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Research Collection
Doctoral Thesis
Wahrscheinlichkeitstheoretische Modelle in der
Schadenversicherung
Author(s):
Kupper, Josef
Publication Date:
1962
Permanent Link:
https://doi.org/10.3929/ethz-a-000087590
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Prom. Nr. 3178
Wahrscheintichkeitstheoretische Modelle
in der
Schadenversicherung
Von der
EIDGENÖSSISCHEN TECHNISCHEN
HOCHSCHULE IN ZÜRICH
zur
Erlangung
der Würde eines Doktors der
Mathematik
genehmigte
PROMOTIONSARBEIT
Vorgelegt
JOSEF
dipl.
von
von
KUPPER
Math. ETH
Luzern und Buttisholz
(LU)
Referent: Herr Prof. Dr. W. Saxer
Korreferent : Herr Prof. Dr. H.
Gedruckt 1962 in
Würzburg
Wyss
bei Konrad Triltsch
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Wahrscheinlichkeitstheoretische Modelle
in der
Schadenversicherung
Schadenversicherung kann von zwei verschiedenen Warten aus betrachtet werden.
Die
Der eine, ältere Gesichtspunkt gründet auf dem Risiko des einzelnen Versicherten
und ist unter dem Namen individuelle Risikotheorie bekannt. Seit F. Lundberg [50] *)
hat die kollektive
Betrachtungsweise
immer mehr Einfluß auf die
Versicherungs¬
Gegenstand (Arfwedson, Cramer, Philipson, Segerdahl; Ammeter, Saxen, Campagne u.a.) hervorgeht.
theorie gewonnen,
Diese
befaßt
was
sich
den zahlreichen Arbeiten über diesen
aus
nicht
mehr
mit
dem Risiko
sondern untersucht das Verhalten einer versicherten
duelle Theorie
geht beispielsweise
eines
einzelnen
Gruppe
Individuums,
als Ganzes. Die indivi¬
davon aus, ein wahrscheinlichkeitstheoretisches
Modell herzuleiten, das darüber Auskunft erteilt, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein
Versicherter in einer gewissen Zeitspanne r Schäden erleide; die kollektive Schau
hingegen bemüht sich vorerst darum, dasselbe für einen ganzen Versicherungsbestand
zu erfahren, ungeachtet dessen, was mit den individuellen Versicherungen in dieser
Zeit geschieht. Da die beiden Anschauungen in ihrem methodischen Aufbau weit¬
reichende Analogien aufweisen, soll in dieser Arbeit nicht starr an einem Gesichts¬
punkt festgehalten werden, sondern je nach den besonderen Absichten sei der eine
Vordergrund gerückt.
wir denken, wenn von Schadenversicherung die
Schadenversicherung
basiert
hauptsächlich an den wichtigen Zweig der Unfallversicherung
oder andere mehr in den
Die
—
—
stochastischen
Rede
ist,
auf zwei
Größen, der Schadenzahl und der Schadenhöhe. Hierin tritt bereits ein
zur Lebensversicherung zutage, wo letztere in den weitaus
fundamentaler Unterschied
meisten Fällen eine
zum voraus
der beiden Variablen ist die
festgelegte,
feste Zahl darstellt. Die interessantere
Schadenzahl; ihre Verteilung wird im umfangreichen
zum vornherein auf die Verteilung
also nicht auf Fragen der zwei¬
gehen
Zeitspanne (Zeiteinheit),
dimensionalen Behandlung (= zwei Zeitperioden, siehe z.B. [9], [13]) ein.
Ausgangspunkt der Betrachtung bildet das klassische Modell des reinen Zufalls (§1),
das unter sehr einschränkenden Bedingungen über den zu Grunde liegenden Prozeß
Kapitel
I diskutiert. Wir beschränken
uns
dabei
in einer bestimmten
erhalten wird. Insbesondere ist, worauf bereits Greenwood und Yule in ihrer bahn¬
brechenden Arbeit [38] hingewiesen haben, Homogenität des Bestandes und Unab¬
hängigkeit der Ereignisse Voraussetzung.
Die Aufhebung des ersten Grundsatzes kommt als Gegenstand von § 2 zur Sprache.
Seit Greenwoodj Yule [38] und NewboM [53, 54] wird für die dabei auftretende Struk¬
turfunktion (Verteilungsfunktion der verschiedenen Schadenanfälligkeit) fast aus¬
schließlich eine Gamma-Verteüung verwendet. Greenwoods eigene Begründung [36]
„Our only justification of the particular choice of f (A) was that it ranged from
0 and led to a statistically useful form" sowie die Erklärung von Bates und
A
Neyman [13] „is justified both by its flexibility as an interpolation formula and by
the tradition established by Greenwood, Yule and Newbold" sind nicht so überzeugend,
=
um
nicht auch Raum für Versuche mit anderen Strukturfunktionen durchzuführen.
Als
wichtiges
Hilfsmittel erweisen sich hierbei die konfluenten
hypergeometrischen
Möglichkeit der Binomialverteilung als Grund¬
ergebenden Erweiterungen einer kurzen Analyse
Funktionen. Schließlich wird auch die
verteilung
samt den daraus sich
unterzogen.
:)
Zahlen in
[ ]
beziehen sich auf das Literaturverzeichnis
am
Schluß der Arbeit.
3
Das Gebot der
Unabhängigkeit
der
Ereignisse
kann nach zwei
Richtungen
hin
gelockert
werden. Das Kollektivschadenmodell (§3) nimmt an, daß ein Ereignis
Ursache mehrerer Schäden sein könne. Es werden zwei allgemeine Darstellungen für
das Kumulrisiko und verschiedene instruktive Beispiele gegeben. § 4 ist dem An¬
steckungsmodell gewidmet, dem die Voraussetzung zu Grunde liegt, daß das Ein¬
treffen (bzw. Nichteintreffen) eines Schadenereignisses den weiteren Schadenverlauf
maßgeblich beeinflußt. Wir gehen von einem ganz allgemeinen Schema aus, das jedoch
in Spezialfällen bekannte Modelle (Eggenberger/Polya [26,27], Rutherford [63]) ent¬
hält.
Paragraphen sind schließlich einige gemischte Modelle (Über¬
lagerung der zuvor besprochenen Eigenschaften) diskutiert.
Kapitel II befaßt sich mit der Verteilung der Schadenhöhe. Verschiedene Anregungen
zur Behandlung dieser Frage werden unterbreitet und an Hand zahlreicher Beispiele
In einem letzten
beleuchtet.
Endlich hat
zum
Kapitel
III die
Zusammenfassung
Totalschaden als Thema. Dabei wird
stischen Grundvariablen
an
der
von
Schadenzahl und Schadenhöhe
Unabhängigkeit der
beiden stocha-
festgehalten. Während in § 1 die übliche Methode zur Dar¬
stellung gelangt, erläutern die folgenden Paragraphen einen etwas anderen Aspekt
des Problems. An die Stelle der Schadenzahl tritt die Schadenhäufigkeit als Grundvariable. Da diese ihrer Definition nach besser durch eine stetige Verteilung wieder¬
gegeben wird (Normalverteilung!), erhebt sich die Frage einer Anpassung des Total¬
schadenmodells. Zwei Lösungswege werden vorgeschlagen, die Einführung der steti¬
gen Faltung (§ 3) und die Zuhilfenahme der Produktverteilung (§4).
Zwecks Klarlegung der Begriffe und Bezeichnungsweisen sowie im Interesse einer
flüssigen Arbeitsweise sind in einem Anhang die wichtigsten, überall in die Rechnung
eingehenden Funktionen und Verteilungen mit ihren Eigenschaften im Sinne einer
protokollarischen Übersicht aufgezeichnet.
4
INHALTSVERZEICHNIS
Kapitel
I.
