1.1 Beschreibende Statistik der sechsten Klasse

1.1 Beschreibende Statistik der sechsten Klasse
Die beschreibende Statistik stellt mit Hilfe von Diagrammen und Kennzahlen erhobenen
Daten in übersichtlicher Weise dar. Dazu folgendes Beispiel:
Die Unfallstation eines Krankenhauses soll ihrem tatsächlichen Bedarf entsprechend
umgebaut werden. Nun stellt sich offensichtlich die Frage, was man unter dem ” tatsächlichen
Bedarf ” genau versteht und wie man diesen beschreiben kann?
Möglichkeiten zur Beschreibung wären zum Beispiel durch die:
• Angabe der Anzahl der Tage eines Monats, welchen voraussichtlich 0, 1, 2, 3,...Betten benötigt werden
• Angabe des zu erwartenden relativen Anteils an Tagen
• Angabe des zu erwartetenden minimalen Bettenbedarfs
• Angabe des zu erwartetenden maximalen Bettenbedarfs
• Angabe des zu erwartetenden durchschnittlichen Bettenbedarfs
• Angabe des zu erwartetenden häufigsten Bettenbedarfs
• ...
Ausgangspunkt für jede Statistik sind also Daten, die als so genannte Urlisten vorliegen.
Meist ist die Überschaubarkeit dieser Daten recht eingeschränkt. Aufgrund dessen werden die Daten übersichtlich mit Hilfe von Tabellen und Grafiken dargestellt. Daraus
werden statistische Kennzahlen entnommen, welche natürlich einem Informationsverlust
unterliegen.
In den folgenden Beispielen werden - für die Statistik - kleine Stichproben entnommen
(dh beispielweise nur 24 Proben), damit die Rechenfertigkeiten eingeübt werden können.
1.1.1 Darstellung von Daten mit Hilfe von Listen, Tabellen und
Histogrammen
Beispiel :
Es liegen zwei verschiedene Urlisten < xi > und < yi > vor, welche die erzielten
Punkte einerseits im Geschichte- und andererseits im Physiktest der Klasse 6A
angeben. Die SchülerInnen sind nicht namentlich angeführt, sondern mit ihren
Katalognummern und ihren dazugehörigen Testergebnispunkten, wobei die maximale
Punktezahl pro Test 48 Punkte ist.
2
© Dr. Außerlechner M.Th.
SchülerIn
HS -Test
PH - Test
1
14
12
2
14
3
3
14
5
4
6
6
5
8
5
6
8
14
7
6
14
8
14
14
9
10
14
10
10
11
11
14
12
12
14
13
13
14
14
14
10
13
15
8
8
16
5
6
14
7
5
Die Testpunktergebnisse sollen nun nach den Punkten und nicht mehr nach den
Katalognummern geordnet werden. Anschlieend soll eine Verteilungstafel samt
Histogramm erstellt werden.
Lösung:
• Nach Punkten geordnet
HS -Test
PH - Test
5
3
6
5
6
5
8
6
8
6
8
8
10
11
10
12
10
12
14
13
14
13
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
• Verteilungstafel
Punkte
absolute Häufigkeit HS-Test
absolute Häufigkeit PH-Test
relative Häufigkeit HS-Test
relative Häufigkeit PH-Test
1
0
0
0
0
2
0
0
0
0
3
0
1
0
0,06
4
0
0
0
0
5
1
2
6
2
2
0,06
0,13
0,13
0,13
7
0
0
0
0
8
3
1
0,19
0,06
9
0
0
0
0
10
3
0
0,19
11
0
1
0
12
0
2
0
13
0
2
0
0,44
0
0,06
0,13
0,13
0,31
• Histogramm
absolute Häufigkeit HS-Test
absolute Häufigkeit PH-Test
3
© Dr. Außerlechner M.Th.
Hinweis:
• Unter der absoluten Häufigkeit h1 , h2 , h3 ...hn versteht man die Anzahl jener
Werte, die die x1 , x2 , x3 ...xn annehmen, also h1 + h2 + h3 +....+hn = n!
