Statistik 1 Ergebnisse von ¨Ubung 4 WS 2006/07 Aufgabe 1. Die im

Statistik 1
Ergebnisse von Übung 4
WS 2006/07
Aufgabe 1.
Die im folgenden angegebenen Schreibweisen sind nicht die einzig möglichen! Durch Anwenden der Rechenregeln aus Aufgabe 2 kann man sie zu anderen gültigen Formulierungen
umformen.
(i) Mengenschreibweise: A ∪ B ∪ C
Komplementärereignis: keines tritt ein
(ii) Mengenschreibweise: (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C)
Komplementärereignis: keines tritt ein oder mindestens zwei
(iii) Mengenschreibweise: (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C)
Komplementärereignis: mindestens zwei treten ein
(iv) Mengenschreibweise: (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
Komplementärereignis: höchstens eines tritt ein
(v) Mengenschreibweise: (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C)
Komplementärereignis: höchstens eins oder alle drei
(vi) Mengenschreibweise: A ∩ B ∩ C
Komplementärereignis: alle drei treten ein
(vii) Mengenschreibweise: C ∩ (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) = (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C)
Komplementärereignis: C tritt ein oder A und B treten ein oder weder A noch B
treten ein
Aufgabe 2.
a) Man erhält die Beziehungen
A∪B =A∩B
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A∩B =A∪B
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
b) Nach etwas Herumrechnen mit obigen Regeln kann man den Ausdruck auf die folgende Form bringen (vgl. Aufgabe 1 (vii)):
C ∪ (A ∩ B) ∪ (A ∩ B)
Aufgabe 3.
mit Zurücklegen: Wir haben
P (rot im i-ten Zug) = 0, 3 ,
P (schwarz im i-ten Zug) = 0, 7
1
für alle i .
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Also können wir folgende Rechnung durchführen:
P (nach k Zügen wenigstens eine rote)
= 1 − P (nach k Zügen nur schwarze) = 1 − (0, 7)k .
Es ist dasjenige k gesucht, für das diese Wahrscheinlichkeit > 0, 9 ist.
1 − (0, 7)k > 0, 9
⇐⇒
⇐⇒
(0, 7)k < 0, 1
k > log0,7 0, 1 =
log 0, 1
≈ 6, 45
log 0, 7
(Achtung: Weil 0, 7 < 1 ist, dreht sich beim Logarithmieren das Ungleichheitszeichen
um!)
Wenn wir also mindestens 7-mal Ziehen, dann ist die Wahrscheinlichkeit, wenigstens
eine rote Kugel zu ziehen, größer als 90%.
ohne Zurücklegen: Wie oben berechnen wir lieber die Wahrscheinlichkeit des Komplementärereignisses nach k Zügen nur schwarze“. Diesmal ändern sich die Wahrschein”
lichkeiten aber in jedem Zug, da die Anzahl der noch vorhandenen Kugel reduziert
wird!
Sei Si das Ereignis nach i Zügen nur schwarze Kugeln gezogen“. Es tritt genau
”
dann ein, wenn wir bis zum (i − 1)-ten Zug nur schwarze Kugeln gezogen haben und
dann auch im i-ten Zug eine schwarze ziehen, d. h.
Si = schwarz im i-ten Zug“ ∩ Si−1
”
und für die Wahrscheinlichkeiten folgt
P (Si ) = P (schwarz im i-ten Zug | Si−1 ) · P (Si−1 ) .
Die bedingte Wahrscheinlichkeit können wir sehr leicht ausrechnen. Denn unter der
Bedingung, dass wir bereits (i−1)-mal schwarz gezogen haben, wissen wir, dass jetzt
nur noch 10 − (i − 1) = 11 − i Kugeln übrig sind und davon genau 7 − (i − 1) = 8 − i
schwarze. Die Wahrscheinlichkeit, eine weitere schwarze zu ziehen, ist also
P (schwarz im i-ten Zug | Si−1 ) =
Anzahl der schwarzen
8−i
=
.
Anzahl aller Kugeln
11 − i
Jetzt können wir die P (Si ) der Reihe nach ausrechnen, bis wir das erste finden, das
< 0, 1 ist.
7
= 0, 7
(am Anfang sind 7 von 10 schwarz)
10
8−2
7·6
P (S2 ) =
· P (S1 ) =
= 0, 46̄
11 − 2
10 · 9
P (S1 ) =
P (S3 ) =
8−3
7·6·5
· P (S2 ) =
≈ 0, 29
11 − 3
10 · 9 · 8
P (S4 ) =
8−4
7·6·5·4
· P (S3 ) =
= 0, 16̄
11 − 4
10 · 9 · 8 · 7
P (S5 ) =
8−5
7·6·5·4·3
· P (S4 ) =
= 0, 083̄
11 − 5
10 · 9 · 8 · 7 · 6
2
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Nach 5 Schritten, also nach 5-maligem Ziehen wird die Wahrscheinlichkeit, nur
schwarze zu bekommen, kleiner als 10% und damit die Wahrscheinlichkeit, wenigstens eine rote zu bekommen, größer als 90%.