Die
der Schadenzahl
Verteilung
1.1 Das Modell der reinen Zufalls Verteilung
1.2 Das Modell des
1.2.1
heterogenen Bestandes
Allgemeine Theorie
Poisson-Verteilung
1.2.2 Die
Grundverteilung
als
1.2.3 Verschiedene Strukturfunktionen
1.2.4 Die
Binomialverteilung
1.3 Modelle für
als
Grundverteilung
abhängige Ereignisse
I: Kollektivschäden
allgemeines Kollektivschadenmodell
Verschiedene Beispiele
Das verallgemeinerte Bernoulli-Schema für Kollektivschäden
1.3.1 Ein
1.3.2
1.3.3
Modelle für
abhängige Ereignisse
II:
Ansteckung
allgemeines Ansteckungsmodell
Die schematische Ansteckung
Das Modell von P61ya/Eggenberger
Das Modell von Woodbury/Rutherford
Ein pessimistisches Modell
1.4.1 Ein
1.4.2
1.4.3
1.4.4
1.4.5
Pölya/Eggenberger-Modell
1.4.6 Das inverse
Gemischte Modelle
1.5.1 Gemischte
Heterogenität
1.5.2 Gemischte Kollektivität
1.5.3 Gemischte
Kapitel
II. Die
Ansteckung
Verteilung
der Schadenhöhe
2.1
Allgemeine Betrachtungen
2.2
Beispiele
2.2.1 Feste Risikosummen
2.2.2
2.2.3
Kapitel
Beispiele
Beispiele
HI. Die
3.1 Das
zum
für
Verteilung
üblichen Verfahren
begrenzte
Schadenhöhen
des Totalschadens
gewöhnliche Faltungsmodell
3.1.1
Allgemeine Theorie
wichtigsten Beispiele
3.1.2 Die
3.2 Die
Schadenfallhäufigkeit
3.3 Das Modell der
stetigen Faltung
3.3.1 Unbeschränkt teilbare
Verteilungsgesetze
3.3.2 Das Totalschadenmodell
3.3.3
Beispiele
3.4 Das Produktmodell
3.4.2
Verteilung des Produkts zweier stochastischer Variablen
Anwendung zur Darstellung des Totalschadens
3.4.3
Beispiele
3.4.1 Die
Anhang
Literaturverzeichnis
5
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Kapitel
Die
Verteilung
I
der Schadenzahl
Problem, womit sich dieses Kapitel beschäftigt, ist bereits in der Einleitung unter
möglichen Aspekten (individuell und kollektiv) beschrieben worden. Es
handelt sich darum, die Wahrscheinlichkeit dafür anzugeben, daß sich in der be¬
trachteten Zeitspanne (Zeiteinheit, Jahr) für einen einzelnen Versicherten bzw. für den
gegebenen Versicherungsbestand r Schäden (Unfälle) einstellen. Im folgenden gehen
Das
den beiden
wir mehrheitlich
bei
Gelegenheit
der individuellen
von
Betrachtungsweise
Standpunkt.
1.1 Das Modell der reinen
Ausgang
aus, verweisen
jedoch stets
auch auf den kollektiven
Zufallsverteilung
Betrachtungen bildet das klassische Urnenschema von Bernoulli.
Eine Urne enthalte je eine bestimmte Anzahl weißer und schwarzer Kugeln. Aus ihr
werden n Züge vorgenommen, wobei nach jedem Zug die eben gezogene Kugel wieder
zurückgelegt wird. Bezeichne p die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen des „schwar¬
zen Ereignisses", q die Gegenwahrscheinlichkeit, dann ist allgemein bekannt, daß die
Wahrscheinlichkeit für r derartige Ereignisse (Schadenfälle) in n Versuchen durch die
Verteilung (30) *)
unserer
Pr=(;)prqn-r
wiedergegeben wird.
Es liegt in der Natur der Begebenheiten,
Parameters
daß ein kontinuierliches Ziehen
n) den wirklichen Sachverhalt besser ausdrücken würde.
(an Stelle des
Des weiteren
hat sich herausgestellt, daß eine Seltenheitsannahme für die Schadenereignisse den
praktischen Erfahrungen zumeist gut entspricht. Der entsprechende Grenzübergang
n -> oo, p -> o, wobei np
X konstant gehalten wird, führt zur Poisson-Verteilung
(P-Verteilung) (33)
=
PPr-ee-*
Ar
-
die seit dem
Beginn
solcher
—,
Untersuchungen
in der Theorie eine
tragende
Rolle
spielt.
Statt die P-Verteilung auf diese Weise als Approximation der Binomialverteilung zu
interpretieren, läßt sich das Wesen des kontinuierlichen Zuges wohl noch einleuchten¬
der mit Hilfe des der P-Verteilung zu Grunde Hegenden stochastischen Prozesses
erläutern. Die Voraussetzungen
a)
Intervall [t, t -\- At] sei die Wahrscheinlichkeit dafür,
ereignis genau einmal eintritt, von der Form X At + o(zlt);
im
b) daselbst betrage
daß das Schaden¬
die Wahrscheinlichkeit für mehr als einen Unfall
führen bekanntlich auf das
o
(At) ;
Differenzen-Differentialgleichungssystem
p;(t)
=
-A[p,(t)-p^-i(t)]
P£(t)
=
-
(ii)
APo(t)
*) Formeln aus den einzelnen Kapiteln sind durch vorangestellte römische Ziffern I, II oder m
gekennzeichnet. Fehlt diese, wie z.B. hier, soll damit auf die entsprechende Formel im Anhang
hingewiesen
werden.
7
bzw. auf die
partielle Differentialgleichung
i^L
woraus
für die
Verteilung
in
=
A(z-l)E(z,t),
[0,1]
aus
E(z,o)
=
l,
(34) sofort (33) folgt.
Unter welchen Umständen kann dieses Modell
Anwendung gelangen
zur
?
bemerken, daß bei der Herleitung die mittlere Schadenintensität
X (bzw. das p im Binomialansatz) als zeitunabhängig vorausgesetzt wurde. Diese
Als erstes ist
zu
Einschränkung. Setzt man in (II) statt des kon¬
A(t) ein, so erscheint in der P-Verteilung als einziger
Annahme bildet keine wesentliche
stanten A eine Funktion der Zeit
Unterschied ein Parameter
A*
=
/A(T)dT,
o
also ein
gemittelter
Wert über die betrachtete
Einheitszeitspanne.
Daraus
geht
hervor, daß systematische zeitliche Veränderungen keinen wesentlichen Einfluß auf
die Hypothese ausüben (andererseits vergleiche man auch 1. 4. 2).
Zwei Annahmen sind
(A)
jedoch
von
grundlegender Bedeutung:
Der betrachtete Risikoverband ist
zu
Beginn
der
Untersuchung vollständig
jedes Individuum besitzt genau die gleiche Anfälligkeit (gleiche
gleiche persönliche Eigenschaften), einen Unfall zu erleiden.
d.h.
homogen,
Umgebung,
(B)
Ein
eingetretener Unfall beeinflußt die Wahrscheinlichkeit für weitere Unfälle
geringsten, d.h. die Schadenereignisse sind stochastisch unabhängig.
nicht im
Schadenereignisse treten so unabhängig von Person und Vorgeschichte rein
zufällig auf („uncomplicated chance distribution" nach Greenwood/Yule in [38]), die
Versicherungsgemeinschaft ist und bleibt homogen.
Umgekehrt muß man etwelche Vorsicht walten lassen, wenn man von einer nähe¬
rungsweise P-verteilten Stichprobe auf eine immer homogene Grundgesamtheit
schließen will. Neben der Sorgfalt, mit der das Angleichungskriterium behandelt
werden muß, ist es nämlich nicht notwendig, daß eine P-verteilte Gesamtheit die
obige Homogenitätshypothese zur Grundlage hat. Andere Hypothesen können sie
ebenfalls als Modell erzeugen [47]. Im allgemeinen nimmt man bei guter Annäherung
durch eine P-Verteilung die Homogenitätsbedingung als eine plausible Erklärung an.
In § 2 dieses Kapitels werden wir uns eingehend mit der Vernachlässigung von
Annahme (A) beschäftigen, in § 3 und § 4 wird die Mißachtung von (B) zur Diskussion
stehen. Schließlich hat § 5 einige gemischte Modelle zum Thema.
Die
1.2 Das Modell des
1.2.1
Allgemeine
heterogenen Bestandes
Theorie
In der Praxis wird die
Homogenitätsbedingung (A) kaum je erfüllt sein.
daß alle Individuen dieselbe mittlere Unfallzahl
Die Annahme,
besitzen, idealisiert die tatsächlichen
liegen sie viel komplizierter, und mannigfache
Unfallanfälligkeit eines Individuums einwirken. Um dieser
Tatsache Rechnungzu tragen, kann man so vorgehen, daß man den gegebenen Bestandin
Untergruppen, sog. Gefahrenklassen, aufteilt, innerhalb deren gleiche Anfälligkeit
(also Homogenität) herrschen soll.