• Unter der relativen Häufigkeit r1 , r2 , r3 ...rn versteht man das Verhältnis der
absoluten Häufigkeit zur Gesamtanzahl n des Stichprobenumfangs, also
r1 = hn1 , r2 = hn2 ,...rn = hnn und es gilt: r1 + r2 + r3 +....+rn = 1!
1.1.2 Ermittlung von Minimum, Maximum und Spannweite (Range)
Die Spannweite R gibt die Differenz zwischen dem größten (Maximum) xmax und dem
kleinsten Element (Minimum) xmin der Liste an. Sie gibt sozusagen die Gesamtweite
des Verstreut - Liegens an.
Beispiel :
HS-Test: xmax = 14 , xmin = 1 , R = xmax - xmin = 13
PH-Test: xmax = 14 , xmin = 1 , R = xmax - xmin = 13
1.1.3 Ermittlung vom durchschnittlichen Wert oder Mittelwert (Mean)
Es gibt 2 Möglichkeiten zur Berechnung des Mittelwerts, nämlich als arithmetisches
Mittel oder als gewichtetes Mittel.
4
© Dr. Außerlechner M.Th.
• arithmetisches Mittel: x =
x1 +x2 +
n
+xn
x1 , x2 , xn : n versch. Merkmalswerte; treten alle mit der Häufigkeit 1 auf
• gewichtetes Mittel: x =
x1 ·h1 +x2 ·h2 +
n
+xn ·hn
x1 , x2 , xm : m verschiedene Merkmalswerte; treten mit den absoluten Häufigkeiten
h1 , h2 , hm auf (n =h1 + h2 + ... +hm )
• geglättetes arithemisches Mittel: xn+1 =
n·xn +xn+1
n+1
Diese Rekursionsformel des arithmetischen Mittels wird verwendet, um exaktere
Aussagen über den Mittelwert tätigen zu können.
Beispiel HS-Test:
aM : x =
14+14+14+6+8+
16
gM : x =
1·0+2·0+3·0+4·0+
16
+5
= 10, 2625
+14·7
= 10, 2625
1.1.4 Ermittlung des Modalwerts (Modus)
Den Modalwert m nennt man den Wert einer Urliste, der am häufigsten vorkommt. Es
kann natürlich auch mehrere Modalwerte geben.
Beispiel :
HS-Test: m = 14
PH-Test: m = 14
1.1.5 Ermittlung des Zentralwerts (Median)
Der Zentralwert z von n Zahlen wird in einer geordneten Liste ermittelt. Er ist
1) für eine ungerade Anzahl von n Listenelementen die genau in der Mitte stehende
Zahl
2) für eine gerade Anzahl von n Listenelementen das arithmetische Mittel der beiden
in der Mitte stehenden Zahlen
Er teilt somit die Liste in eine untere und obere Hälfte.
5
© Dr. Außerlechner M.Th.
Beispiel :
HS-Test: z = 10
HS -Test 5 6
PH-Test: z = 12
PH - Test 3 5
6
5
8
6
8
6
8
8
10
11
10
10
12
12
14
13
14
13
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
1.1.6 Ermittlung von Quartilen und Veranschaulichung in
Kastenschaubildern (Boxplots)
Die Quartilen q1 , q2 und q3 vierteln eine geordnete Liste, wobei gilt: q2 = z.
Beispiel :
HS-Test:
HS -Test
5
6
6
8
8
8
10
10
10
14
14
14
14
14
14
14
q1 = 8, q2 = 10, q3 = 14
dazugehöriger Boxplot:
PH-Test:
PH - Test
3
5
5
6
6
8
11
12
12
13
13
14
14
14
14
14
q1 = 6, q2 = 12, q3 = 14
dazugehöriger Boxplot:
6
© Dr. Außerlechner M.Th.
1.1.7 Standardabweichung
Die Standardabweichung gibt an, wie sehr sich die Merkmalswerte um ihren Mittelwert verteilen bzw. streuen. Ihre Berechnung erfolgt gemäßder Formel:
sx =
q
(x1 −x)2 +(x2 −x)2 +
n
+(xn −x)2
Eine etwas seltener verwendete Möglichkeit eine Abweichung zu errechnen liefert die
Folgende.
