Nullstellen von Wurzelfunktionen - meinelt

LB 5: Anwendung der Differentialrechnung auf weitere Funktionen - Aufgaben
Grenzwertberechnung:
2x 2  x  3
x 1
x 1
2) lim
x 2  2  2 cos x
x0
x4
7) lim
1) lim
6) lim
x2  x
x 1 x  1
x 
x
x 1
sin(2x )
x0
x
x3
x
x  e
xn
x
x  e
3) lim
4) lim
8 * ) lim x  sin 1x 
9 * ) lim x 2  sin2
x 
x
5) lim

1
x

10* ) lim
x 
x

 sin

x
Tangente und Normale:
2
. Berechnen Sie die Gleichung der Tangenten t( x ) im Punkt
x
P(2; f (2)) an den Graphen der Funktion f ( x ) !
1) Gegeben ist die Funktion f ( x )  e 0,5 x 
2) Bei der Funktion f ( x)  3 cos 4x wird im Punkt P(; f ()) die Tangente an den Graphen der Funktion
gelegt. Berechnen Sie die Gleichung der Tangenten!
3) Gegeben sind die Funktionen fk ( x)  x 2e1kx . Für jedes k existiert die Tangente an den Graphen der
Funktion fk ( x ) an der Stelle x  1. Berechnen Sie den Wert k, für den der Anstiegswinkel dieser
Tangente 45 beträgt und geben Sie für diesen Fall eine Gleichung dieser Tangenten an!
1
4) Für jede reelle Zahl t (t>0) ist eine Funktion f t gegeben durch y  ft ( x )  ( x  2t ) x . Die Tangente an
t
den Graphen einer der Funktionen f t im Punkt Rt (2t; ft (2t )) und die Koordinatenachsen bilden ein
Dreieck. Berechnen Sie den Wert t, für den das Dreieck gleichschenklig ist.
5) Die Tangente und die Normale an den Graphen der Funktion fa ( x)  e2ax  4eax  5 ( a  R, a  0 ) im
Schnittpunkt des Graphen der Funktion mit der Ordinatenachse bilden mit der Abszissenachse ein
Dreieck. Es existiert genau ein Wert a, für den dieses Dreieck gleichschenklig ist. Berechnen Sie diesen
Wert a!
Lokale Extrempunkte:
Berechnen Sie von folgenden Funktionen die lokalen Extrema und geben Sie deren Art an!
x2  1
1) f ( x )  2
2) f ( x)  x  e x
3) f ( x)  2x  3  x
4) f ( x)  1  cos2x  2  mit x  0; 
x 1
Wendepunkte
Berechnen Sie von folgenden Funktionen die Wendepunkte!
1) f ( x ) 
2  x2
x2  1
2) f ( x)  x  e x
3) f ( x)  sin2x 

4
 mit
x  0; 
© Meinelt 2008-01-30
LB 5: Anwendung der Differentialrechnung auf weitere Funktionen - Aufgaben
Parameterhaltige Funktionen
1) Berechnen Sie die Koordinaten der lokalen Extrempunkte der Funktionen ft ( x)  t  sin(t  x)  t mit
t  R, t  1, x  0;  und weisen Sie deren Art nach!
2) Berechnen Sie von den Funktionen fa ( x)  a  x  x mit a  R, a  0
a) die Nullstellen
b) die lokalen Extrempunkte
c) die Wendepunkte
2kx
mit k  R, k  0
x2
a) die Schnittpunkte mit der x-Achse
b) die lokalen Extrempunkte
c) die Wendepunkte
d* ) Alle Minima liegen auf einem Funktionsgraphen. Geben Sie diese Funktionsgleichung an!
3) Berechnen Sie von den Funktionen fk ( x ) 
4) Für jedes t ( t  R ) ist eine Funktion ft durch ft ( x ) 
durch g( x) 
1
32
ex
8  t  x 
2
gegeben. Außerdem ist eine Funktion g
e x gegeben.

e2 
 besitzen!
a) Zeigen Sie, dass die Graphen der Funktionen ft den lokalen Tiefpunkt T 2  t;
32e t 

b) Weisen Sie nach, dass alle Tiefpunkte der Funktionen ft auf dem Graphen der Funktion g liegen!
c) Der Graph der Funktion f1 wird im lokalen Tiefpunkt von einer Geraden h berührt. Berechnen Sie eine
Gleichung dieser Geraden!
Extremwertprobleme:
1) Gegeben ist die Funktion f durch f ( x)  9  51 x 2 . Die Punkte A(0; 0), B(x; f(x)), C(-x; f(-x)) bilden ein
Dreieck. Untersuchen Sie, für welches x x  0) der Flächeninhalt des Dreiecks ABC maximal wird und
berechnen Sie A Max
1
1
und g( x ) 
werden von Geraden
2
2
8x
8  e  x  1
x  c (c  R, c  1) geschnitten. Ermitteln Sie den Wert für c, für den die Differenz der Funktionswerte
g(c )  f (c ) minimal wird und geben Sie diese minimale Differenz an!
2) Die Graphen der Funktionen f ( x ) 
3) Drei Bretter, die die gleiche Breite b haben, sollen zu einer Wasserrinne zusammengebaut werden, deren
Querschnitt ein gleichschenkliges Trapez ist.
Unter welchem Winkel müssen die Bretter zusammenstoßen, wenn das Fassungsvermögen maximal
werden soll?
4) Ein Firmenneubau F soll durch ein Erdkabel an die
nächstgelegene Trafostation T angeschlossen
werden. Von T über A nach B verläuft eine Straße.
F befindet sich abseits der Straße. (siehe Abbildung)
Die Verlegungskosten längs der Straße betragen
150€/m, im unerschlossenen Gelände 250€/m.
Berechnen Sie die Kosten, die entstehen, wenn die
Verlegung des Kabels
a) geradlinig von T nach F nur im Gelände,
b) von T nach A längs der Straße und dann geradlinig nach F im Gelände erfolgt!
c) Nach welcher Strecke sollte man die Straße verlassen, um die Kosten so gering wie möglich zu halten
und wie hoch sind sie dann? (Auf den Nachweis des Extremums wird hier verzichtet!)
© Meinelt 2008-01-30