Verhältnisse allzusehr. In Wirklichkeit
Einflüsse können auf die
8
Seien die Klassen Ki, K2
Km gebildet und werde die Verteilung in Kj für den
dann wird die Schadenverteilung im Gesamtbestand
bezeichnet,
Pr(0j)
(d. h. die Wahrscheinlichkeit, daß ein beliebiges Individuum in der betrachteten
Zeitspanne r Schäden erleidet) lauten
...
Moment mit
m
Wr
=
Gruppe Kj,
gehören, definiert.
wobei p] den Anteil der
zu
Kj
zu
Pr(Aj)
e-*J
m
£pjPr(0j),
(12)
1,
-^- ergib* sich
Pr(0j)
Die
doppelte P-Verteilung (2 Klassen)
=
=
d.h. die Wahrscheinlichkeit eines Individuums
Für
=
Zpj
Wr
=
Pie-^A + p2e-^4
von Lundberg [51] einer näheren Untersuchung unterzogen.
Unterteilung in eine endliche Zahl von Untergruppen befriedigt nicht ganz. Man
wird die Aufspaltung nach den wichtigsten Unterscheidungsgründen vornehmen, doch
kann auf diese Weise nie eine vollständige Homogenisierung erreicht werden, da sich
stets Effekte finden lassen, die unberücksichtigt blieben. Um diesen Übelstand zu
beheben, geht man einen Schritt weiter, indem man annimmt, der Parameter 0
variiere stetig innerhalb des Bestandes gemäß einer wohldefinierten Verteilungs¬
funktion (Vf) S (9). Diese muß notwendigerweise unilateral sein, sonst wird über sie
nichts vorausgesetzt. Bezeichne s (6) die Dichte, B8 den Existenzbereich dieser Vf,
so lautet die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung
wurde
Die
Wr
=
/Pr(0)s(0)d0
Bfl
oder in
allgemeinerer,
auch
(12) enthaltender Darstellung
Wr
=
/Pr(0)dS(0)
(13)
B9
S(0)
wird
Strukturfunktion, Pr(0) Grundverteilung genannt.
Verteilung {Wr} sind *)
Die Momente der
wak
=
/pak(0)dS(0)
mit
rak(0)
=
B9
und dieselbe Formel
(14)
r
für die faktoriellen Momente
gilt
]Tr*Pr(0),
(nicht aber
für die Zentral¬
momente!).
Erzeugende Funktion (eF):
Ew(z)
=
J"EP(z,0)dS(0)
B0
mit
EP(z,0)
=
2zrPr(0)
(15)
r
*) Es wurde die im allgemeinen übliche Bezeichnungsweise verwendet, genaue Auskunft hierüber
vermittelt der Anhang. Die Indizes W, P, S nehmen Bezug auf die entsprechende Vf.
9
Wenn die
Grundverteilung
den Mittelwert fip hatte, wird oft verlangt, daß die neue
Forderung liefert eine Beziehung zwischen
sich darin nicht ändere. Diese
Verteilung
den Parametern der Strukturfunktion
pp=/M0)dS(0)
(16)
Statt den Parameter 6 der
zu
einem
neuen
0q
Grundverteilung zu variieren, kann man auch von diesem
übergehen, 0 konstant lassen und q als stochastische Variable auf¬
fassen. Der Effekt ist im Grunde
geführt
derselbe,
wie
an
Hand
von
1. 2. 2 noch näher
aus¬
wird.
In der kollektiven Risikotheorie ist dasselbe
Vorgehen üblich. Man argumentiert dort,
Versicherungsbestandes keine feste Konstante sein
bestimmten Bereich schwanke. Das führt zu (13) als Ver¬
daß die mittlere Unfallzahl eines
könne, sondern
teilung
in einem
der Anzahl Schäden des ganzen Bestandes [3,
1.2.2 Die
Poisson-Verteilung
Setzt
in
man
(13)
für
Pr(ö)
Grundverteilung
als
die
4],
P-Verteilung ein,
so
nimmt
Wr die Gestalt
W^JV'-^dSa)
(17)
B;i
an, eine Klasse
von
Verteilungen, die
teilungen" bekannt ist [44, 51].
Formel (14) für die faktoriellen
Beziehung
unter dem Namen
Momente liefert mit Hilfe
W«[t]
zwischen den Momenten der
„Zusammengesetzte
neuen
und der
=
von
(35)
die
P-Ver¬
wichtige
(18)
S«k
Strukturverteilung. Insbesondere
ist nach
(I 8) und (24)
Die
i"W
=
ffw
=
j"S
«i
(19)
+ /*b > f*w
Wi"3
=
S/«3 + 3 CTg + flS
Vffl4
=
sfli +
zugehörige
eF wird mit
Ew(z)
=
6sy"3 + ffi(6/*S + 7) + 3^1 +
(15)
und
/e«-»dS(A)
flS
(34)
=
<ps
[(z-l)/i],
(110)
BA
während in
Übereinstimmung
Mw[z]
=
mit
/ e*zdS (A)
(I 8)
=
Ms(z)
Ba
gut.
Wie in 1. 2.1
Zq
ausgeführt,
kann
man
Wr
10
auch X fest halten und statt dessen die Größe q in
(17) erhält man so
stochastisch variieren lassen. Statt
r
=
,
(*q)r
/e-^17r-dS(q)
Da in diesem Fall /iW
turfunktion
=
/j,sX ist, sagt Bedingung (I 6)
über den Mittelwert der Struk¬
aus:
^s
=
/qdS(q)
=
l
B,
gelingt es, den Parameter der Grundverteilung auch in der neuen
Verteilung zu benutzen, wo er wieder den Mittelwert interpretiert.
Die Hauptfrage, welche sich nun stellt, ist die Wahl der Strukturfunktion S (A). Diese
ist unbekannt und kann auch nicht aus empirischen Daten gewonnen werden, da ja
nur die Schadenzahlen (nicht aber die Anfälligkeit) der einzelnen Individuen meßbar
sind. Nur wenn man weiß, daß die in 1.2 formulierte Hypothese richtig ist, liefert die
empirische Wahrscheinhchkeitsverteilung {Wr} Informationen über die Struktur¬
funktion. Die Willkür wird durch den in der Einleitung zitierten Ausspruch Green¬
Auf diese Weise
woods unterstrichen.
Plausibel scheint die
Annahme, für
s
(A)
eine unimodale Funktion
wird der Einfachheit halber meist als Existenzintervall 0 < A <
doch ist
°o
wählen. Weiter
vorausgesetzt;
Schwankungsbereich bessere Resul¬
tate ergeben kann. Nach oben wird in praktischen Fällen die Schwankung sicher
beschränkt sein, allerdings dürfte dem auch eine rasch abfallende Verteilungsdichte
(Vd) gerecht werden. Anderseits kann es auch vorkommen, daß A eine gewisse untere
es
Schranke
möglich,
zu
sehr wohl
Ao
zum
daß ein endlicher
vornherein nicht unterschreiten kann, daß
man
also weiß oder
zu
glaubt, die mittlere Unfallzahl müsse mindestens Ao betragen. Es ist daher
nicht abwegig, als Strukturfunktionen auch solche Vf zuzulassen, die nur für A > A<> > o
wissen
definiert sind.
folgenden Abschnitt werden verschiedene
geprüft. Für einen anderen Weg, das Problem
Im
unimodale Vd auf ihre
an
die Hand
zu
Eignung
hin
nehmen, sei auf [43]
verwiesen.
1.2.3 Verschiedene
A. Die
Strukturfunktionen
r-Verteilung.
Wie schon in der
Einleitung hervorgehoben, wird die /^Verteilung seit Beginn der
Untersuchungen und fast ausschließlich als Strukturfunktion verwendet. Die Einfach¬
heit der entstehenden Wahrscheinlichkeitsverteilung rechtfertigt diese Wahl. Führt
man (53) in (17) ein, so entsteht die negative Binomialverteilung (41)
/« +
Wr~\
Eigenschaften
r-l\/_a\«
r
)\*+l)
1
(a+D"
Anhang eingehend beschrieben sind.
mit Forderung (16) fi\r
A gesetzt,
a/a
entsprechende Verteilung
deren
Wird in
wo
A
im
Übereinstimmung
nun
=
=
so
lautet die
wiederum die mittlere Unfallzahl ausdrückt, während der Parameter <x das
Schwankungen registriert. Für a -> °° nähert sich die Verteilung der
Ausmaß der
ursprünglichen P-Verteilung.
