Steigung von Graphen, Tangenten, Normalen, Schnittwinkel

Steigung von Graphen, Tangenten, Normalen, Schnittwinkel
1. Bestimme für die folgenden Funktionen die Schnittstellen mit der x-Achse, die Punkte mit waagerechter
Tangente und die Grenzwerte von f (x) für x → ±∞ und skizziere dann Gf .
(a)
f (x) = x3 − 3x
(b)
f (x) = x3 + 3x
(c)
f (x) = x3 − 3x2 + 3x
(d)
f (x) = x4 − 2x3
(e)
f (x) = 8x4 − 16x3 + 8x2
(f)
f (x) = x3 − 2x2 + x
2. Bestimme die Gleichung der Tangenten von P an Gf und die Berührpunkte.
(a)
f (x) = x2 − 2x und P
(d)
f (x) =
√
3
4|
−
3
2
x und P (−4|0)
(b)
f (x) = x3 und P (1|0)
(c)
f (x) = x3 und P (0|2)
(e)
f (x) =
1
und P (0|2)
x
(f)
f (x) = x2 − 2x + 2 und P (1| − 3)
3. Gegeben ist die Funktion f : R\ {0} −→ R;
x 7−→
a
, wobei a ∈ R\ {0}.
x
(a) Bestimme den Anstieg von Gf an einer gegebenen Stelle x0 ∈ D.
(b) Bestimme die Gleichung der Tangente an Gf an der Stelle x0 = 1.
(c) Bestimme die Konstante a so, dass die Tangente an Gf an der Stelle 2 durch P (1|1) geht.
4. Gegeben sind die Funktionen f : R\ {0} −→ R;
x 7−→ x2 , und g : R\ {0} −→ R;
x 7−→ −x2 + 2.
(a) Bestimme die Schnittpunkte und die Schnittwinkel der beiden Funktionsgraphen.
(b) Bestimme die Schnittwinkel zwischen Gf und der 1. Winkelhalbierenden.
(c) Unter welchem Winkel schneidet die Normale zu Gg an der Stelle 1 die Tangente an Gf an der
Stelle 1?
5. Gegeben ist die Funktion f : R −→ R;
x 7−→ − 12 x2 + 3x + 1, und die Geradenschar ga : y = 2x + a.
(a) Welche der Geraden ga ist Tangente an Gf ? Bestimme die Koordinaten des Berührpunktes.
(b) Welche der Geraden ga ist Normale zu Gf ? Bestimme die Koordinaten des Schnittpunktes dieser
Normalen mit Gf .
6.
(a) Bestimme die Gleichungen der beiden Tangenten, die vom Punkt P 1| 14 aus an den Graph der
√
Funktion f : R+
x 7−→ x gelegt werden können.
0 −→ R;
(b) Unter welchem Winkel schneiden sich die Tangenten aus (a)?
(c) Unter welchem Winkel schneidet Gf die 1. Winkelhalbierende?