Es gibt auch eine so genannte mittlere lineare bzw.absolute Abweichung der xi
vom Wert c, welcher meist mit dem Zentralwert identifiziert wird:
dc =
1
n
· (|x1 − c| · h1 + |x2 − c| · h2 + ....+|xn − c| · hn )
mit n =h1 + h2 + ... +hm
Beispiel :
HS-Test: sx =
PH-Test: sx =
q
(14−x)2 +(14−x)2 +
16
q
(12−x)2 +(3−x)2 +
16
+(5−x)2
+(6−x)2
1.1.8 Aufgaben
1. Im Zuge einer Qualitätskontrolle wurde die Brenndauer von 15 Leuchtstoffröhren
untersucht. Berechne für die Stichprobe (die) mittlere Brenndauer, (2) die Standardabweichung der Brenndauer, (3) die Spannweite der Brenndauer. Interpretiere
die Ergebnisse!
11013
11127
11338
1992
11055
1810
1648
11261
11442
11430
11087
11193
1713
1841
2. Die untenstehende Tabelle zeigt die Anzahl der ei Verkehrsunfällen im Jahr 2000
getötete Kinder. (a) Zeichne ein Histogramm für de relativen Anteile der Bundesländer!, (2) Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt ein getötetes Kind aus Tirol
bzw. aus Niederösterreich? Ist die Bildung eines Mittel- bzw. Erwartungswertes
sinnvoll?
Burgenland
Kärnten
Niederösterreich
Oberösterreich
Salzburg
Steiermark
Tirol
Vorarlberg
Wien
1
1
8
6
2
6
1
1
1
7
© Dr. Außerlechner M.Th.
11148
3. Bei einem Kongress nächtigt der Chef im noblen 5 Sterne Hotel (Zimmer plus
Frühstück 510 Euro pro Tag), die 20 köpfige Belegschaft im nahen 3 Sterne Hotel (je
Doppelzimmer mit Früstück 70 Euro pro Tag). Stell die durchschnittlichen Kosten
je Nächtigung samt Frühstück pro Person mit verschiedenen ”Mittelwerten” dar.
Interpretiere die Ergebnisse!
1.1.9 Wahrscheinlichkeit
Mit Hilfe von Experimenten mit langen Versuchsfolgen zählt man die Häufigkeit des
Auftretens eines gewissen Ereignisses und schätzt dadurch die Wahrscheinlichkeit dieses
Ereignisses. Dabei geht man davon aus, dass die relative Häufigkeit der best mögliche
Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit ist.
1.1.10 Zufallsgeräte
Unter Zufallsgeräten versteht man jede Art von Möglichkeit, ein Zufallsexperiment
durchzuführen, beispielsweise eine Münze oder Würfel werfen, aus einer Urne ziehen,
ein Glücksrad drehen usw.
1.1.11 Laplace‘sche Wahrscheinlichkeit
Unter der Laplace‘sche Wahrscheinlichkeit versteht man jedes Zufallsexperiment, bei
welchem jedes der n möglichen Versuchsausgänge, oder auch Ergebnismenge ω genannt,
gleich wahrscheinlich ist, also P (ω) = n1 ist! Das dazugeörige Zufallsgerät nennt man
Laplace Gerät.
Lässt sich ein Ereignis A aus den Versuchsergebnissen ω eines Laplace’schen Experiments mit der Ergebnismenge Ω bilden, A ist also Teilmenge von Ω, so gilt:
P (A) =
Anzahl der für A günstigen Versuchsergebnisse
Anzahl der möglichen Versuchsergebnisse
=
|A|
|Ω|
=
g
m
Hinweis:
• Ist A = ∅, so heißt A unmögliches Ereignis und P (∅) = 0!
• Ist A = Ω, so heißt A sicheres Ereignis und P (Ω) = 1!
• Das Gegenereignis A’ berechnet man mit P (A0 ) = 1 − P (A)!