Die negative Binomialverteilung wird uns noch unter ganz anderen Umständen be¬
gegnen. Die mannigfachen Deutungsmöglichkeiten erklären die Beliebtheit der Ver¬
teilung. Anderseits liegt ein oft gerügter Nachteil gerade darin, daß sie von ganz ver¬
schiedenen Modellen erzeugt werden kann, so daß allein aus ihrem Vorhandensein
noch kein endgültiger Schluß über die zu Grunde liegende Hypothese möglich ist.
11
Die
verallgemeinerte /"-Verteilung
r*W
=
7^e-(*-w<*-'*o>8-1'
*>h
(in)
wurde kürzlich
von Delaporte [25] für Belange der Motorfahrzeugversicherung vor¬
geschlagen. Mit den früher bereitgestellten Hilfsmitteln läßt sich der Einfluß einer
solchen Verschiebung recht einfach diskutieren. Größen mit dem Index Ao beziehen
sich auf obige Verteilung, während für die gewöhnliche F-Verteilung auf einen Index
verzichtet wird. Vorerst erhält
man
für die Momente
von
yXo
oo
0
oder unter
Benützung der Relation (54)
Insbesondere ist also
Wo
=
^o + fi
—
h + (a/a)
Die Zentralmomente ändern bei einer linearen
Verschiebung
ihren Wert natürlich
nicht. In der charakteristischen Funktion (cF) bewirkt die Transformation eine
Multiplikation mit dem Faktor eu«'.
Das Verhalten der Funktion
eF
^)Ew(z) sofort zu
(111)
als Dichte einer Strukturfunktion ist
erkennen. Nach
j,Ew(z)
=
(110)
und
(42)
(l + J-Z!)""V.<-U
an
Hand der
ist
=
Ew(z) e*.<*-«
(i 12)
ergibt sich also als eF ein Produkt aus den eF der ursprünglichen Verteilung und
P-Verteilung mit Parameter Ao- Daraus schließt man, daß sich Wr als Faltung
der negativen Binomialverteilung (Parameter a, a) mit der P-Verteilung (Parameter
Aa) darstellen läßt.
Es
einer
oder nach
einigen Umformungen
w'
=
(ï^)"lWe"',-ïf|0(ï)[(a
+
1,*^r(«
+ "
(I13)
Es ist bekannt, daß sich die Momente einer solchen Summenvariablen für die drei
niedrigsten Ordnungen durch einfache
ff2
geben. Da für die P-Verteilung^
=
Addition der Momente der Einzelvariablen
=
/*w
w^3
12
=
[i3
=
—
=
A gilt, ist also
+ Ao
î(i + î + 1) + ;l0
er¬
B. Die
Beta-Verteilung
1. Art.
Wir
gehen von der Vd (50) aus, die nur im Intervall 0 < A < 1 definiert ist. Es bleibt
allerdings stets fraglich, ob eine Variation der mittleren Unfallzahl in diesem Bereich
den Erfordernissen Genüge leistet. Setzt man ßi in (17) ein und beachtet die Integral¬
darstellung (15), so erhält man
(i A4)
0
Für die eF entsteht in
gleicher Weise
Ew(z)
Nach
(19)
und
^w
=
(51)
iFi(p;p+q;z-l)
(115)
lauten die ersten beiden Momente
^,
Man könnte wieder
=
die übersichtliche Form
gw=(p + q)2(P+q+1)[(p +
Bedingung (16) erfüllen,
q)(p +
q +
l) + q3
doch soll in Zukunft darauf verzichtet
werden.
Allgemeiner kann
man
eine
Beta-Verteilung ansetzen, die
im Intervall
Ao
< A <
Ai
definiert ist,
ßx., a, W
g^j (Ai
=
-
Ao)1'*-* (A
-
Aop"1 (Ax
-
A)«-i,
(116)
und die Momente
]~"
o
oder mit
(12)
ak
AgF[-k,p;p + q;(Ao-Ai)/Ao]
=
besitzt.
(117)
Die transformierte cF lautet
<p
Mit Hilfe dieser
(t)
=
Verteilung
e1". iFi [p; p + q; it (Ai
lassen sich die Formeln
-
A0)]
(114)
und
folgende verallgemei¬
nern
l
w<
=
bct
e~ *
l/e"vMTH (1 -v)q_1 [l+v -^ir)'^
0
_
Ap
+ q)
-"ni)-6
Ew(z)
K y/rW^-AoNl
^
T(p + j)
„
,_,,._,_,..,
,
.
ïTÀlJl-X-JT(F+^+FlPl(p+,'p+q+,'*)-'ai)
]
=
(118)
e*^-« iPx [p; p + q; (Ax
-
Ao) (z
-
1)]
(119)
und schließlich
^
=
Ao +
(A1-Ao)^-,<rw (Ai-AoP(p q)2fpq+q+1)+Ao + (A1-Ao)7j¥
=
+
13
Einfacher werden die Ausdrücke im
Spezialfall Ao
=
0, den Quinkert [60] im Rahmen
der kollektiven Risikotheorie näher untersucht hat. Hier ist
Wr
=
TT
BBP(^ q)q) iFx (r +
p;
r
+ P + q;
Aa)
-
(120)
und
Ew(z)
Ersetzt
so
geht (116)
in
ßh.b (p. *iq; ft
Derselbe
(121)
(116) den Parameter q durch Aiq und läßt hernach Ai
(111) über:
in
man
iI,i[p;p + q;A1(z-l)]
=
-*
n,
->• oo
(p. q; *)
(i 22)
Grenzübergang läßt sich für die Wahrscheinlichkeiten Wr vollziehen, (118)
0
(113). Man kann das auch direkt zeigen, z. B. bedeutet es für Ao
strebt nach
,.
=
-r.
,11/
r
-HP)
~n
C. Die
v
|_q
r!
v
i\t
r
|_
'J
^(p + qAi)
-HP + r)
V-
q
[Ai(z —l)]*
(123)
v
Beta-Verteilung 2. Art.
Die Vd
(60)
erweist sich für
Zweck als
unseren
wenig geeignet.
darauf, außer dem übnchen Definitionsintervall 0
zu
streben,
prüfen.
<
x
<
Wir verzichten daher
beschränkte Intervalle
oo
Es sei immerhin darauf hingewiesen, daß die Vd auch
dreiparametrig
^^=B(pW(rf^-'0<X<00
gegeben werden kann.
Die allgemeine Formel (I 7) geht mit (60)
m
w*
in
F-x
l
1
=
(I24)
7TB(p7We
Ap+r~1
ai
WH»***
o
Integral ist nicht elementar lösbar, doch kann
Integralformel (18) verwendet werden. Man findet so
über. Das
die
Wr
Ew(z)
=
F(l^Ù
A*w
D. Die
TT
ed-*>«
T^pTqf W(1-2
(1
-
Darstellung
p-q-r)/2' (r-Q)/2
der
(125)
(1)
z)<«-i>/» Wa-ap-fl,/».-*» (1
-
*).
M
-q^T»'4=(q-l)F(q-2)Kq-1)g + P + 13
=
Lösung
< 1
<I26>
Typ V-Verteilung.
Einfach ist
hingegen
W'
14
el/2
=
zur
=
TT
die Vd
(58)
zu
handhaben, sofern
TW/6"*'
Ar"a_1 dA
=
man
sich Formel
(23) merkt.
"^ ^ Ka-r (2 ^
r!
T(a)
(127)
und
Ew(z)
2
=
-rf-r[a(1
T(a)
-
z)]«/2Ka[2 )/a(1
-
|z|<l
z)],
von {Wr} überträgt sich, wie übrigens auch auf (126), derselbe Vor¬
behalt, der in (59) geäußert wird. Der Mittelwert existiert also nur bei a > 1, die
Auf die Momente
Streuung
bei
a
> 2 usw. Darin
i«w=^T,
liegt ein
aw=
Nachteil der
(,_!)«(,-g)
Verwendung
dieser Funktionen.
[a+(«-l)(a-2)]
(128)
Die verschobene Dichte
f*.W)
=
1^-(A-^)-<a+We-^«-«,
kann ganz analog zu (111) behandelt werden. An die Stelle
eine endliche Summe von Besselfimktionen :
Wr
Zu den Momenten
E. Die
Die
=
2
e~*'
TW
(127)
tritt schließlich
1 §,( j) {yElh)i Ka-] (2 ^
logarithmische Normalverteilung.
