Statistik 1 UE

Statistik 1 UE
WS 2016
Martin Glanzer
05.12.2016
1 Geometrische Verteilung
Beispiel 1.1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nach k mal Würfeln zum ersten Mal
einen Sechser zu haben?
Beispiel 1.2. In einer Autowerkstatt ist bekannt, daß 20 % der Fahrzeuge, die in die
Werkstatt kommen, einen Motorschaden haben. Bezeichne X die Anzahl der ankommenden Fahrzeuge ohne Motorschaden bis zum ersten Fahrzeug mit Motorschaden.
1. Berechnen und skizzieren Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X.
2. Berechnen und interpetieren Sie den Erwartungswert von X.
3. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das 10. vorbeigebrachte Fahrzeug das
erste Fahrzeug ist, daß einen Motorschaden hat?
2 Hypergeometrische Verteilung
Beispiel 2.1. Aus einer Lieferung von 300 Teilen werden 10 willkürlich entnommen,
um sie dann einer Qualitätsprüfung (gut/schlecht) zu unterziehen. Vom Hersteller wird
bekannterweise ein Anteil von 1 % schlechter Teile angegeben. Dieser ist auch für diese
Lieferung zu unterstellen. Welcher Verteilungstyp ist anzuwenden, um die Wahrscheinlichkeit für die Anzahl fehlerhafter Teile in der Stichprobe angeben zu können? Geben
Sie die Parameter der Verteilung an.
Beispiel 2.2. In einer Packung seien 500 Schrauben. Davon seien 10 defekt. Wie groß ist
die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 5 zufällig aus der Packung gezogenen Schrauben
genau eine defekt ist?
Beispiel 2.3. In einer Urne befinden sich drei weiße und sieben schwarze Kugeln. Es
werden zufällig 5 Kugeln gezogen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß genau 4
schwarze Kugeln gezogen werden, wenn wir
1. mit Zurücklegen ziehen,
2. ohne Zurücklegen ziehen.
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3 Diskrete Gleichverteilung
Beispiel 3.1. Wir betrachten einen Adventkalender, von dem wir wissen, dass sich
in genau einem Fenster ein Überraschungsei befindet. Der Inhalt des Kalenders wurde
zufällig auf die 24 Fenster aufgeteilt. Wieviele Fenster erwarten wir uns zu öffnen, bis
wir das Überraschungsei bekommen?
4 Stetige Gleichverteilung
Beispiel 4.1. Sei X gleichverteilt auf dem Intervall [−1, 3]. Berechnen Sie
1. P[X ≤ −1],
2. P[X ≤ 2],
3. P[X ≤ 3],
4. P[1 ≤ X ≤ 2],
5. P[X ≤ 1].
5 Exponentialverteilung
Beispiel 5.1. Die Dauer einer Reparatur (in Stunden) sei exponentialverteilt mit Parameter λ = 2.
1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Reparatur länger als 2 h dauert?
2. Angenommen die Reparatur dauert bereits 2 Stunden und 5 Minuten, wie groß ist
die Wahrscheinlichkeit, daß die Reparatur in Summe länger als 4 Stunden dauert?
Beispiel 5.2. Die Zeit zwischen dem Eintreffen zweier Kunden (in Minuten) sei exponentialverteilt mit Parameter λ = 3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß zwischen
den Ankünften zweier Kunden mehr als 3 Minuten vergehen?
Beispiel 5.3. Macht es Ihrer Meinung nach Sinn, die Lebensdaür eines Menschen als
exponentialverteilte Zufallsvariable zu modellieren? Begründen Sie Ihre Antwort!
6 Normalverteilung
Beispiel 6.1. Sei X ∼ N (µ, σ 2 ).
1. Berechnen Sie P[X ≤ 1] für µ = 3, σ = 1.5.
2. Berechnen Sie P[X < 1] für µ = 3, σ = 1.5.
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3. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist X entweder kleiner als −3 oder größer als −1,
wenn µ = −2, σ = 2.0?
4. Berechnen Sie P[96 < X < 110] für µ = 100, σ 2 = 16.
Beispiel 6.2. In einer Fabrik werden Kartoffelchips in Packungen abgefüllt. Das durchschnittliche Gewicht der Packungen soll 200 Gramm betragen. Dieser Wert wird von den
Maschinen mit einer Standardabweichung von 5 Gramm eingehalten. Der Inhalt einer
Packung sei darüberhinaus als normalverteilt angenommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß eine Packung mindestens 210 Gramm wiegt?
7 Chi-Quadrat-Verteilung
Beispiel 7.1. Sei X eine Chi-Quadrat verteilte Zufallsvariable, von der bekannt sei, daß
E[X 2 ] = 80 gelte. WIe groß ist die Anzahl der Freiheitsgrade n?
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