8
© Dr. Außerlechner M.Th.
1.1.12 Aufgaben
1. Beim Werfen einer Münze wurde folgende Folge erzeugt:
1111010010101010010101111111111001
Ermittle die (a) absolute, (b) relative Häufigkeit ihres Auftretens und (c) zeichne
ein Histogramm der relativen Häufigkeiten, für ”1” und ”0”.
2. Jemand wettet mit der angegebenen Quote auf das Eintreten eines bestimmten
Ereignisses. Mit welcher Wahrscheinlichkeit muss dieses Ereignis eintreten, damit
die Wette auf lange Sicht fair ist? (a) 5 : 1, (b) 9 : 1, (c) 1 : 10 und (d) 1:3!
3. Ermittle die relative Häufigkeit der Primzahlen unter den natürlichen Zahlen von
(a) 1 bis 50, (b) 51 bis 100 und (c) 101 bis 150! Zeichne das dazugehörige Histogramm! Werden die Primzahlne zunehmend spärlicher oder häufiger? Vermute!
4. Welche Wahrscheinlichkeiten haben die folgenden Ereignisse beim Würfeln? Die
Augenzahl ist (a) gerade, (b) ≤ 5, (c) > 5, (d) negativ, (e) ein Teiler von 60, (f)
kein Teiler von 60.
5. Simuliere den Reißnagelwurfmittels einer Urne, wenn P(Spitze unten) = P(1) =
0,7 und P(Spitze oben) = P(0) = 0,3 ist!
6. Eine Urne enthält lauter gleicher Kugeln, die von 10 bis 42 durchnummeriert sind.
Es wird zufällig eine Kugel gezogen. Gib die Ergebnismenge Ω des Versuches an!
Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von: (a) die Zahl endet auf 3,
(b) die Zahl beginnt mit 2, (c) die Zahl ist durch 7 teilbar, (d) das Zahl hat 2
gleiche Ziffern!
1.1.13 Erste Pfadregel
Hierbei beschäftigt man sich mit geordneten Stichproben, welche entweder mit oder ohne
Zurücklegen der Elemente untersucht werden können.
Ziehen geordneter Stichproben MIT Zurücklegen
Bei dieser Ziehung wird aus einer geordneten (= der Reihe nach geordneten)
Stichprobe vom Umfang n aus N Elementen mit Zurücklegen gezogen. Dabei kommt es
auf die Reihenfolge der gezogenen Elemente an!
Aufgaben
1. Im Zuge einer Werbeaktion für ein Mundwasser wird folgendes Gewinnspiel veranstaltet: In einer Urne liegen 4 bis auf die Beschriftung gleiche Kugeln: O, D, O,
L. Man zieht nun blind ene Kugel nach der anderen mit Zurücklegen. Zieht man
auf diese Weise das Wort ODOL, gewinnt man eine Flasche Mundwasser. Wie
großist die Gewinnchance bei diesem Spiel?
9
© Dr. Außerlechner M.Th.
2. Im Zuge einer Werbeaktion für das neue Fastfoodprodukt wird folgendes Gewinnspiel veranstaltet: In einer Urne liegen 5 bis auf die Beschriftung gleiche Kugeln:
A, F, M, M, P. Man zieht nun blind ene Kugel nach der anderen mit Zurücklegen.
Zieht man auf diese Weise das Wort MAMPF, gewinnt man eine Kostprobe. Wie
großist die Gewinnchance bei diesem Spiel?
Ziehen geordneter Stichproben OHNE Zurücklegen
Bei dieser Ziehung wird aus einer geordneten (= der Reihe nach geordneten)
Stichprobe vom Umfang n aus N Elementen ohne Zurücklegen gezogen. Dabei kommt
es nicht auf die Reihenfolge der gezogenen Elemente an!
Ist n = N spricht man von einer Permutation!