Anwendung der Verteilung (47)
bzw. der verschobenen Form
,/A„e" [IOga-^)-"N]V24,
=
Momente : ak
als Strukturdichte hat den
Nachteil,
=
X\ 2
Wr
einem
nur
eingegangen
i
_
=——
schwer verwertbaren
ô*
—
A >
X0
(130)
( M (^-Y 0ia
daß die daraus
+
F. Die
von
(128) kommt neu der Summand Xq hinzu.
'* «
zu
(129)
A>Ao
hervorgehende Schadenverteilung
oo
r
[e-teW+iw-Wdn
Integral
führt. Es soll daher nicht weiter darauf
werden. Momente sind natürlich wieder leicht ableitbar.
gestutzte Normalverteilung.
Alle bisher in 0 < A < oo definierten Strukturfunktionen hatten in ihrer allgemeinen
Form die Eigenschaft, daß mit X -* 0 auch s (X) -> 0 strebte. Es
mag nun in gewissen
Fällen wünschenswert sein, eine Vd
zu
benützen, der diese Besonderheit abgeht. Eine
Möglichkeit wäre implizit schon in A. enthalten,
speziell statt y (X) die Vd (57)
einparametrig und zudem monoton
fallend. Zweckmäßigere Dienste scheint die im Nullpunkt gestutzte Normalverteilung
(62) zu leisten (übrigens könnte man auch hier eine Stutzung im Punkt Xq ins Auge
fassen), nicht zuletzt deswegen, weil über die Schätzung ihrer Parameter genaue
Kenntnis herrscht [43].
wo man
verwenden könnte. Diese Form ist aber nurmehr
15
(62) ergibt
Mit
sich für die
Wahrscheinlichkeitsverteilung
oo
Wr
M
A
na]/2iJ
1-N(0)
Q
oder nach
einigen einfachen Umformungen
TTT
wobei
Abkürzung
Für das Integral
zur
a1
e-f+1U"'
rl
l/2^[l-N(0)]
(/z/a) +
—
a
=
A
f
läßt sich durch
oo
f (u
=
(131)
gesetzt wurde.
oo
Ir
(u —A)*e-*/*' du,
Ape-V.«* du
-
=
/ Ure-V.(i+A)' du
partielle Integration die Rekursionsformel
Ir=-AIr-1+(r-l)Ir-2)
r
2,3...
=
mit
Io
herleiten,
woraus
=
j/2^[l
sich die
-
0(A)], I:
=
e-'/.A"
|/2» A[l
_
-
0(A)]
Integrale und nach
Wr+i
a
Ir+l
r+1
Ir
_
Wr
_
auch die Wahrscheinlichkeiten rekursiv berechnen lassen.
Eine
explizite Lösung ist
Entwicklung von (u
durch
—
A)r
erhältlich:
oo
ïr=
ioÇ)(-A)r-jJuie-v.u'du iÇ)(-A)r-i2a-D/2 r(i±±) -rAV2(i±l)
=
Also ist
wr
e-^1/."1
ioÇ)(-A)r-i2a-i)/2jr(i+l) -rAV2(i±l)
aT
=
r!
^[l-NfO)]
Unter Zuhilfenahme
von
Ew<z>
=
(110)
und
(64) ergibt
(132)
sich für die eF
T^nö)e"(2"1)+V<Z"11' [1
-
<P(A
-
(Tz)],
für die Momente
(63) definiert ist.
gestaltet sich die Verteilung im Fall A
0, d. h. /j,
er2, was aller¬
dings die Parameteranzahl um 1 reduziert (gestutzte Normalverteilung mit Mittel¬
wert
Streuung) :
wobei
x
in
Besonders einfach
=
=
Wr
16
=
|-(2/M)(^)/2^+l)/2]
=
Rekursionsformel :
VVr+1
y
r
(r+1)!
2ji
Momente :
<«w
=(1+ «)/«,
Ow
i"[l + (1 +x)(l— fix)]
=
Die Wahrscheinlichkeiten fallen für /x < 7r/2 monoton, andernfalls ist die Kurve der
Wr von glockenförmigem Typus. Im allgemeinen Fall ist kein so einfaches Kriterium
aufstellbar.
1.2.4 Die
Binomialverteilung
als
Grundverteilung
Wiewohl
wenig üblich, kommt nach 1.1 auch die Binomialverteilung als Grund Ver¬
teilung in Frage. Diese hat zwei Parameter, p und n. Eine stochastische Variation der
ganzen Zahl n scheint im Vergleich zu p weniger sinnvoll zu sein, soll aber, da dadurch
die mittlere Unfallzahl np beeinflußt wird, ebenfalls kurz untersucht werden.
A. Variation
von
p.
Da p
nur im Einheitsintervall definiert ist, drängt sich als Strukturfunktion von vorn¬
herein die Vf mit der Dichte (50) auf. Auf Grund der Ausführungen im letzten Para¬
graphen könnte man zwar auch kleinere Intervalle in Betracht ziehen; es soll hier
aber darauf verzichtet werden, auf solche Verallgemeinerungen
Die aus (I 3) hervorgehende allgemeine Formel
Wr
( nT ) f p* (1
=
einzugehen.
(133)
p)*-' dS (p)
-
Bp
kann
man
analog
als
zusammengesetzte Binomialverteilung bezeichnen. Ihre eF hat
die Form
Ew (z)
/ [1
=
+ p (z
-
1)]" dS (p),
(134)
Bp
während die (I 8) entsprechende Beziehung zwischen den Momenten der neuen und
alten Verteilung sich hier mit Hilfe von (14) und (32) folgendermaßen schreiben läßt :
w<X[k]
fiyr
=
=
n
(n
Ti[is,
—
1)... (n
o-w
=
—
k +
n(n—l)a|
1) sak
+
n(;Us —A«s)
Führt
man (50) in diese allgemeinen Resultate ein, wobei, um Verwechslungen zu
vermeiden, die Parameter der Verteilung im folgenden mit P, Q bezeichnet seien, so
ergibt sich
/P +
l
(r/
Q-I\_P
P
jr
+ P/n + P + Q-l\
in
-
r
+ Q
-
l)
17
Mittelwert und
Streuung lauten
P
mir
_b
n
_
_
nPQ(n +
P +
^"(P + Q^P +
^w_nP+Q'
Q)
Q + l)'
während zur Herleitung der eF auf (11) verwiesen wird.
Ew(z)
=
F(-n,P;P+Q;l-z)
(136)
um einige interessante Spezialfälle anzugeben; das ist hier be¬
elegant möglich, doch kann man analoge Fälle ohne weiteres auch in 1.2.3
Wir benützen die eF,
sonders
betrachten.
1. P
Q
=
Diskrete
2.
1, d. h. S(p)
=
=
zn
Q
=
1
3. P
Ew (z)
und Q
-> oo
Gleichverteilung
1
Gleichverteilung mit Wr
P-*oo:Ew(z)
-> oo :
=
(n + 1)_1
,
0 ^
r
P/Q
=
und Q
n -> oo
T(n + 1)
r(n-r+l)
Ew (z)
=
2
—> co
n/Q
mit
T(P + Q)
T(P+Q + r)
~~T
—rrp\
=
5.
1.2.3
n ->
oo,
wieder nach
(l/a)r
[~ )
(z
=
r
-y co
T(n + 1)
/>
-
Ew (z)
18
r
~
negativen Binomialverteilung
A) interpretiert werden.
P
+ 1)
=
2
und
Q
-> co
T(P + r)
T(P)
mit
T(P + Q)
T(P + Q + r)
[A(z~1)]r
=
ÄSKSS?1
1/a
Das Entstehen einer
(siehe
(137)
n
p/q
Ew(z)=r4(;)[p(z-i)r-[i+p<z-w
4.
^
degenerierte Verteilungen
mit
-* oo
=
e*(«-«
*)
negative Binomialverteilung
kann also auch auf diese Weise
nunc* (^/Q)n
_
(3)
=
^
^
P-Verteilung
B. Variation von
Zur Variation
(und p).
n
von n
lassen sich dann
so
kommt natürlich
eine diskrete Vf in
nur
Frage. (I 33)
und
(I 34)
umschreiben :
Wr=f (?)pr(l-P)n-rSn
(138)
Ew(z)=f [l + p(z-l)]nsn,
n=0
wobei die sn die Wahrscheinlichkeiten der diskreten Strukturfunktion ausdrücken.
