2. Leseprobe - STARK Verlag
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72 Bernoulli-Kette und Binomialverteilung 2 Binomialverteilung 2.1 Galton-Brett und Binomialverteilung Eine Bernoulli-Kette lässt sich mit einem Galton-Brett (Francis Galton, 1822 –1911) realisieren, bei dem eine Kugel so durch mehrere Reihen von Nägeln fällt, dass sie in jeder Reihe mit gleicher Wahrscheinlichkeit nach links abgelenkt wird wie nach rechts. Die Kugeln landen in Fächern, deren Nummer die Anzahl der erfolgten Rechtsablenkungen angibt. So erhält man eine Häufigkeitsverteilung, welche die zugrunde liegende Wahrscheinlichkeitsverteilung veranschaulicht. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung für das Galton-Brett lässt sich berechnen, indem man mit der Bernoulli-Formel jeweils für das k-te Fach die Wahrscheinlichkeit P(Z = k) der Rechtsablenkungen bestimmt. Definition Die Funktion B np mit B np (k) = nk ⋅ p k ⋅ (1 − p) n − k heißt Binomialverteilung mit dem Parameter p. Dabei ist n ∈ 7, 0 < p < 1 und k ∈ 7 mit 0 ≤ k ≤ n. Die Binomialverteilung B np ordnet jeder natürlichen Zahl k die Wahrscheinlichkeit zu, bei einer Bernoulli-Kette mit der Länge n und dem Parameter p genau k Treffer zu erzielen. Die entsprechende Zufallsvariable nennt man binomialverteilt oder B np -verteilt. Binomialverteilung 73 Beispiele 1. Erläutern Sie folgende Aussage: „Jeder Weg durch das Galton-Brett kann durch eine Binärzahl beschrieben werden, deren Quersumme die Fachnummer angibt.“ Lösung: Man kann z. B. das Ergebnis TNNTTN als (100110)2 kodieren. Diese Binärzahl entspricht im Zehnersystem der Zahl 38. Die Quersumme von (100110)2 hat den Wert 1 + 0 + 0 + 1 + 1 + 0 = 3. Die Quersumme der Binärzahl entspricht der Zahl der Einsen. Sie gibt die Zahl der Rechtsablenkungen und somit die Nummer des Fachs an, in das die Kugel fällt. 2. Bestimmen Sie die Binomialverteilung für ein sechsreihiges Galton-Brett mit p = 0,5. Lösung: Mit der Bernoulli-Formel erhält man: 1 B np (k) = B 60,5 (k) = k6 ⋅ 0,5 k ⋅ 0,56 − k = k6 ⋅ 64 Für die Binomialverteilung ergibt sich: Aufgaben k 0 1 2 3 4 5 6 P(Z = k) 1 64 6 64 15 64 20 64 15 64 6 64 1 64 100. Bestimmen Sie die Werte der Binomialverteilung mit dem Parameter 0,25 für n = 5. 101. Bestimmen Sie den Parameter p und vervollständigen Sie die Binomialver- teilung. k P(Z = k) 0 1 2 3 4 0,0256 102. Bestimmen Sie die Binomialverteilung für ein achtreihiges Galton-Brett mit p = 0,5.
