Theorie Anwendungen zu Ableitungen

Gymnasium „Am Thie“
Blankenburg
Anwendungen zur 1. Ableitung
Problemstellung
lokale Steigung, Anstieg an einem
Punkt
Fragestellung, z.B.: An welcher Stelle x0
1
1
hat die Funktion f ( x)  x 2  die
4
4
Steigung -1?
Tangentengleichung
Fragestellung, z.B.: Wie lautet die
Gleichung der Tangenten an den
1
Graphen f ( x)  x 2 an der Stelle x0=2?
2
Normalengleichung
Fragestellung, z.B.: Wie lautet die
Gleichung der Normalen an den
1
Graphen f ( x)  x 2 an der Stelle x0=2?
2
Steigungswinkel (Schnittwinkel der
Tangente an einem Punkt mit der xAchse)
Fragestellung, z.B.: Welchen
Steigungswinkel hat die Funktion
f ( x)  x 2  1 an der Stelle x0=1?
Lösungsstrategie
 Bilden der 1. Ableitung
 Nutzen des Zusammenhangs
m = f‘(x)
 Auflösen der Gleichung nach x
 Bilden der 1. Ableitung
 Nutzen des Zusammenhangs
m = f‘(x)
 Berechnen der y-Koordinate zu x0
aus der Ausgangsgleichung
 Berechnen von n aus der
Tangentengleichung y = mx + n
 Aufstellen der Tangentengleichung y = mx + n
 Aufstellen der Tangentengleichung y = mx + n (siehe oben)
 Eine Normale steht immer
senkrecht zur Tangente, also gilt:
1
mN  
mT
 Bestimmen von mN
 Berechnen von n aus der
Normalengleichung y = mx + n
 Aufstellen der Normalengleichung y = mx + n
 Der Steigungswinkel einer
Funktion entspricht dem
Anstiegswinkel der Tangenten in
diesem Punkt!
 Der Anstiegswinkel einer
Tangenten wird gemessen
zwischen der Tangente und der
positiven Richtung der x-Achse!
 Bilden der 1. Ableitung
 Nutzen des Zusammenhangs
m = f' (x)  tan
 Ist der berechnete Winkel negativ,
so wird 180° addiert!
Gymnasium „Am Thie“
Blankenburg
Anwendungen zur 1. Ableitung
Schnittwinkel von Funktionen
Fragestellung, z.B.: Die Funktionen
f ( x)  x 2 und g ( x)  2  x schneiden sich
an den Stellen x0=1 und x0=-2. Unter
welchem Winkel schneiden sich ihre
Graphen an den Stellen?
Berühren von Funktionen
Fragestellung, z.B.: Zeige: Funktionen
f ( x)  x 2  2 und g ( x)   x 2  4 x
berühren sich an den Stelle x0=1!
 Der Schnittwinkel zweier
Funktionen in einem Punkt
entspricht dem Schnittwinkel der
Tangenten in diesem Punkt!
 Berechnen der Anstiegswinkel der
Tangenten in den Punkten (siehe
oben).
 Berechnen der jeweiligen
Differenzwinkel
 Sind die Schnittpunkte nicht
gegeben, müssen sie vorher
berechnet werden (z.B.
Gleichsetzen…)
 2 Funktionen f(x) und g(x)
berühren sich an der Stelle x0,
wenn gilt
I: f(x0)=g(x0)
II: f‘(x0)=g‘(x0)
sie haben also in dem Punkt eine
gemeinsame Tangente!
 Gleichsetzen der Ausgangsgleichungen (wahre Aussage oder
Nachweis von x0)
 Bilden der 1. Ableitungen
 Einsetzen der Werte von x0 in die
1. Ableitungen (gleiche
Ergebnisse)