Aufgabe 4.
Wir definieren die Ereignisse
Si = Fahrer von Auto i hat keinen Sicherheitsgurt angelegt“,
”
Ti = Fahrer von Auto i telefoniert“,
”
Mi = Auto i weist technische Mängel auf“
”
und haben dann
P (Si ) = 0, 1 ,
P (Ti ) = 0, 05 ,
P (Mi ) = 0, 01
für alle i = 1, . . . , 5 .
a) Für jedes der Autos gilt
P (keine Ordnungswidrigkeit bei Auto i) = P (S i ∩ T i ∩ M i ) .
Da die Ereignisse Si , Ti , Mi laut Aufgabenstellung als stochastisch unabhängig anzusehen sind, kann man diese Wahrscheinlichkeit als Produkt schreiben:
P (S i ∩ T i ∩ M i ) = P (S i )P (T i )P (M i ) = 1 − P (Si ) 1 − P (Ti ) 1 − P (Mi ) .
Insgesamt ergibt sich, da auch Ordnungswidrigkeiten bei verschiedenen Autos unabhängig voneinander sind,
P (bei keinem Auto Ordnungswidrigkeit) = P
5
\
(S i ∩ T i ∩ M i )
i=1
=
5
Y
P (S i ∩ T i ∩ M i ) = (0, 9 · 0, 95 · 0, 99)5 ≈ 0, 43 .
i=1
b) Das gesuchte Ereignis ist
(M1 ∩M 2 ∩M 3 ∩M 4 ∩M 5 ) ∪ (M 1 ∩M2 ∩M 3 ∩M 4 ∩M 5 ) ∪. . .∪ (M 1 ∩M 2 ∩M 3 ∩M 4 ∩M5 )
Die Vereinigung ist disjunkt, so dass die Wahrscheinlichkeit gerade die Summe der
Einzelwahrscheinlichkeiten ist. Jede Einzelwahrscheinlichkeit ist
4
P (Mi ) P (M i ) = 0, 01 · 0, 994 ,
also erhält man
P (genau ein Auto mit technischen Mängeln) = 5 · 0, 01 · 0, 994 ≈ 0, 048 .
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c) Wir betrachten das Komplementärereignis:
mindestens ein Auto mit 3 Ordnungswidrigkeiten“
”
= kein Auto mit 3 Ordnungswidrigkeiten“
”
= alle Autos mit ≤ 2 Ordnungswidrigkeiten“
”
denn dessen Wahrscheinlichkeit lässt sich leicht bestimmen: Für jedes einzelne Auto
gilt nämlich
P (Auto i mit ≤ 2 Ordnungswidrigkeiten) = 1 − P (Auto i mit 3 Ordnungswidrigkeiten)
= 1 − P (Si ∩ Ti ∩ Mi ) = 1 − 0, 1 · 0, 05 · 0, 01 = 0, 99995
und damit ist
P (alle Autos mit ≤ 2 Ordnungswidrigkeiten) = 0, 999955 .
Also erhalten wir schließlich
P (mindestens ein Auto mit 3 Ordnungswidrigkeiten) = 1 − 0, 999955 ≈ 0, 00025 .
d) Das Ereignis weniger als zwei Fahrer telefonieren“ ist die disjunkte Vereinigung der
”
Ereignisse keiner telefoniert“ und genau einer telefoniert“. Für die Wahrschein”
”
lichkeiten gilt also
P (weniger als zwei Fahrer telefonieren)
= P (keiner telefoniert) + P (genau einer telefoniert)
= P (T i )5 + P (T )4 · P (Ti ) = 0, 955 + 5 · 0, 05 · 0, 954 ≈ 0, 977
(Der Faktor 5 in der letzten Zeile kommt daher, dass das Ereignis genau einer
”
telefoniert“ auf genau fünf verschiedene Weisen zustande kommen kann: entweder
telefoniert nur Fahrer 1 oder nur Fahrer 2 etc...)
Aufgabe 5.
Wir haben folgende Ereignisse mit den von Herrn X angegebenen Wahrscheinlichkeiten
X = X hat eine Bombe dabei“,
”
A = ein anderer hat eine Bombe dabei“,
P (A) = 0, 1 ,
”
Z = genau zwei Passagiere haben eine Bombe dabei“,
P (Z) = 0, 01 .
”
Herr X rechnet P (A | X) = P (Z) = 0, 01. Dabei verwechselt er die bedingte Wahrscheinlichkeit P (A | X) mit der gemeinsamen Wahrscheinlichkeit P (A ∩ X) und übersieht
außerdem, dass A ∩ X nicht das gleiche wie Z ist. (Denn der Fall, dass zwei andere Passagiere Bomben haben, ist in Z enthalten, in A ∩ X aber nicht.)
Richtig müsste man so rechnen:
P (A | X) =
P (A ∩ X)
= P (A) = 0, 1 ,
P (X)
weil die Ereignisse A und X unabhängig voneinander sind.
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