Aufgaben
1. Im Zuge einer Werbeaktion für ein Mundwasser wird folgendes Gewinnspiel veranstaltet: In einer Urne liegen 4 bis auf die Beschriftung gleiche Kugeln: O, D, O,
L. Man zieht nun blind ene Kugel nach der anderen ohne Zurücklegen. Zieht man
auf diese Weise das Wort ODOL, gewinnt man eine Flasche Mundwasser. Wie
großist die Gewinnchance bei diesem Spiel?
2. Im Zuge einer Werbeaktion für das neue Fastfoodprodukt wird folgendes Gewinnspiel veranstaltet: In einer Urne liegen 5 bis auf die Beschriftung gleiche Kugeln:
A, F, M, M, P. Man zieht nun blind ene Kugel nach der anderen mit Zurücklegen.
Zieht man auf diese Weise das Wort MAMPF, gewinnt man eine Kostprobe. Wie
großist die Gewinnchance bei diesem Spiel?
Erste Pfadregel
Die Wahrscheinlichkeit einer geordneten Stichprobe ist das Produkt aller Wahrscheinlichkeiten längs des zugehörigen Pfades im Baumdiagramm.
Gemischte Aufgaben
1. Wie groß ist bei blindem Ankreuzen die Chance, beim Toto einen 12er zu machen?
Jedem der 12 Spiele wird 1 (Heimmannschaft siegt) oder x (unentschieden) oder 2
(Auswärtsmannschaft siegt) zugeordnet.
2. Bei 6 aus 45 gilt es, aus den Zahlen 1 bis 45 die 6 richtigen Zahlen zu erraten. Wie
hoch ist die Wahrscheinlichkeit für einen Sechser?
10
© Dr. Außerlechner M.Th.
3. Das Passwort eines Computers besteht aus genau 8 Kleinbuchstaben (ohne Umlaute und ohne ß). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Versuch das
Passwort zufällig zu erraten?
4. Der PIN Code einer Kreditkarte ist eine vierstellige natürliche Zahl. Bei der dritten
Fehleingabe des Codes wird die Karte vom Geldautomaten eingezogen. Wie groß
ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kartendieb, der rein zufällig Codes ausprobiert,
Geld abheben kann?
5. Die Wahrscheinlichkeit für eine Knabengeburt K sei 0,52, für eine Mädchengeburt
M 0,48. Berechne die Wahrscheinlichkeit für de Geburtenfolge KKMK bzw KMKK
und MMMK bzw. KMMM! Spielt die Reihenfolge eine Rolle hinsichtlich des Ergebnisses?
6. Für das Elferschießen werden aus 10 Feldspielern 5 Schützen ausgewählt. Wie groß
ist bei Losentscheid die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler mit der Nummer 8 als
4. Schütze bestimmt wird?
7. Wie groß ist bei zufälliger Wahl 2er Klassensprecher die Wahrscheinlichkeit, dass
in einer Klasse mit 10 Mädchen und 15 Burschen (a) beide weiblich sind, (b) beide
Burschen sind, (c) der erste Klassensprecher ein Bursche und die zweite weiblich
ist, (d) die erste Klassensprecherin weiblich ist und der zweite ein Bursche ist?
8. Auf einem Schulfest wird ein Feuerwehrspiel angeboten. In einer Urne sind 5 bis
auf die Beschriftung gleiche Kugeln, nämlich 1, 1, 2, 2, 2. Man zieht dreimal
je eine Kugel und legt diese nicht in die Urne zurück. Der Einsatz beträgt 1
Euro. Zieht man den Feuerwehrnotruf 122, so erhält man 5 Euro, dh 4 Euro
Gewinnprämie und 1 Euro Einsatz, ansonsten ”verbrennt” der Einsatz. Gib alle
möglichen Spielverläufe samt Wahrscheinlichkeit an. Wie groß sit die Gewinnchance für den Spieler und für die Bank? Ist das Spiel fair?
9. Ein Affe tippt auf den 11 Tasten (10 Tasten + Komma) des Ziffernblocks eines
Computers 20 mal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er dabei die Folge
der ersten 20 Zeichen von π tippt?
