5. ¨Ubungswoche

Übungsaufgaben, Statistik
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5. Übungswoche
Kapitel 5: Diskrete Verteilungen
[ 1 ] Bernoulli-Verteilung
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a) Die Bernoulli-Verteilung ist eine diskrete Verteilung mit nur zwei möglichen Werten.
(
)
b) Die Bernoulli-Verteilung ist ein Spezialfall der Binomialverteilung.
(
)
c) Für die Bernoulli-Verteilung mit dem Parameter π gilt E(X) = Var(X) = π.
(
)
1 gilt immer: (
)
e) Für die Verteilungsfunktion F (t) einer Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen X mit Pa- (
rameter π gilt: F (t) = P (X = 0) = 1 − π für 0 ≤ t < 1.
)
d) Für die Bernoulli-Verteilung mit dem Parameter 0
E(X) > Var(X) = π(1 − π).
<
π
<
[ 2 ] Welchen Wert hat der Parameter n einer binomialverteilten Zufallsvariablen X, die den
Erwartungswert EX = 5 und die Varianz V ar X = 2, 5 hat?
n =
[ 3 ] Eine Urne enthält N = 5 Kugeln, von denen M = 3 rot sind.
Es werden
1. 2 Kugeln mit Zurücklegen gezogen.
2. 2 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau eine rote Kugel zu ziehen?
HINWEIS: Es ist zu entscheiden, in welchem Fall die hypergeometrische Verteilung bzw. die
Binomialverteilung zu verwenden ist.
Fall a: Pa (X = 1) =
Fall b: Pb (X = 1) =
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[ 4 ] Von 6 Männern und 4 Frauen sollen 5 Personen an einer Tagung teilnehmen.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden 3 Männer und 2 Frauen bei einem Losverfahren ausgewählt?
Wahrscheinlichkeit :
[ 5 ] Aus einer Urne mit 50 Kugeln wird eine Stichprobe von 3 Kugeln mit Zurücklegen gezogen.
Die Wahrscheinlichkeit, daß sich in dieser Stichprobe eine rote Kugel befindet, beträgt 3/8 und
sei gleich der Wahrscheinlichkeit, zwei rote Kugeln in der Stichprobe vorzufinden.
Wieviele rote Kugeln befinden sich in der Urne?
Anzahl der roten Kugeln in der Urne :
[ 6 ] In einer Lostrommel befinden sich 1000 Lose: 900 Nieten und 100 Gewinnlose. Der erste
Käufer ersteht drei Lose. Die Zufallsvariable X bezeichne die Anzahl der Gewinnlose, die der
erste Käufer erhält. Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Zufallsvariablen X an, ohne
eventuelle Approximationsmöglichkeiten zu berücksichtigen.
P (x) =
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß der erste Käufer beim Kauf von drei Losen mindestens
ein Gewinnlos zieht. Greifen Sie dabei gegebenenfalls auf Approximationsmöglichkeiten zurück.
P (X ≥ 1) =
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[ 7 ] Mit R wurde die folgende Berechnung durchgeführt:
round(phyper(0:8, 20, 30,8),4)
0.0109 0.0867 0.2969 0.5995 0.8468 0.9640 0.9954 0.9998 1.0000
round(phyper(0:8, 6, 14,8),4)
0.0238 0.1873 0.5449 0.8627 0.9819 0.9993 1.0000 1.0000 1.0000
a) Um welche Verteilungen handelt es sich? Geben Sie jeweils den Namen der Verteilung mit
allen Parametern und den möglichen Werten an.
b) Geben Sie jeweils die Wahrscheinlichkeitsfunktion an.
c) Berechnen Sie jeweils die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
i) P (X > 2) und P (X > 6)
ii) P (X ≥ 2) und P (X ≥ 6)
iii) P (2 ≤ X ≤ 5) und P (4 ≤ X ≤ 7)
iv) P (2 ≤ X < 5) und P (4 ≤ X < 7)
v) P (2 < X ≤ 5) und P (4 < X ≤ 7)
vi) P (2 < X < 5) und P (4 < X < 7)
[ 8 ] Im Internet werden unter https://millionenklick.web.de täglich wie beim Lotto 6 aus 49
Zahlen gezogen. Zusätzlich wird eine Superzahl, d.h. eine der Ziffern 0, 1, 2, . . . 9 gezogen. In den
Ziehungen vom 15.09.2008 -24.09.2008 gab es für die Superzahl die folgenden Ergebnisse.
15.09. 16.09. 17.09. 18.09. 19.09. 20.09. 21.09. 22.09. 23.09. 24.09.
5
0
4
0
0
0
9
3
4
7
a) Wie groß ist für jede der Ziffern 0, 1, 2, . . . , 9 die Wahrscheinlichkeit, dass sie in einer Ziehung
gezogen wird.
b) Die folgenden Ereignisse sind alle eingetreten. Berechnen Sie jeweils die zugehörige Wahrscheinlichkeit.
i) Die Null ist in 10 Ziehungen 4-mal gezogen worden.
ii) Die Null ist 3-mal nach einander gezogen worden.
iii) Unter den ersten 6 Ziehungen war 4-mal die Null.
iv) Die Eins ist überhaupt nicht gezogen worden.
v) Die Vier ist 2-mal gezogen worden.
vi) Die Drei ist einmal gezogen worden.
vii) Die Drei und die Vier sind nacheinander gezogen worden.
viii) Die Drei, die Vier und die Sieben sind nacheinander gezogen worden.
c) Wie groß ist der Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung für die Anzahl
der Nullen in 10 Ziehungen.
