soll genau die Neigung der Walmdachebene FGK haben. Man berechne den Schatten und zeichne Den Grundriss des Hauses mit diesem Schatten. (b) Direkt beim Haus in der Mitte der Südseite steht eine Laterne mit der Spitze L. Die Höhe siser Spitze sei so, dass sie genau in der Sonnenstrahlung aus (a) steht. Man berechne den Hausschatten der Laterne und zeichne ihn in den Grundriss ein. (c) Welche Neigung haben die Dachflächen gegen das Grundrechteck, welche gegeneinander ? (d) Welches Volumen hat der Baukörper ? (e) Man untersuche die gegenseitige Lage der Dachkantengeraden FI und GK einserseits sowie FI und HK andererseits. ( f ) Man berechne den Schnittpunkt der Gerade g(A,K) mit der Ebene (C, G, I). -2- HhG 2003/2004, LK Math 12.2, Übung 8 vom 28. Mai 2004, Seite 2 5. Die Punkte A(000), B(110) und C(011) und D(101) bilden ein regelmäßiges Tetraeder. (a) Man überprüfe diese Aussage durch Längen- und Winkelberechnung. (b) Man berechne die Neigung einer Kante gegen eine angrenzende Fläche sowie zweier angrenzender Seitenflächen. (c) Man berechne einen Punkt im Innern des Tetraeders, der gleich weit von den vier Ecken entfernt. (d) Man Winkel und Abstand zweier windschiefer Kanten. (e) Man bette das Tetraeder in den vierdimensionalen Raum ein und berechne einen Punkt E, so dass A, B, C, D und E ein 4-Simplex bilden. 6. Gegeben sind die Hyperebene und die Gerade g : -3 -4 2 + t 2 -1 -5 1 : 2 x - 4 y + z – 2w - 1 = 0 ; g:x = 3 (a) Man fälle von A(3-71-3) das Lot auf die Hyperebene. Welchen Abstand hat der Punkt von der Hyperebene ? Welchen Abstand hat die gegebene Hyperebene vom Nullpunkt ? (b) Eine Parallele zu g geht durch den Punkt B(0-1-26). Welchen Abstand haben die Parallelen ? (c) Welchen Winkel bilden und g ? Man berechne ggf. ihren Schnittpunkt. (d) Man gebe die Gleichungen zweier Ebenen an, die denselben Schnittpunkt wie den aus (c) haben. (e) Eine Gerade und eine Ebene in R4 können windschief sei. Man gebe ein Beispiel.