1.1.14 Zweite Pfadregel
Hierbei beschäftigt man sich mit ungeordneten Stichproben, welche entweder mit oder
ohne Zurücklegen der Elemente untersucht werden können.
Ziehen ungeordneter Stichproben MIT Zurücklegen
Im Unterschied zu einer geordneten Stichprobe geht man bei einer ungeordneten Stichprobe davon aus, dass man alle Stichproben gleichzeitig entnimmt und nicht der Reihe
nach, wie bei geordneten Stichproben, hierbei mit Zurücklegen.
11
© Dr. Außerlechner M.Th.
Ziehen ungeordneter Stichproben OHNE Zurücklegen
Im Unterschied zu einer geordneten Stichprobe geht man bei einer ungeordneten Stichprobe davon aus, dass man alle Stichproben gleichzeitig entnimmt und nicht der Reihe
nach, wie bei geordneten Stichproben, hierbei ohne Zurücklegen.
Zweite Pfadregel
Die Wahrscheinlichkeit einer ungeordneten Stichprobe ist die Summe aller zugehörigen
Pfadwahrscheinlichkeiten.
Gemischte Aufgaben
1. Wie groß ist bei blindem Ankreuzen die Chance, beim Toto einen 11er zu machen?
2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei ”6 aus 45” 5 richtige Zahlen zu erraten?
3. Für eine Rundfunkwerbung sollen 3 der 10 Kinder einer Klasse interviewt werden.
Wie hoch ist die Chance für ein bestimmtes Kind, bei zufälliger Auswahl interviewt
zu werden?
4. Franz, Fritz, Pia und Petra spielen Schnapsen. Wie hoch ist die Chance, dass
Petra alle 5 Karten einer Farbe und alle 4 Asse erhält?
5. Zeni Zollfrei nähert sich mit 49 anderen Personen in einem Autobus der Grenze.
Sie weiß, dass 2 Insassen vom Zöllner zufällig ausgewählt und untersucht werden.
Wie groß ist für sie die Chance, kontrolliert zu werden?
6. Ein Prüfungsbogen mit 6 Fragen, zu denen je 4 Antworten vorgegeben sind, wovon
genau 1 richtig ist, ist dann positiv absolviert, wenn mindestens die Hälfte der
Antworten richtig angekreuzt wurden. Berechne die Wahrscheinlichkeit, einen positiven Abschluss zu bekommen, wenn man blindlings je eine Antwort ankreuzt! Wie
hoch ist die Chance die Prüfung zu bestehen, wenn man 2 mal wiederholen darf?
7. Aus den 5 Damen Antonia, Babsi, Cilli, Doris und Elfi soll ein 3er Team ausgelost
werden. (a) Wieviele verschiedene Teams gibt es?, (b) Wie groß ist für jedes
Mädel dieWahrscheinlichkeit, ins Team zu kommen?, (c) Babsi möchte mit Antonia
spielen- berechne diese Wahrscheinlichkeit!, (d) Cilli möchte mit Antonia, aber
nicht mit Doris spielen- Wahrscheinlichkeit dafür ist?
8. Die Twins Peter und Paul Faul haben nichts für die Mathematikwiederholung
gelernt. Sie wissen, dass stets 2 Schüler zur Prüfung ausgewählt werden. Wie groß
ist die Wahrschienlichkeit , dass (a) sowohl Peter als auch Paul, (b) Peter, aber
nciht Paul, (c) Paul,m aber nicht Peter, (d) Peter, (e) Paul, (f) weder Peter noch
Paul, drankommen, wenn insgesamt 20 Schüler anwesend sind?
12
© Dr. Außerlechner M.Th.
9. Eine Lehrerin kontrolliert die Hausübungen so, dass jede Stunde 4 der insgesamt 24
Hefte absammelt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, (a) nur Hefte mit fehlender,
(b) nur Hefte mit erbrachter HÜ auszuwählen, wenn (1) 10 Kinder keine HÜ haben,
(2) 12 Kinder die HÜ gemacht haben?
10. In einer Klasse mit 24 SchülernInnen werden die beiden KlassenordnerInnen jede
Woche per Los ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Schülerin
Petra Pech mit der Katalognummer 13 diesmal nicht eingeteilt wird?
