statistik_23_05_05

STATISIK
LV Nr.: 0028
SS 2005
23. Mai 2005
1
Zufallsvariable
• Zufallsvariable: Variable deren Wert vom
Zufall abhängt (z.B. X, Y, Z)
– Bsp. Zufallsexperiment: 2-maliges Werfen einer
Münze. Frage: Wie oft erscheint „Zahl“?
Mögliche Werte: 0, 1, 2. Variable „Anzahl
Zahl“ hängt vom Zufall ab – Zufallsvariable.
• Realisation (Ausprägung): Wert, den eine
Zufallsvariable X annimmt (z.B. x, y, z).
– Bsp. 2-maliges Werfen einer Münze, ZV X
„Anzahl Zahl“, Ausprägungen: x1=0, x2=1,
x3=2.
2
Zufallsvariable
• Zufallsvariable: Funktion, die jedem
Elementarereignis eine bestimmt reelle Zahl
zuordnet, z.B. X(ej)=xi
• Definitionsbereich einer ZV: Ereignisraum
S des zugrundeliegenden
Zufallsexperiments.
• Wertebereich einer ZV: Menge der reellen
Zahlen.
3
Zufallsvariable
• Diskrete Zufallsvariable: ZV mit endlich
vielen oder abzählbar unendlich vielen
Ausprägungen
• Stetige Zufallsvariable: können (zumindest
in einem bestimmten Bereich der reellen
Zahlen) jeden beliebigen Zahlenwert
annehmen.
4
Wahrscheinlichkeit
• Diskrete Zufallsvariable:
• Wahrscheinlichkeit, mit der eine diskrete
ZV X eine spezielle Ausprägung xi
annimmt, W(X=xi): Summe der
Wahrscheinlichkeiten derjenigen
Elementarereignisse ej, denen Ausprägung
xi zugeordnet ist:
W(X  x i ) 
 W(e )
X(e j )  x i
j
5
Wahrscheinlichkeitsfunktion
• Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten
ZV: Funktion f(xi), die für jede Ausprägung
der ZV (unterschiedliche Ausprägungen xi
einer ZV X) die Wahrscheinlichkeit ihres
Auftretens angibt: f(xi) = W(X=xi)
• Eigenschaften:
– f(xi) ≥ 0
– Σi f(xi) = 1
i=1,2,…
6
Verteilungsfunktion
• Verteilungsfunktion einer diskreten ZV:
Funktion F(x), die die Wahrscheinlichkeit
dafür angibt, dass die ZV X höchstens den
Wert x annimmt. F(x) = W(X ≤ x)
• Es gilt:
F(x)  W(X  x)   f(x i )
xi x
• Treppenfunktion
7
Verteilungsfunktion
• Verteilungsfunktion einer stetigen ZV (kann
in einem bestimmten Intervall jeden
beliebigen Wert annehmen): Funktion F(x),
die die Wahrscheinlichkeit dafür angibt,
dass die ZV X höchstens den Wert x
annimmt. F(x) = W(X ≤ x)
• Stetige Funktion
8
Verteilungsfunktion
• Eigenschaften einer stetigen Vt-Funktion:
1. 0 ≤ F(x) ≤ 1
2. F(x) ist monoton wachsend (d.h. für x1 < x2
gilt F(x1) ≤ F(x2)
3. lim x→-∞ F(x) = 0
4. lim x→∞ F(x) = 1
5. F(x) ist überall stetig
9
Wahrscheinlichkeitsdichte
• Wahrscheinlichkeitsdichte (Dichtefunktion)
f(x) einer stetigen ZV: Ableitung der
Verteilungsfunktion.
• Es gilt:
F´(x)  f(x)
x
F(x)   f(v)dv

10
Wahrscheinlichkeitsdichte
• Eigenschaften:
1. f(x) ≥ 0

2.  f(x)dx  1

b
3. W(a  X  b)   f(x)dx
a
4. W(X=x) = 0
5. W(a ≤ X ≤ b) = W(a < X < b)
6. W(X ≤ a) = F(a)
W(a ≤ X ≤ b) = F(b) – F(a)
W(X ≤ b) = F(b)
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Parameter
• Charakterisierung der Wahrscheinlichkeitsverteilung von Zufallsvariablen durch
Parameter (Maßzahlen)
• Erwartungswert E(X) = Lageparameter
(Entspricht dem arithm. Mittel)
• Varianz Var(X) = Streuungsparameter
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Erwartungswert
• Diskrete ZV:
E(X)   x i W(X  x i )  x i f(x i )
i
i
• Stetige ZV:

