Probeklausur zu Mathematik 1 für Informatik

Gunter Ochs
27. Juni 2011
Probeklausur zu Mathematik 1 für Informatik
Bitte versehen Sie jedes abgegebene Blatt mit Namen und Matrikelnummer und
schreiben Sie nicht mit Bleistift. Der Lösungsweg muss nachvollziehbar dargestellt
sein. Zugelassene Hilfsmittel sind Vorlesungsskripte und -unterlagen.
Bei der Klausur sind 5 der 6 Aufgaben zu bearbeiten. Werden alle Aufgaben bearbeitet, so werden die besten 5 gewertet. Dabei gilt für die Aufgaben 1 und 2 eine
Sonderregel: Wird jeweils eine Teilaufgabe bearbeitet (also z. B. 1(b) und 2(a)), so
zählt dies als eine Aufgabe. Alle Aufgaben sind gleich gewichtet (10 Punkte ereichbar). Zm Bestehen der Klausur sind 25 Punkte (50 % der erreichbaren Punktzahl)
erforderlich.
Aufgabe 1.
(a) (i) Stellen Sie die Dezimalzahl 53,5 im Dualsystem und im Hexadezimalsystem dar.
(ii) Stellen Sie die Dualzahl
(110, 11)2
als Dezimalzahl dar.
(b) Wie viele verschiedene fünfstellige Passwörter können aus den fünf Buchstaben a,e,i,o,u sowie den Ziern 09 gebildet werden, die genau 3 Buchstaben enthalten (die Position der Buchstaben ist dabei beliebig).
Aufgabe 2.
(a) Gegeben sei der logische Ausdruck
(a ∧ b) ∨ c → (a ∧ c).
(i) Geben Sie eine Wertetabelle an.
(ii) Geben Sie die disjunktive Normalform an.
(b) Sei
q(n)
die Quersumme einer natürlichen Zahl
n
q(987) = 9 + 8 + 7 = 24).
Die Relation R ⊂ N × N sei deniert als R = {(n, m) : q(n) > q(m)},
d. h. n steht in Relation zu m, wenn die Quersumme von n gröÿer ist als
die Quersumme von m.
Ist R relexiv / symmetrisch / antisymmetrisch / transitiv?
(also z. B.
Aufgabe 3.
p(x) mit möglichst kleinem
p(0) = p(1) = −2 sowie p(2) = 8.
(a) Bestimmen Sie ein Polynom
p(−2) = 4,
(b) Zu
q(x) = −2x4 + 3x3 + 3x2 + x − 1
Hornerschema.
Grad, so dass
berechnen Sie bitte
q(2)
mit dem
Mathematik 1 für Informatik
Probeklausur, Seite 2
Aufgabe 4. Gegeben sei die lineare Rekursion
(a) Berechnen Sie
x2 , x3
und
xn+1 = xn + 2xx−1 .
x4 , wenn die Startwerte x0 = 0 und x1 = 1 sind.
(b) Lösen Sie die charakteristische Gleichung und bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Rekursion.
xn an, wenn die Startwerte
x0 = 2 und x1 = 1 sind.
(c) Geben Sie eine geschlossene Formel für
(i)
x0 = 1
und
x1 = −1
(d) Welche der Lösungen
Aufgabe 5.
(a) Berechnen Sie in
sind,
(xn )
Z2 [x]
(ii)
aus (c) ist
= O(1)?
die Polynomdivision mit Rest
(x6 + x4 + x + 1) : (x3 + x2 + 1)
4
(b) Berechnen Sie im GaloisKörper GF(2 )
(i)
1011 + 0111,
Dabei steht
(ii)
a3 a2 a1 a0
0111 · 0011,
(iii)
für das Polynom
= Z2 [x]x4 +x3 +1
1101 · 1010 + 0111 · 1101
a3 x 3 + a2 x 2 + a1 x + a0 .
Aufgabe 6. Gegeben seien folgende zwei Graphen:
(a) Bestimmen Sie im linken Graphen mit dem Algorithmus von Dijkstra die
kürzesten Wege vom Knoten A zu den anderen Knoten.
(b) Geben Sie im bipartiten rechten Graphen mindestens zwei verschiedene
augmentierende Wege bezüglich des fett markierten Matchings an.
(c) Finden Sie im rechten Graphen ein maximales Matching.
(d) Existiert im rechten Graphen eine vollständige Paarung?