11. In einer Klasse mit 18 SchülernInnen werden die drei KlassenordnerInnen jede
Woche per Los ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Schüler
Peter und PaulFaul eingeteilt werden?
1.1.15 Kombinatorik
Die Berechnungen von Wahrscheinlichkeiten mittles Baumdiagrammen und
Laplace‘schen Regel sind ja sehr einfach, aber bei einem großen Stichprobenumfang N
aber auch vielen Zügen n sehr mühsam wird, da es sehr viele Pfade geben kann. Daher
beschäftigt sich die Kombinatorik mit Ableitungen von den Pfadregeln, in einfacher
Form, kurz gesagt, Formeln!
Stichprobe
ohne Zurücklegen
geordnet
ungeordnet
(N
n ) · n!
(N
n)
Nn
+n−1 )
(N
n
mit Zurücklegen
1.1.16 Aufgaben
1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gilt für eine aus lauter verschiedenen Ziffern bestehende vierstellige Zahl, dass sie (a) gerade ist, (b) durch 5 teilbar ist, (c) zwischen
5700 und 5800 liegt, (d) die Ziffern 1 und 3 enthält?
2. Wie viele Fahnen könne n aus den Farben weiß , rot, gold, blau und grün zusammengestellt werden, wenn eine Fahne aus 3 verschiedenen Farben in fester Lage
und Reihenfolge besteht?
3. In einer Jugendherberge ist in den Zimmern 1,2,4,7,8 und 9 je ien Bett frei.
Berechne, auf wie viele Arten 4 Wanderer auf diese Zimmer aufgeteilt werden
können!
4. Aus 6 Läuferinnen soll eine Staffel bestehend aus 4 Läuferinnen zusammengestellt
werden. Berechne die ANzahl der möglichen Staffeln!
13
© Dr. Außerlechner M.Th.
5. Aus 7 Bewerbern soll eine Staffel aus 4 Schwimmern zusammengestellt werden,
wobei der (a) Schlussschwimmer, (b) Startschwimmer schon feststeht. Wie viele
verschiedene Staffeln gibt es?
6. Auf wie viele Arten können 4 Personen in einem PKW mit insgesamt 4 Sitzplätzen
sitzen, wenn (a) alle 4, (b) 3, (c) 2 Insassen einen Führerschein besitzen?
7. Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus einem 16 Mann Kader 10 Felsspieler auszuwählen?
8. Wie viele verschiedene Sitzordnungen gibt es in einer Klasse mit 20 Schülern und
24 freien Plätzen?
9. Auf wie viele Arten kann man 11 Leiberl auff 11 Spieler aufteilen, wenn der Goalie
die Nummer 1 bzw. irgendeine Nummer bekommt?
10. Wie viele verschiedene Tnazpaare kann man aus 13 Damen und 13 Herren bilden?
11. In Mathematanien sind die Einstellmöglichkeiten von Fahrradschlössern durch
vierziffrige Hexadezimalzahlen gegeben. Wie viele verschiedene Kombinationen
gibt es?
12. Bie einer Prüfung werden 10 Fragen vorgelegt, von denen 3 Fragen zu ziehen sind.
Wie viele Wahlmöglichkeiten gibt es? Wie viele Reihenfolgen der Beantwortung
gibt es?
1.1.17 Bedingte Wahrscheinlichkeit
Wie man aus den vielen besprochenen Aufgaben sieht, kann man zwischen bedingten
unbebedingten Wahrscheinlichkeiten unterscheiden. Ein weit verbreitetes Beispiel für
eine unbedingte Wahrscheinlichkeit liefert das Wr̈felspiel. Franz hat nun 20 mal vergeblich versucht, einen Sechser zu wr̈feln. Er meint, jetzt muss endlich eine Sechs kommen.
Franz’s Meinung, dass es sehr unwahrscheinlich ist, eine Wurfserie mit ”erst beim 21.
