Inhalt - STARK Verlag

Inhalt
Vorwort
Hinweise zur Benutzung des GTR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Zufallsexperimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1
2
2.1
2.2
3
3.1
3.2
3.3
Einstufige Zufallsexperimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mehrstufige Zufallsexperimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ziehen mit und ohne Zurücklegen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Baumdiagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ereignisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Teilmengen von Ergebnismengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Verknüpfen von Ereignissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ereignisalgebra und Mengendiagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
21
21
23
24
24
25
30
Häufigkeits- und Wahrscheinlichkeitsverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
1
2
3
4
5
6
Relative Häufigkeit von Ereignissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eigenschaften von Häufigkeitsverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Klassische Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pfadregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsverteilungen;
Vierfeldertafeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
35
38
44
47
Kombinatorik und Laplace-Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
1
1.1
1.2
1.3
1.4
2
2.1
2.2
54
54
55
57
58
64
64
66
Auswahlprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das allgemeine Zählprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Permutationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
k-Permutationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
k-Teilmengen in einer n-Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Urnenmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ziehen ohne Zurücklegen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ziehen mit Zurücklegen – die Bernoulli-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
Stochastische Beziehungen zwischen Ereignissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
1
2
3
4
5
Bedingte Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stochastische Abhängigkeit und Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Unabhängigkeit und Unvereinbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wahrscheinlichkeit verknüpfter Ereignisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Satz von Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
73
75
77
79
Bernoulli-Kette und Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
1
Bernoulli-Experimente und Bernoulli-Kette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
2
2.1
2.2
2.3
Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Galton-Brett und Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Histogramme und Wahrscheinlichkeitsverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kumulative Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
88
90
92
3
Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
Testen von Hypothesen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
1
Schätzen und Testen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2
2.1
2.2
Hypothesentests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Der Alternativtest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Der Signifikanztest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
1
Standardisieren von Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
2
Näherungsformeln von Moivre / Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3
Gauß-Funktion und Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Aufgaben zur Abiturvorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Pflichtteil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Wahlteil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Stichwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
Autor: Gundolf March
Vorwort
Liebe Schülerin, lieber Schüler,
nach langer Zeit wird in Baden-Württemberg im Jahr 2013 Stochastik erstmalig
wieder Gegenstand der Abiturprüfung sein.
Dieses Buch hilft Ihnen dabei, in Ergänzung zum Unterricht wichtige Zusammenhänge, Konzepte und Sätze der Stochastik zu wiederholen und im Umgang mit
dem Aufgabenmaterial einzuüben. Insbesondere werden alle für die G8-Abiturprüfung relevanten Themen ausführlich behandelt.
Die Stochastikaufgaben in der Abiturprüfung 2013 beschränken sich auf die
Themen Baumdiagramme und Pfadregeln, Binomialverteilung, Erwartungswert,
Testen von Hypothesen (nur einseitig, nicht: Fehler 2. Art). Einige im Buch behandelte Themen wie der Satz von Bayes oder die Normalverteilung werden im
Abitur 2013 also nicht abgeprüft. Sie werden im Buch zum Zwecke einer vollständigeren Darstellung und zur Förderung eines vertieften Verständnisses dennoch
behandelt – zudem ist das Thema „stetige Verteilung“ Gegenstand des Unterrichts.
Im ersten Kapitel ist die Bedienung des GTR beschrieben, soweit es für den Bereich Stochastik und insbesondere für den Wahlteil Stochastik relevant ist.
Das letzte Kapitel besteht aus Wiederholungsaufgaben, die den Aufgaben aus
der Abiturprüfung im Bereich Stochastik ähneln. Hier wird unterschieden zwischen Pflichtteil- und Wahlteil-Aufgaben, also insbesondere auch zwischen
Aufgaben ohne GTR-Einsatz und Aufgaben mit GTR-Einsatz.
Im Gegensatz dazu wird in den vorangehenden Kapiteln bei den Beispielen und
den Aufgaben inklusive der zugehörigen Lösungen nicht explizit zwischen Pflichtund Wahlteil unterschieden, da diese Kapitel das grundlegende Verständnis sichern
und zur Wiederholung auch während eines Schuljahres dienen sollen. Zudem sind
die Prüfungsthemen in der Abiturprüfung Stochastik 2013 bei Pflicht- und Wahlteil identisch; die Aufgaben unterscheiden sich nur in ihrem Umfang und Schwierigkeitsgrad.
Der Schwierigkeitsgrad der Aufgaben in diesem Buch steigt in der Regel innerhalb eines Kapitels an – schwierige oder weiterführende Aufgaben sind mit einem
Stern () gekennzeichnet. Die Lösungswege aller Aufgaben sind im Lösungsteil
ausführlich dargestellt, um eine gewissenhafte Kontrolle zu ermöglichen und somit
den Lernerfolg zu unterstützen. Dabei werden immer wiederkehrende Berechnungen mit dem GTR nicht explizit angegeben, da diese im ersten Kapitel und an den
betreffenden Stellen innerhalb der jeweiligen Kapitel ausführlich erklärt werden.
Viel Spaß bei der Vorbereitung und viel Erfolg in der Abiturprüfung!
Gundolf March