E(X) 
 x  f(x)dx

13
Varianz
• Diskrete ZV:
Var(X)   x i  E(X)  f(x i )
2
i
• Stetige ZV:

Var(X) 
 x  E(X)  f(x)dx
2

• Standardabweichung: σ X 
Var(X)
14
Standardisierung
• Lineare Transformation: Y = a + bX
• Spezialfall Standardisierung:
a = – E(X) / σX
b = 1 / σX
• Standardisierte Variable Z:
X  E(X)
Z
σX
• Es gilt: E(Z) = 0 und Var(Z) = 1
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Theoretische Verteilungen
• Bedeutung von theoretische Verteilungen
• Deskriptive Statistik:
– Approximative funktionsmäßige Beschreibung
empirisch beobachteter Häufigkeitsverteilungen
• Mathematische Statistik:
– Wahrscheinlichkeiten für Ergebnisse
bestimmter Zufallsexperimente
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Kombinatorik
• Wie kann eine gegebene Anzahl von
Elementen unterschiedlich angeordnet und
zu Gruppen zusammengefasst werden?
• Wie viele Möglichkeiten gibt es, n Elemente
anzuordnen? Anzahl der möglichen
Permutationen?
• Wie viele Möglichkeiten gibt es, von n
Elementen k auszuwählen? Anzahl der
möglichen Kombinationen?
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Kombinatorik
• Permutationen:
• n voneinander verschiedene Elemente:
n! = n·(n-1)·(n-2)·…·1 Permutationen
• Bsp.1: n=3, Elemente e1, e2, e3. Anzahl der
möglichen Permutationen: 3! = 3·2·1 = 6
(e1, e2, e3) (e1, e3, e2) (e2, e1, e3) (e2, e3, e1)
(e3, e1, e2) (e3, e2, e1)
• Bsp.2: n=10, Anzahl der möglichen
Permutationen: 10! = 3 628 800
18
Kombinatorik
• n Elemente, wobei ni Elemente vom Typ i
sind (r unterschiedliche Typen):
n!
n1!...  n r !
• Bsp.1: n=10, r=3 und n1=3, n2=5, n3=2,
Anzahl der möglichen Permutationen:
10!
3628800

 2520
3!5!2! 6 120  2
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Kombinatorik
• Kombinationen:
• Aus n verschiedene Elemente sollen k Stück
gewählt werden
– Kombination ohne Wiederholung: jedes
Element kann nur einmal gewählt werden
• Berücksichtigung der Reihenfolge:
n!
Anzahl der Möglichkeiten:
(n  k)!
• Keine Berücksichtigung der Reihenfolge:
Anzahl der Möglichkeiten:  n 
n!
  
 k  k!(n  k)!
20
Kombinatorik
• Kombinationen ohne Wiederholung:
• n=3, k=2, Elemente e1, e2, e3.
– Berücksichtigung der Reihenfolge:
Möglichkeiten: (e1, e2) (e2, e1) (e1, e3) (e3, e1)
(e2, e3) (e3, e2), also 3!/(3-2)! = 6 Möglichkeiten
– Keine Berücksichtigung der Reihenfolge:
Möglichkeiten: (e1, e2), (e1, e3) (e2, e3), also
3!/(2!(3-2)!) = 3 Möglichkeiten
21
Kombinatorik
• Kombinationen ohne Wiederholung:
• Bsp.1: Lotto, Möglichkeiten aus 49 Zahlen
6 zu wählen (Reihenfolge unberücksichtigt)
 49 
   13 983 816
6
• Bsp.2: Pferderennen, sind 8 Pferde am Start,
gibt es für die Belegung der ersten 3 Plätze
8!/(8-3)! = 336 Möglichkeiten
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Kombinatorik
• Aus n verschiedene Elemente sollen k Stück
gewählt werden
– Kombination mit Wiederholung: ein Element
kann auch mehrfach ausgewählt werden.
• Berücksichtigung der Reihenfolge
Anzahl der Möglichkeiten: nk
• Keine Berücksichtigung der Reihenfolge
Anzahl der Möglichkeiten:
 n  k  1 (n  k  1)!

 
 k  k!(n  1)!
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Kombinatorik
• Kombination mit Wiederholung:
• n=3, k=2, Elemente e1, e2, e3.
– Berücksichtigung der Reihenfolge,
Möglichkeiten: (e1, e1), (e1, e2), (e1, e3), (e2, e2),
(e2, e1), (e2, e3), (e3, e3), (e3, e1), (e3, e2), Anzahl
der Möglichkeiten: nk = 3² = 9
– Keine Berücksichtigung der Reihenfolge,
Möglichkeiten: (e1, e1), (e1, e2), (e1, e3), (e2, e2),
(e2, e3), (e3, e3), Anzahl der Möglichkeiten:
(3+2-1)! / (2!·(3-1)!) = 4! / (2!·2!) = 6
24
Kombinatorik
• Kombinationen mit Wiederholung:
• Bsp.1: Würfelt man viermal hintereinander,
sind 64 = Abläufe möglich
• Bsp.2: Hat man vier verschiedene Sorten
Süßigkeiten, gibt es 286 Möglichkeiten eine
Tüte mit 10 Süßigkeiten zu füllen.
 4  10  1