Mal kommt ein Sechser” zu erwischen, hat er Recht. Die Wahrscheinlichkeit für ein
solches Ereignis lautet ( 56 )20 · 61 ≈ 0, 004!
Aber wenn Franz meint, dass wegen des langen Nichterscheinens des Sechsers dieser
beim nächsten Wurf mit einer Wahrscheinlichkeit größer als 61 ist, liegt er falsch, denke
an Laplace! Jeder Versuchsausgang ist also unabhängig vom Ausgang des vorherigen.
Der Würfel hat ja kein Gedächtnis!
Selbiger Sachverhalt jedoch umgelegt auf das Ziehen aus einer Urne ohne Zurücklegen,
ist klarerweise abhängig vom vorangegangenen Versuchsausgang!
Diese so genannte bedingte Wahrscheinlichkeit wird durch die Schreibweise P (A|B)
verdeutlicht. Das heißt, dass das Eintreten vom Ereignisses A von der Bedingung, dass
B bereits eingetreten ist, abhängt. Wenn hingegen das Eintreten von B keine Rolle für
14
© Dr. Außerlechner M.Th.
A spielt, also stochastisch unabhängig ist, dann schreibt man statt P (A|B) lediglich
P(A) und nennt dies unbedingte bzw. absolute Wahrscheinlichkeit!
Verdeutlich werden Beispiele mit bedingten Wahrscheinlichkeiten am besten mit den so
genannten Vierfeldtafeln.
Beispiel: In Mathematanien treffen Merkmalsausprägungen der Haarfarbe blond bzw.
brünett und die Augenfarbe blau bzw. braun zusammen. In einer Vierfeldtafel ausgedrückt schaut der Sachverhalt folgendermaßen aus:
blond
brünett
blauäugig
0,20
0,10
braunäugig
0,15
0,55
1. Wieviel Prozent der Gruppe sind (a) blond, (b) brünett, (c) blauäugig, (d) braunäugig?
2. Wieviel Prozent (a) der Blonden haben blaue Augen, wieviele (b) der Blauäugigen
sind blond und (c) wieviele der Blauäugigen sind brünett?
Lösung:
1. Es werden die Zeilen- und Spaltensummen berechnet. Das heißt:
(a) P(blond) = 0,20 + 0, 15 = 0,35 also ca. 35 Prozent
(b) P(brünett) = 0,10 + 0, 55 = 0,65 also ca. 65 Prozent
(c) P(blauäugig) = 0,20 + 0, 10 = 0,30 also ca. 30 Prozent
(d) P(braunäugig) = 0,15 + 0, 55 = 0,70 also ca. 70 Prozent
P(blond und blau)
= 0,20
0,35 ≈ 0, 57, also ca. 57 Prozent
P(blond)
P(blond und blau)
blau) =
= 0,20
0,30 ≈ 0, 66, also ca. 66,7 Prozent
P(blau)
P(brünett und blau)
| blau) =
= 0,10
0,30 ≈ 0, 33, also ca. 33,3 Prozent
P(blau)
2. (a) P(blau | blond) =
(b) P(blond |
(c) P(brünett
Daraus ergibt sich der bekannte Satz von BAYES: P (B|A) =
bedingte Wahrscheinlichkeiten!
P (A|B)·P (B)
P (A)
für
Weitere daraus ergebene praktische Formeln sind:
• Summenformel für Spalten und Zeilen: P (A ∧ B) + P (A ∧ B’) = P (A)
• Regel der totalen Wahrscheinlichkeit:P (AB) + P (A’B) = 1
• Produktregel: P (A ∧ B) = P (B | A) · P (A) = P (A | B) · P (B)
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© Dr. Außerlechner M.Th.
Aufgabe:
Unter den Kindern, die an einem Schwimmkurs teilnehmen, sind 60 Prozent weiblich.
50 Prozent der Kinder können noch nicht schwimmen; unter den Knaben sind es nur
25 Prozent.
(a) Wie viel Prozent der Kinder, die noch nicht schwimmen können, sind Knaben?
(b) Wie viel Prozent der Mädchen können noch nicht schwimmen?
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