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[ 9 ] Binomialverteilung
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a) Ist X ∼ b(10, π)-verteilt, so kann X nur die Werte 0, 1, 2, . . . , 10 annehmen.
(
)
b) Eine binomialverteilte Zufallsvariable kann als Anzahl der Erfolge in n unabhängigen (
Bernoulli-Versuchen mit konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit π aufgefasst werden.
)
c) Für die Anzahl X der Erfolge in n unabhängigen Bernoulli-Versuchen gilt immer 0 < (
X < n.
)
d) Die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Binomialverteilung mit den Parametern n und (
π = 0.5 ist symmetrisch.
)
e) Für große n und nicht zu kleine bzw. nicht zu große π ähnelt die Wahrscheinlichkeits- (
funktion der Binomialverteilung der Dichtefunktion einer Normalverteilung.
)
f) Die Dichtefunktion der in d) angesprochenen Normalverteilung hat die Parameter µ = (
σ 2 = nπ.
)
g) Der Erwartungswert der Binomialverteilung ist nπ, die Varianz ist n(1 − π).
(
)
h) Die Anzahl der Erfolge in n abhängigen oder unabhängigen Versuchen ist stets b(n, π) (
verteilt.
)
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[ 10 ] Hypergeometrische Verteilung
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a) Ist X ∼ h(20, 20, 10)-verteilt, so kann X nur die Werte 0, 1, 2, . . . , 10 annehmen.
(
)
b) Die hypergeometrische Verteilung hat drei Parameter Ne , Nm und n.
(
)
c) Eine hypergeometrische Zufallsvariable kann als Anzahl der Erfolge bei n Ziehungen (
ohne Zurücklegen aus einer Grundgesamtheit mit Ne Erfolgen und Nm Misserfolgen
aufgefasst werden.
)
d) Der Parameter n darf nicht größer als Ne + Nm sein.
(
)
e) Für eine hypergeometrisch verteilte Zufallsvariable gilt stets X < Ne .
(
)
f) Die hypergeometrische Verteilung h(Ne , Nm , n) kann unter gewissen Voraussetzungen (
durch eine Binomialverteilung mit den Parametern n und Nm /(Ne + Nm ) approximiert
werden.
)
g) Die hypergeometrische Verteilung hat wie die Binomialverteilung zwei Parameter.
(
)
h) Ziehe ich 4 Kugeln aus einer Urne mit 10 Kugeln, von denen drei rot sind, so ist die (
Anzahl der roten Kugeln hypergeometrisch verteilt mit den Parametern n = 4, Ne =
3, Nm = 7.
)
i) Ziehe ich 4 Kugeln aus einer Urne mit 10 Kugeln, von denen drei rot sind, kann die (
Anzahl der roten Kugeln in der Stichprobe nur die Werte 1, 2, 3 annehmen.
)
j) Ziehe ich 4 Kugeln aus einer Urne mit 10 Kugeln, von denen drei rot sind, ist der (
Parameter Nm = 1, da ich immer eine Kugel ziehen werde, die nicht rot ist, d.h. ich
habe immer einen Mißerfolg.
)
k) Es gibt keinen Zusammenhang zwischen der Binomialverteilung und der hypergeome- (
trischen Verteilung.
)
l) Statt der hypergeometrischen Verteilung kann stets auch die Binomialverteilung ver- (
wendet werden.
)
[ 11 ] Ziehen mit und ohne Zurücklegen
Eine Grundgesamtheit bestehe aus Ne Erfolgen und Nm Misserfolgen. Es werde n-mal aus dieser
Grundgesamtheit gezogen.
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a) Wird mit Zurücklegen gezogen, so ist die Anzahl der Erfolge exakt binomialverteilt mit (
den Parametern n und π = Nm /(Ne + Nm ).
)
b) Es werde mit Zurücklegen gezogen, es sei Ne = Nm und n sehr groß. Dann ist die (
Anzahl der Erfolge annähernd N (n/2, n/4)-verteilt.
)
c) Wird ohne Zurücklegen gezogen, so ist die Anzahl der Erfolge exakt hypergeometrisch (
verteilt.
)
d) Unabhängig von den Werten der Parameter Ne und Nm ist die hypergeometrische (
Verteilung immer gut durch eine Binomialverteilung zu approximieren, wenn nur n
groß genug ist.
)
e) Sind die Voraussetzungen für eine Approximation der hypergeometrischen Verteilung (
durch die Binomialverteilung erfüllt, so gilt π = Ne /(Ne + Nm ).
)
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[ 12 ] Poissonverteilung
Die folgenden Aussagen beziehen sich auf eine poissonverteilte Zufallsvariable mit dem Parameter
λ.
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a) Ist X ∼ Po(10)-verteilt, so kann X nur die Werte 0, 1, 2, . . . , 10 annehmen.
(
)
b) Für eine poissonverteilte Zufallsvariable gilt E(X) = Var(X).
(
)
c) Mit wachsendem Wert des Parameters λ wird die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Pois- (
sonverteilung breiter und flacher.
)
d) Die möglichen Werte einer poissonverteilten Zufallsvariable X sind 1, 2, 3 . . ..
(
)
e) P (0) = P (X = 0) = e−λ > 0 für alle λ > 0.
(
)
f) Für großes λ ähnelt die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Dichtefunktion einer Normal- (
verteilung.
)
g) Es gilt E(X) = λ und Var(X) = λ2 .
(
)
h) Die Poissonverteilung hat einen Parameter λ, wobei λ = 1/E(X) gilt.
(
)
i) Die Poissonverteilung ist symmetrisch um den Parameter λ.
(
)
j) Die Poissonverteilung kann für große λ durch eine Binomialverteilung approximiert (
werden.
)