  286
 10 
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Theoretische Verteilungen
• Diskrete Verteilungen
–
–
–
–
Binomialverteilung
Hypergeometrische Verteilung
Poissonverteilung
...
• Stetige Verteilungen
–
–
–
–
–
–
–
Gleichverteilung
Exponentialverteilung
Normalverteilung
Chi-Quadrat Verteilung
t-Verteilung (Studentverteilung)
F-Verteilung
...
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Binomialverteilung
• Wahrscheinlichkeiten für die Häufigkeit des
Eintreffens bestimmter Ereignisse bei
Bernoulli-Experimenten berechnen.
• Bernoulli-Experiment: Folge von BernoulliVersuchen. Urnenmodell mit Zurücklegen
– Es gibt nur 2 mögliche Ausgänge: A und Ā
– Wahrscheinlichkeiten für Eintreten von A (θ)
und Ā (1- θ) sind konstant
– Versuche sind voneinander unabhängig.
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Binomialverteilung
• Bsp. Bernoulli-Experiment:
– fünfmaliges Werfen einer Münze,
Zufallsvariable X „Anzahl der Zahlen“,
Realisation x = 0, 1, 2, 3, 4, 5
– Wahrscheinlichkeiten für Eintreten von A:
W(X=x) = f(x) = ?
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Binomialverteilung
• Wahrscheinlichkeit des Auftretens einer
bestimmten Realisation x: W(X=x) = f(x)
• Wahrscheinlichkeitsfunktion der
Binomialverteilung:
 n  x
 θ (1  θ) n  x
f B (x; n, θ)   x 
für x  0,1,..., n
 0
sonst

29
Binomialverteilung
• Bsp. Münzwurf (n=5), Wahrscheinlichkeit
dass genau 2-mal Zahl geworfen wird:
W(X=2)
 5 2
f B (2;5,0.5)   0,5 (1  0,5)52  0,3125
 2
30
Binomialverteilung
• Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable
X höchstens den Wert x annimmt:
Verteilungsfunktion FB(x;n,θ)
n x
n -x
FB (x; n, θ)    θ (1  θ)
i 0  x 
x
31
Binomialverteilung
• Bsp. Münzwurf (n=5), Wahrscheinlichkeit
dass höchstens 2-mal Zahl geworfen wird:
W(X  2)
 5 2
FB (2;5,0.5)    0,5 (1  0,5)5-2  0,5
i 0  2 
2
32
Binomialverteilung
• Erwartungswert der Binomialverteilung:
E(X) = n·θ
• Varianz der Binomialverteilung:
Var(X) = n·θ·(1-θ)
• Bsp. Münzwurf:
– E(X) = 5·0,5 = 2,5
– Var(X) = 5·0,5·(1-0,5) = 1,25
33
Hypergeometrische Verteilung
• Urnenmodell Ziehen ohne Zurücklegen:
– Urne mit N Kugeln (M schwarze, N-M weißen)
– Zufallsstichprobe: ziehe n Kugeln ohne
Zurücklegen
– Wahrscheinlichkeit, dass unter den n gezogenen
Kugeln genau x schwarze zu finden sind?
• Ziehen ohne Zurücklegen, keine
Berücksichtigung der Reihenfolge.
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Hypergeometrische Verteilung
• Urnenmodell:
– Aus M schwarzen Kugeln genau x auswählen: Anzahl
der Kombinationen  Mx 
 
– Aus N-M weißen Kugeln genau n-x auswählen: Anzahl
 N-M 
der Kombinationen  n-x 
– Jede mögl. Stpr. „x schwarze aus M“ kann mit jeder
mögl. Stpr. „n-x weiße aus N-M“ kombiniert werden.
– Daher: Gesamtzahl der Möglichkeiten genau x
N-M 
schwarze zu ziehen:  Mx 


  n-x 
– Gesamtzahl der Möglichkeiten aus N Kugeln n zu
ziehen:  Nn 
 
35
Hypergeometrische Verteilung
• Wahrscheinlichkeit genau n schwarz Kugeln
 M   N-M 
 

zu ziehen:
 x   n-x 
 N
 
n
• Wahrscheinlichkeitsfunktion der
Hypergeometrischen Verteilung:
  M  N-M 
  

x
n-x

  
f H (x;N,n,M)= 
für x=0,1,...,n
 N
 

n

 0
sonst
36
Hypergeometrische Verteilung
• Verteilungsfunktion: Summation der
Einzelwahrscheinlichkeiten
• Liefert Wahrscheinlichkeit für „höchstens x
schwarze Kugeln“
37
Hypergeometrische Verteilung
• Bsp. Sortiment von N=8 Dioden, es werden
n=3 zufällig gezogen (ohne Zurücklegen),
M=5 der Dioden sind defekt.
• Ges: Wahrscheinlichkeit, dass genau 2 (=x)
der 3 gezogenen Dioden defekt sind.
 M  N-M   5  8-5 
 
   
x
n-x
2  3-2  10  3




P(X=x)=
=
=
=0,5357
56
 N
 8
 
 
n
 
 3
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Hypergeometrische Verteilung
• Erwartungswert:
E(X) = n · M/N
• Varianz
Var(X) = n · M/N · (N-M)/N · (N-n)/(n-1)
• Approximation durch Binomialverteilung:
– Wenn N, M, N-M groß und n klein, Parameter
der Binomialverteilung: θ = M/N
– Faustregel: Approximation, wenn n/N < 0,05
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