/*w
1.
Beispiel: n
=
P/*s,
ffw
P(Pffi
=
+
qj«s)
P-verteilt.
n=0
Eine
P-Verteilung
Lassen wir
nun
kann also auch durch stochastische Variation
noch p schwanken,
Ew(z)
was
augenscheinlich
mit
=
so
folgt nach
von
n
entstehen.
1.2.3 B
iFi[P;P + Q;A(z-l)],
(140)
(I 21) übereinstimmt, wenn dort die obere Schwankungs¬
Bezeichnungsweise von Ourland [41] läßt sich diese
grenze Xi = X gesetzt wird. In der
Tatsache durch
Binomial A
Poisson A Betai
n
~
Poisson A
Beta*
p
ausdrücken.
Eine Variation
2.
von
A in (139) ergibt
gegenüber
1.2.3 nichts wesentlich Neues.
Beispiel : n geometrisch verteilt.
Ew <Z>
=
1TFT
|0 fr1
+ P (2
-
Dl
^r}D= i-ap^-D mTt Païmetr
.
ap
(141)
Da schon das erste
nach der
Beispiel das gleiche Verhalten zeigte, scheint
allgemeinen Bedingung dafür zu erkundigen. Aus
es
angebracht,
sich
f [l + p(z-l)]»Bn(C)= f z°s„(Cp)
n=0
n=0
folgt durch Entwicklung von [1 + p(z
l)]n
Potenzen k-ter Ordnung auf beiden Seiten :
—
nach Potenzen
PkI (kJn)(l-p)nsk+n(C)
=
von z
und
Vergleich
der
sk(Cp)
n=0'
Beide
Beispiele erfüllen diese Bedingung,
sie
gilt
aber nicht
allgemein.
19
(141) p gemäß ßi variiert. Mit Hilfe der
in diesem Fall die dreiparametrige Verteilung
Anderseits sei in
hält
man
Ew(z)
Wr
=
deren erste Momente
Ar
=
Integraldarstellung (11)
(142)
F[l,P;P + Q;a(z-l)]
BB(P>Q)Q)
F(r+l>r + P;r +
er¬
P+
Q;-a),
[z. B. mit (10)]
P
2
[2a(P+l)
P
_
'uw-YTQ"a' ffw_"PTQ"alP + Q +
_
i
Pa
~
pTc
+ 1
lauten.
von p könnte man in (141) auch eine Variation von a vornehmen.
annimmt, sei ein Versuch mit der ge¬
allgemeinen Werte zwischen 0 und
wöhnlichen r~ Verteilung unternommen. Allerdings muß dabei schon die recht kom¬
plizierte Funktion (17) zu Hilfe gezogen werden. (Zur besseren Unterscheidung sind
die Parameter der /"-Verteilung für den Moment mit A, a benannt.)
Statt der Variation
Da
im
a
oo
Wr
=
e^p
(A/p)«/2
r(^+)A) W_r_(a/2),
fe-D/2
(A/p)
und
Ew (*>=*
**-*k^Yw-*i^Mi^]'
Zum Schluß sei noch die
Bemerkung erlaubt,
daß die in beiden
i'K1
Beispielen durchge¬
und p geradesogut in umgekehrter Reihenfolge hätte vorge¬
nommen werden können. Der zweite Weg ist viel komplizierter. Es lassen sich auf
diese Weise jedoch mit Hilfe der schon bekannten Formeln als Nebenprodukt ver¬
führte Variation
schiedene
Zum
von n
Reihendarstellungen hypergeometrischer
Beispiel
aus
(136)
und
Funktionen
gewinnen.
(140)
e-*f F(-n,P;P+Q;l-z)^-
=
1F1[P;P+Q;A(z-l)]
n=0
oder
aus
(I 36)
j^yf
und
(142)
F(-n,P;P +
1.3 Modelle
Bedingung (A)
Neben der
Q;l-z)(1AT)n=F[l,P;P + Q;A(z-l)]
für abhängige Ereignisse
von
I: Kollektivschäden
1.1, deren Vernachlässigung in 1.2 eingehend
unter¬
wurde, ist die Bedingung (B) für das Vorhandensein einer reinen Zufallsver¬
teilung von maßgebender Bedeutung. In diesem und dem nächsten Paragraphen
werden zwei wichtige Möglichkeiten diskutiert, diese starke Einschränkung zu lockern.
Die Einführung des sog. Kumulrisikos erzeugt das eine Modell. Das Problem sei am
Beispiel der Unfallversicherung erläutert. Dabei nehmen wir in diesem Abschnitt die
sucht
kollektive
wenig
20
Betrachtungsweise
Sinn.
an, der
andere
Gesichtspunkt ergibt
für das
folgende
Bei der
Herleitung der reinen Zufallsverteilung unterscheidet man nicht zwischen den
Begriffen Ereignis und Schadenfall. Jeder Schadenfall wird dort als unabhängiges Er¬
eignis aufgefaßt. In der Praxis kommt es aber häufig vor, daß ein Ereignis nicht nur
einen
Schaden, sondern mehrere verursacht. Bei einem Unfall können 1, 2, 3
...
Per¬
(Kollektivschäden) sind natürlich wesent¬
lich voneinander abhängig. Trifft man für die ursächlichen Ereignisse die Annahme
des reinen Zufalls, so stellt sich die Frage, ob die Verteilung der Schäden (bzw. im
Beispiel die Verteilung der total verunfallten Personen) einem anderen Gesetz folge,
sonen
und
verletzt werden. Diese Schadenfälle
wenn
ja, welchem. Überwiegen
in der Statistik die
„Einerunfälle" stark,
so
wird
vernachlässigbar, doch muß diese Behauptung
von Fall zu Fall mit Hilfe eines Tests nachgeprüft werden. In speziellen Versicherungs¬
zweigen, besonders ausgeprägt in der Hagelversicherung, wird der Kollektivschaden
das übliche Ereignis sein.
Im folgenden wird zuerst ein allgemeines Modell besprochen, das verschiedene
Beispiele illustrieren. Im 3. Teil bildet das .BeraoMZM-Urnenschema den Ausgangs¬
punkt der Betrachtung; Zusammenhänge mit 1. 3.1 sind einfacher Natur.
man
vermuten, das Kumulrisiko sei
1.3.1 Ein
allgemeines
Kollektivschadenmodell
können, wie erwähnt, j(j
1, 2, 3 ...) Personen zu Schaden
o nicht als Unfall
beachte, daß in diesem Sinne die Möglichkeit j
einem Unfall
Bei
kommen. Man
=
=
taxiert wird. Die Wahrscheinlichkeit eines
werde mit
„j-Unfalles"
fj bezeichnet,
o nach Voraus¬
Verteilung, die für j ^ 1 definiert ist, fo
setzung. Die Verteilung der Anzahl der Unfallereignisse sei wie in 1. 1 durch {Pr}
ausgedrückt, wobei für Pr Formel (30) oder (33) in Frage kommen. Aus {fj} und
{Pr} läßt sich, Unabhängigkeit der Variablen vorausgesetzt, die Verteilung der total
eingetretenen Schadenfälle auf einfache Weise mit Hilfe des Faltungsbegriffes zu¬
{fj}
ist eine diskrete
=
sammensetzen. Dabei ist
W(k
da bei
s
n
Unfällen nach
zu
beachten, daß
Schäden bei
n
Unfällen, k
Voraussetzung mindestens
Unfällen lautet auf Grund der Definition
keit
von r
sich
ereignenden
von
fj
<
n
n)
=
(143)
o,
Schäden eintreten müssen. Bei
die Formel für die Wahrscheinlich¬
Schadenfällen
fr9
=
2fi*(S-1)fJ>
i+]=r
wobei nach
(Die
f J*
Summation erstreckt sich
Zudem
Die
(143)
gilt
=
o,
sobald
demgemäß
f J1
=
> r.
s
in Wirklichkeit
fr und f ;r
=
gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung wird
nur von s
—
1 bis
r
—
1.)
f\
damit
wr=2Pjcf;k.
