Elemente der Stochastik - Uni

Elemente der Stochastik
Skript
zur Vorlesung im Sommersemster 2015
an der Universität Siegen
von Dr. Markus Weimar
I. Einleitung / Organisatorisches
Das vorliegende Skript basiert auf einer Vorlage von
Prof. Dr. Plato (Universität Siegen). Es ist knapp
gehalten, dient als Orientierung für den Dozenten.
Literatur:
• Kütting, Herbert und Sauer, Martin J.: Elementare Stochastik - Mathematische Grundlagen und
didaktische Konzepte (3. Auflage). Mathematik
Primarstufe und Sekundarstufe I+II. Springer
Spektrum, Berlin Heidelberg, 2011
• Henze, Norbert: Stochastik für Einsteiger - Eine
Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls.
Vieweg + Teubner Verlag, Wiesbaden, 2012
• Büchter, Andreas und Henn, Hans-Wolfgang: Elementare Stochastik - Eine Einführung in die Mathematik der Daten und des Zufalls (2. überarbeitete und erweiterte Auflage). Mathematik für das
Lehramt. Springer, Berlin Heidelberg, 2007
Die Vorlesung folgt maßgeblich Kütting/Sauer.
Aktuelle Informationen, Skript, Übungsblätter:
http://www.mathematik.uni-marburg.de/∼weimar
(→ Lehre → Vorlesung - Elemente der Stochastik)
Kontakt:
[email protected]
Vorlesungstermin:
Fr 14:15 - 15:45 Uhr, AR-D 5102 blauer Hörsaal
Tutorien:
• Mo 08:15 - 09:45 Uhr, Raum H-C 7326
(Natalie Janowitsch)
• Di 08:15 - 09:45 Uhr, Raum H-C 3302
(Thomas Bernack)
• Mi 16:15 - 17:45 Uhr, Raum H-F 014/15
(Riko Kelter)
• Mi 16:15 - 17:45 Uhr, Raum PB-A 102
(Rebecca Keuer)
• Do 10:15 - 11:45 Uhr, Raum WS-A 001
(Rebecca Keuer)
• Fr 08:15 - 09:45 Uhr, Raum H-C 7327
(Svenja Rosenow)
• Fr 10:15 - 11:45 Uhr, Raum PB-A 118 Hörsaal
(Natalie Janowitsch)
Anmeldung: LSF
Prüfung:
schriftlich am Semesterende gemäß der für sie gültigen
Prüfungsordnung
ii
Zufall tritt an vielen Stellen auf:
• in der Natur (etwa bei Zerfallsprozessen von Atomen, Wetterentwicklungen),
• in der Gesellschaft (etwa bei Spielen),
• in der Industrie (z.B. bei Zuverlässigkeit von
Produkten wie Glühlampen).
“Auch der Zufall ist nicht unergründlich, er hat seine Regelmäßigkeit.” Novalis (Georg Philipp Friedrich
Freiherr von Hardenberg), 1772-1801
Zufall kann formal mathematisch behandelt werden.
Dies ist Gegenstand der Stochastik.
Stochastik = Wahrscheinlichkeitsrechnung
= Wahrscheinlichkeitstheorie
= WT
Begründer der axiomatischen WT:
• A.N. Kolmogoroff, 1903–1987
Bestandteile der Stochastik:
Reales stochastisches
Problem
(1)
−→
Stochastisches
Modell
↓ (2)
Lösung des realen
stochastischen
Problems
(3)
←−
Lösung des
stochastischen
Problems
wobei
(1) Modellbildung, inkl. Festlegung eines passenden
Ergebnisraums Ω und einer Wahrscheinlichkeitsverteilung P . Ggf. Vereinfachungen.
(2) Stochastische Theorie auf der Basis des Modells.
(3) Interpretation der Theorie.
Themen der Vorlesung:
• Endliche Wahrscheinlichkeitsräume (allgemeine
Theorie)
• Anwendungsbeispiele
• Spezielle diskrete Verteilungen (LaplaceVerteilung, Binomialverteilung, geometrische
Verteilung, . . .)
• Kombinatorik = Anzahlbestimmung möglicher
Kombinationen eines Experiments
• Zufallsvariable, Erwartungswert, Varianz
Inhaltsverzeichnis
I. Einleitung / Organisatorisches
II. Wahrscheinlichkeit
1.
Einführende Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.
Zur Geschichte der Stochastik . . . . . . . . . . . . . .
3.
Mathematische Begriffsbildung . . . . . . . . . . . . .
4.
Crash-Kurs: naive Mengenlehre . . . . . . . . . . . . .
4.1.
Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.
Rechenregeln für Mengen . . . . . . . . . . . .
4.3.
Sprechweisen für Ereignismengen . . . . . . . .
5.
Endliche W-Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.
Axiomensystem von Kolmogoroff . . . . . . . .
5.2.
Baumdiagramme . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.
Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.
Ein äquivalentes Axiomensystem . . . . . . . .
5.5.
Gleichverteilung (Laplace-Verteilung) . . . . .
6.
Elementare Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.
Fundamentalprinzip des Zählens . . . . . . . .
6.2.
Kombinatorische Figuren . . . . . . . . . . . .
6.3.
Weitere Anwendungen . . . . . . . . . . . . . .
7.
Bedingte W-keit und stochastische (Un)Abhängigkeit .
7.1.
Bedingte Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . .
7.2.
Stochastische (Un)Abhängigkeit . . . . . . . .
7.3.
Baumdiagramme . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.
Satz von der totalen W-keit . . . . . . . . . . .
7.5.
Satz von Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6.
Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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III. Zufallsvariablen
1.
Motivation und Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.
Verteilung von ZV’n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.
Erwartungswert und Varianz von ZV’n . . . . . . . . . . . .
4.
Spezielle diskrete Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.
Bernoulli-Experimente und die Bernoulli-Verteilung
4.2.
Bernoulli-Ketten und die Binomial-Verteilung . . . .
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Fortsetzung folgt...
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