f (x)

Übungen
1. Berechnen Sie mit Hilfe von Ableitungsregeln f '  x und vereinfachen Sie wenn
möglich !
3
f ( x)=10 x ⋅e
x
4x
2 e
g ( x)= 4 x +
2
e
2
h( x )=3 x e
k ( x )=
x
1
+e 4 x 2
2x
e
2. Berechnen Sie die Funktionsgleichung einer möglichen Stammfunktion !
f ( x)=3+2 e
−x
6x
g ( x)=8 e −3 x
3. Südafrika ist eines der Länder, in denen ein großer Teil der Bevölkerung mit dem HIVirus infiziert ist. Eine solche Infektion führt in den allermeisten Fällen zum Ausbruch
von AIDS. Das Virus verbreitete sich vor allem zu Beginn der 90er Jahre schnell aus. Die
folgende Tabelle zeigt den Anteil der infizierten Bevölkerung in Prozent in
verschiedenen Jahren:
Jahr
Anteil der infizierten
Bevölkerung in Prozent
1991
1992
1995
1996
1,7
2,2
10,4
17,1
Der Anteil stieg im Laufe der Jahre näherungsweise exponentiell an und kann daher
durch eine geeignete Exponentialfunktion beschrieben werden.
In dieser Aufgabe verwenden wir die Variable x als Zeit in Jahren nach 1990, d.h.
dem Jahr 1990 entspricht x=0 .
a) Berechnen Sie unter Verwendung der Jahre 1992 und 1995 eine zu den Daten
x
passende Exponentialfunktion der Form f ( x)=a⋅b .
Runden Sie a , b auf drei Nachkommastellen.
( Sollten Sie hier zu keinem sinnvollen Ergebnis kommen, so verwenden Sie notfalls
x
f ( x)=0,8⋅1,7 )
b) Wie groß war der jährliche prozentuale Anstieg der Ausbreitung ?
c) Geben Sie die Funktion
d) Berechnen Sie
f ' (2,5)
f
in der Form
f ( x)=a⋅e
kx
an.
. Welche anschauliche Bedeutung hat das Ergebnis ?
e) Welche Vorhersage macht die Funktion für den Anteil der Infizierten im Jahr 2013 ?
Nehmen Sie Stellung zu ihrem Ergebnis !
f) Berechnen Sie : Zu welchem Zeitpunkt waren erstmals mehr als 4 000 000 Menschen
in Südafrika infiziert ? ( Einwohner in Südafrika : 48 Millionen )
4. Gegeben ist die Funktion
f
mit
2
f ( x)=x ⋅e
−x
.
a) Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Wertemenge der Funktion f sowie die
Achsenschnittpunkte.
b) Zeigen Sie, dass die Funktion F mit F ( x)=−e− x ( x 2+2 x+2 ) eine
Stammfunktion von f ist.
∞
c) Existiert das uneigentliche Integral
∫ f ( x) dx
1
?
2
−x
5. Gegeben ist die Funktionenschar f a mit f a ( x )=( a− x ) e
mit a ∈ℝ .
a) Bestimmen Sie die möglichen Nullstellen und ihre Anzahl in Abhängigkeit von a.
b) Geben Sie das Verhalten der Funktion für x→∞ und x→-∞ an und begründen Sie
Ihre Antwort.
−x
2
f a ' ( x)=e ( x −2 x−a )
d) Für welche a hat der Graph von f a keine waagerechte Tangente ?
c) Zeigen Sie :
e) Die Abbildung unten zeigt einen Teil des Graphen einer der Funktionen aus der
Schar.
Bestimmen Sie mit Begründung den zugehörigen Wert von a. Berechnen Sie
anschließend die Koordinaten des eingezeichneten Hochpunkts H auf drei
Nachkommastellen gerundet.
f) Ergänzen Sie in der Abbildung unter Berücksichtigung der bisherigen Aufgabenteile
den Rest des Graphen.
H
6. Eine Population an Algen besteht um 7.00 Uhr aus 6 Millionen Individuen. Um 11.00
Uhr haben sich die Algen dermaßen exponentiell vermehrt, dass bereits 60 Millionen
vorliegen.
a) Verwende x als Zeit in Stunden nach 7.00 Uhr und gib eine Funktion für die Anzahl
N (x ) der Algen an.
b) Wie lange dauert es jeweils, bis sich die Algenzahl verdoppelt ?
c) Wie groß war die Wachstumsrate der Algen pro Sekunde um 8.00 Uhr ?
−x
7. Gegeben ist die Funktion f mit . f ( x )=e
Auf dem
Graphen von f liegen die Punkte A und B mit den xKoordinaten x A =0 und x B =1 . ( siehe Abbildung )
Durch die Strecke AB sowie den Graphen von f wird
eine Fläche begrenzt. Berechnen Sie den Flächeninhalt
dieser Fläche.