Verteilungen

Verteilungen
Im Folgenden werden die gängigsten Verteilungen aufgelistet und in kurzen Worten beschrieben. Für Informationen zu den Verteilungsfunktionen, Erwartungswerten sowie Varianzen wird auf den Link Materialien 2 auf der Internetseite
zur Übung verwiesen.
1)
Binomialverteilung
Die Binomialverteilung beschreibt die unabhängige, n-fache Wiederholung eines
Einzelexperiments mit zwei verschiedenen möglichen Ausgängen. Diese werden
mit 0 und 1 bezeichnet. Die Erfolgswahrscheinlichkeit wird mit p bezeichnet
(p > 0).
2)
geometrische Verteilung
Die geometrische Verteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeit, in einem BernoulliExperiment mit Erfolgswahrscheinlichkeit p > 0 den ersten Erfolg genau im kten Teilversuch zu haben.
3)
negative Binomialverteilung
Die negative Binomialverteilung ist eine Verallgemeinerung der geometrischen
Verteilung. Sie beschreibt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei n ≥ r + k
Bernoulli- Experimenten genau k Misserfolge dem r-ten Erfolg vorangehen.
4)
Multinomialverteilung
Die Multinomialverteilung ist eine Verallgemeinerung der Binomialverteilung.
Hier hat jeder der n unabhängigen, identischen Teilversuche s mögliche Ausgänge.
Die Multinomialverteilung ist gegeben durch:
P (X = (k1 , . . . , ks )) =
n!
pk1 · · · pks s
k1 ! · · · ks ! 1
mit k1 + · · · + ks = n und p1 + · · · + ps = 1.
Beachte: Für s = 2 erhalten wir die Binomialverteilung.
5)
Hypergeometrische Verteilung
Eine Urne enthält a = r + s Kugeln (r ∼ “rot“, s ∼ “schwarz“). Die Kugeln
werden, beginnend mit den roten Kugeln, mit den Zahlen von 1 bis n nummeriert. Es wird n- mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen.
X ∼ “Anzahl der roten Kugeln in den n Ziehungen“.
6)
Poisson- Verteilung
Die Poisson- Verteilung wird als Modell überall dort verwendet, wo gezählt
wird, wie viele von wievielen möglichen, aber einzeln relativ unwahrscheinlichen
unabhängigen Ereignissen eintreten. (Geigerzähler)
1
7)
Exponentialverteilung
Die Exponentialverteilung bestimmt die Wartezeit bis zum ersten Eintreffen
eines Ereignisses (Flugzeugabsturz o.ä.). Sie ist das Analogon zur diskreten geometrischen Verteilung.
8)
Gleichverteilung
a) diskrete Gleichverteilung
Alle Ereignisse sind gleichwahrscheinlich. Diese Verteilung wird bei Zufallsexperimenten (Würfeln o.ä.) verwendet und wird häufig auch als LaplaceVerteilung bezeichnet.
b) Gleichverteilung mit stetiger Dichte
Alle Teilintervalle der gleichen Länge sind gleichwahrscheinlich (z.B. ist
bei der Ankunft an einer Ampel die Wartezeit, bis die Ampel grün wird,
gleichverteilt).
9)
Normalverteilung
Die Normalverteilung approximiert die Verteilung von zufälligen Größen wie
z.B. der Niederschlagsmenge, des Ernteertrages o.ä., die von vielen unabhängigen Größen beeinflusst werden.
Weitere Informationen zu den genannten Verteilungen und anderen Themen
der Vorlesung findet man in
Krengel:
Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statis”
tik“
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