(i44)
k=0
21
wobei
sinngemäß fî°
Man erhält
=
{J^
*
*
^
,
setzen ist.
zu
so
W0
W1
W2
W3
=
=
=
=
Po
P1f1
Pxf2 + P2f£2
Pxf, + Paff
Pif3 + P2ff + P3f58
Pifs + 2P2fif2 +
=
P3f?
=
W„=Pif„+P2f£2
+
+ Pnfî
...
Die ersten Momente der Verteilung sind
(145)
während die eF durch
Ew(z)=EP[E,(z)]
dargestellt werden kann.
Einen allgemeinen Zusammenhang zwischen den Momenten
liefert die Formel von Faà de Bruno für die n-te Ableitung
Funktion f[g(x)]:
dx*
f[g(x)]
wobei die Summation
(kj)
kl!k2! ...kn!
1!
2ki
soll.
Angewendet
W«[n]
Mit
(33) entsteht
auf
=
n!
J
der 3
Verteilungen
der Funktion einer
dif
duT
u=g(x)
(147)
für alle Indizes mit
und
j
=
i=i
gelten
(n)W]
g(°)(x)]kn
K
g'(x)
2o 2
_
(146)
(I 46) ergibt
V
Z
eine sog.
=
n
sich
r'a[i]"]kl
n!
v
Z ki!
Uli
*
t«[n]
"
n!
verallgemeinerte P-Verteilung,
=
2.fit,
(148)
e-^^f;k
(149)
e^18««-«
(150)
Ew(z)
=
pa[j]
die durch
Ak
Wr
ftw
S iki
1=1
=
ffw
=
^(fff + f4)
=
^fa2
(151)
charakterisiert ist. Der Quotient
fa2//Jf
gibt
=
(Tyrlßw
(152)
ein Maß für die
Abweichung der Kollektivschadenverteilung von der gewöhn¬
P-Verteilung. Setzt man für P& in (144) hingegen (30) ein, so lauten die ent¬
sprechenden Formeln
lichen
Wr=(ln2(k)(P/<l)kfr*,£.
o^r^n
k
Ew(z)
j«w
22
=
nP/"f
»
=
[pEf(z) + q]n
ffw
=
np
(a?
+
q[4)
(153)
1.3.2 Verschiedene
Beispiele
der Schadenanzahl eines
empirische Verteilung
Die
beschaffen, daß sie für
sinkt. Diese
r
Eigenschaft
Unfallereignisses ist häufig so
ausgeprägte Spitze aufweist und dann rasch ab¬
umso deutlicher zutage, je mehr der Idealfall
1 eine
=
tritt
(1
r=l
fr=(o
r+1'
d.h. keine Kollektivschäden, erreicht wird. Einfache monoton fallende Verteilungen,
die als Modelle Verwendung finden können, sind (A) die geometrische Verteilung (36)
und
(B) die logarithmische Verteilung (43).
Poisson-Verteilung (C) ist je nach dem
Glockentypus, also nicht an obige
zu übersehen, daß einparametrige Ver¬
Die
Wert des Parameters monoton fallend oder
vom
Eigenschaft gebunden. Es ist natürlich nicht
teilungen der empirischen Statistik oft nicht in genügender Weise gerecht werden
können. In (D), (E) werden mit der Binomial- und negativen Binomialverteilung
zwei wichtige zweiparametrige Verteilungen vorgeschlagen, während (F) eine in die
gleiche Richtung zielende Bemerkung enthält. Um im folgenden nicht zu weit¬
schweifig zu werden, verzichten wir auf die Angabe der Formeln für die Verteilung
(153) und beschränken uns auf die verallgemeinerte P-Verteilung.
A.
{fr} geometrische Verteilung.
Die k-fache
zur
Faltung der geometrischen Verteilung
speziellen negativen Binomialverteilung
(£_}),
f*-<l-A>»A«-*
So erhält
mit sich selbst führt bekanntlich
rSk
man
Die konfiuente
hypergeometrische Funktion (13)
erlaubt eine zweite
Fürr ^ list
a/t
WWr -c-AjLV-in
e
xA
(1
_
A)
r(r)
2o r(r
_
r(2)
i} r(j + 2)
*
Darstellung.
^11-AV
yy (* -J-)
,
somit
Auf Grund
gewinnt
W0
=
&~x
Wr
=
W0Â(I
von
-
A) A^iFi[I
r;
2; *(I
-
A)/A],
r
^ 1
[59] wird die Verteilung PôlyajAeppli-VeTteïhmg genannt.
(150) und (37)
Ihre eF
man aus
Ew(z)
Momente: pw
<rw
wenn a
-
nach
=
X((l
=
A(A + 1)/(1
—
A)
=
(39) eingeführt
=
e-*(i-z>/a-Az)
(155)
^(a -f 1)
-
A)«
=
A(a + 1) (2a + 1),
(156)
wird.
23
Unter
Benützung
von
aufstellen, die sich,
(148), (35)
wenn man
und
(38)
läßt sich als
allgemeine Momentenrelation
bedenkt, daß der komplizierte Ausdruck Y
(__,) darstellt *),
nichts anderes als den Binomial-Koeffizienten
««-(Têxr-iG-.w
'
.
,
einfacher durch
»si
ausdrückt.
{fr} logarithmische Verteilung.
B.
Man
geht
hier besser direkt
von
der eF
aus.
(44) kann umgeformt werden
in
Ef(z)=i+log[(;-qpz)/q]-,
so
daß als Resultat
Ew (z)
herausschaut. Das ist die eF einer
mit den üblichen in
[(1
=
—
p z)/q]
W°s «
(157)
negativen Binomialverteilung,
a
q/p und a
(41) durch die Beziehungen
=
deren Parameter
=
A/log(l/q)
ver¬
knüpft sind.
Dadurch
sich für Wr und die Momente
ergibt
Wr
=
i"w
e-A
Ap
*)
gilt
Beweis: Nach dem
q
log (a + 1)
=
(159)
Aa(a + 1)
log(a + l)>
/ iog(i
5 (1/q)
\q
(39) p
-
a/(a -+- 1) gesetzt
Polynomialtheorem, angewendet
auf xi
wird.
=
z,
xa
=
z2,
...,
xn
=
Beziehung
&%—kn
Z to
mit
Der Koeffizient
Y
=
genügt beiden Nebenbedingungen, d.
zn
von
j
jj
.
.
/1
,—;
=
Daaber[-j
1
=
V
(
\.l
.
zn
Koeff. vonzninzl [-^
Zjki!...kn!
(to)
24
Aa
1
"q- log (1/q)
wieder ähnlich wie bei
die
(158)
pr
_
~
w
wenn
(*+Mo«fi/q)]-1)
,
)
—
\J
z/
h.
=Koeff.vonznin
/
\1
z
—
\1
z/
zv+J, folgt unmittelbar die ausgesprochene Behauptung.
z°»
Tatsache, daß die negative Binomialverteilung auch auf diesem Wege in Er¬
drückt sich in der Ourlandschen Schreibweise [41] durch
Die
scheinung tritt,
Poisson A Gamma
Logarithmisch
Poisson V
~
(160)
aus.
getrennt nach dem Parameter a ab, so erhält
+
1), d.h. formal dieselben Formeln wie in (156),
A(a + 1) (2a
A(a + 1)
was die Tatsache bestätigt, daß die beiden Verteilungen in A. und B. für kleine Para¬
meterwerte nicht wesentlich voneinander abweichen.
Leitet
man
in
(159)
C.
Zähler und Nenner
bzw.
man
{fr} P-Verteilung.
Da die
Verteilung {fr} für r
angepaßt werden.
Intervall
Aus
=
1,2... definiert sein soll, muß die P-Verteilung diesem
Das ist auf zwei Arten
(1) durch Verschiebung
fr=e~c
(2) durch Stutzung
fr
(I 61) folgt
=
±
°
möglich:
r-l
~
-,
^~°_c
~
,
r=l,2...
(161)
1,2
(162)
r
=
...
sofort
Ir
e
r-
(r-k)!'
und damit
'Ae-e\k
<i83>
w—^iGM^r
,viK'l
_
k
Die eF dieser
Verteilung geht
Ei(z)
0
über
=
Ew(z)
als
=
zec(z-D
=
e-«1-K^1-)1
(164)
hervor.
Mittelwert /jw
=
A(l + c)
Streuung a^
=
A(c2 +
3
c
+ 1)
Verteilung tritt, allerdings in ganz anderem Zusammenhang, wohl erstmals in
[70] auf.
Eng verwandt mit Verteilung (I 63) ist die Verteilung, die auf Grund von (I 62) zur
Sprache kommen soll. Die eF von {fr} lautet hier
Die
Et(z)
=
(e"-l)/(e°-l)
Damit wird
x
Ew(z)
Das stellt eine
(149)
wenn
in
wird,
was
zur
Folge hat.
fl—e—c(i—«)]J
(165)
1-e-'
=
e
Neyman Typ A-Verteilung dar. Deren übliche Form entsteht dann,
e_c cr/r!, r
o, 1, 2
gewöhnliche P-Verteilung fr
eingesetzt
die
=
An die Stelle des Parameters X tritt in
=
...
(165) also der Ausdruck A/(l—e_c).
25
zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung
Die
ist demnach wie
k* /
A
folgt
definiert
\k
dee,
w,-.-»->$JEß(-^rf,
k=0
während die Momente
o
1
2
,
c(o+l)
lauten.
{fr} Binomialverteüung.
D.
Wie bei C. können wieder 2 Fälle unterschieden werden.
(1)fr=(7^r)pr-1qn_r+1.
r=l,2...n + l
(167)
(2)fr=r^5-(;)prqn-r.
r=l,2...n
(168)
Die verschobene
Binomialverteüung (167)
Ef(z)
was
für
{Wr}
hat die eF
z(pz + q)n,
=
die eF
Ew(z)
=
e-M-Xw+iFl
nach sich zieht. Deren Momente heißen
i«w
Für die sog.
=
A(np + l),
ffw
Atl+3np + n(n-l)p2]
=
positive Binomialverteüung (168)
Ef(z)
=
lauten die
entsprechenden
Formeln
T^S-[(pz + q)n-qn]
x
Ew(z)
in
Analogie
zu
e
=
(165).
„„
—
1
nP
„2
E.
_
i_qn
{fr} negative Binomialverteüung.
\
paqr_1,
fr=r
(2) gestutzt
fr=TJ_(a+rr-1)
Ew(z)
-c
.
p«qr(
.-^-fcyi
=
e
==
e
r=i,2...
(i69)
_*_ fi_ (_£-Y"l
1-P"L
.
Ew(z)
r=l,2...
zu
_
bzw.
1
(1) verschoben
Genau wie in D. berechnen sich die eF
26
np(np + q)
aW-A3
^~ÀT^^'
U-qz/
J
(170)
Für
Die
1 gehen beide Ausdrücke in die eF der Polya/Aeppli-Verteilung (155) über.
Verteilungen sind daher mögliche Verallgemeinerungen der Verteilung (154).
zugehörigen Wahrscheinlichkeiten und Momente:
a
Ihre
==
A«w
(2)Wr
„
=
A(a-J- + l),
=
e-/a-P«)qr|o(«k+;-1)ir(T^r)k
«q
3
—
Übergang
eine andere Methode
Sie ist
vor
metrige
auf eine der üblichen
p2(1 _pa)
zweiparametrigen Verteilungen
ist noch
erwähnenswert, die ebenfalls einen zweiten Parameter zuzieht.
allem dann
folgenden jedoch
aq(l + «q)
i
_
ffw-/
nach Aitchison.
„gemischte" Verteilung
Außer dem
A[l+a^(l+aq + 2p)]
=
„2
*
^-Sii-p.)
F. Eine
<Tw
bequem,
die
wenn
ein normaler Abfall
stark
„Einerereignisse"
Vf ausdrücken ließe. Dieser Tatbestand dürfte für die
nicht selten sein. Die Idee
im
Unfallversicherung
folgende :
ist die
(siehe [1])
überwiegen,
stattfindet, der sich gut durch eine einpara¬
Es wird vorerst durch die Annahme
1)
=
6
W(£>l)
=
l-0
W(|
=
eine diskrete Wahrscheinlichkeit für den Punkt
r
=
ausgeschieden.
1
Bezeichne
weiter
W(f
=
r|£>l)
&
=
r
,
=
2,3...
fgr=l,
,
r
die erwähnte
=
2
einparametrige Wahrscheinlichkeitsverteilung,
so
kann fr
dargestellt
werden als
f'
Die
=
(0
r=l
|a-«&
r-M...
Momente, anders als in [1],
fit
=
0 +
(1
-
der
wo
B)fti, af
(I,1)
Nullpunkt ausgezeichnet
=
(1
-
0) [6 fo
-
war, lauten hier
l)2 + er2]
Die eF kann in der Form
Ef(z)
=
z0 +
(l-0)Eg(z)
ausgedrückt werden.
Als
Beispiel
sei die
fit
=
P-Verteilung
gr
Ef (z)
=
0 + (1
-
=
e-c
-, r
=
2, 3
...
betrachtet.
_
z0 + (1
0) (c + 2),
ot
-
=
0)z2ec<z-i>
(1
-
0) [0(o + 1)2 + c2]
27
Setzt
man
diese Resultate in die
allgemeinen
Formeln
(150) und (151) ein,
ergibt
so
sich
Ew(z)
Aiw
1.3.3 Das
Gegeben
=
=
e-T1-l9-<1-e>I'eC<,-1>]
A[o + 2-0(o + l)],
ffw
A[l + (l-0)(2c2 +
=
verallgemeinerte Bernoulli-Schema für
sei eine Urne mit
(172)
4c
+ 3)]
Kollektivschäden
(k + 1) verschiedenfarbigen Kugeln
bzw.
Kugeln,
die mit
k
den Ziffern 0,1, 2
...
k markiert sind. Deren Anzahlen werden mit
bezeichnet.
Frage:
Wie
ni... nie
groß
Kugeln
Wahrscheinlichkeit,
ist die
mit den Ziffern
0,1
...
k
„1-Kugel"
N0/N,
=
pj
=
k
wobei
in
=
Kein
=
Einerunfall
k-facher Natur als
von
Schadenereignis,
Doppelunfall...)
=
Verteilung.
Nj/N, j
=
=
*
»
2nJ
=
n»
Wni,...)nk=^-qn.
Die Wahrscheinlichkeit
total
r
w*r(^
(173)
npfJ
Schadenfällen ist, falls höchstens
möglich
2
Wr=
Wm
ni+2n, +... + knk
analog zu (30
0 mit npj
-*
=
=
Ereignisse
Wahrscheinlichkeit, daß
nk
=
n ->
oo,
...
1
-j=i
xj
&&.. AS*
y
•
£j
n1+...+loik
ni!ri2!. ..nk!
=
r
über mit
k
J-l
k
aw
(174)
r
33) durchgeführte Grenzübergang für seltene Ereignisse
k, führt (I 73) in
1, 2
A], j
w
=
j
28
Mit
l,2...k,
angenommen werden, gleich der
die Summe der gezogenen Zahlen den Wert r erreicht, d.h.
->
no,
k
2 Pi
q+
Zügen (mit Zurücklegen)
n
liefert die multinomiale
Lösung obiger Frage
q
pj
^>
ziehen ?
zu
„2-Kugel"
Der
=
'=0
(Interpretation: „O-Kugel"
Die
Nj, 2^1
2 j2 h > i"w,
=
i
sobald k > 1.
(175)
Im Sinne einer
(175)
der oben
ausgesprochenen Einschränkung sowie aus
(I 74) oder (175) k -» oo streben zu lassen.
bequemer,
charakteristischen Größen gehen dann über in
Vernachlässigung
rechnerischen Gründen ist
und seine
in
es
oo
Wr
r|£l*
=
-^^r
V
/
(176)
v
nil...nr!
'
iu+.-.+nit-r
oo
^w
2 j Aj
=
j
=
(als endlich vorausgesetzt)
i
=
Ew(z)
=
ti«A,
^r
(177)
2 ^(zf-D
und
e1"1
Das ist die
multiple P-Verteilung [65]. Interessant ist, daß sie ohne Benützung einer
Raritätsbedingung hergeleitet werden kann [45].
Die unendlich vielen Parameter der Verteilung (I 76) sind für die Praxis, wo diese aus
den zur Verfügung stehenden Daten geschätzt werden müssen, ungeeignet. Man
behilft sich damit, daß man sie spezifiziert. Als besonders wichtigen Spezialfall rindet
man
hierbei
Aj
=
aPj/j
Diese Reduktion auf die beiden Parameter
oo
a
und p
auf die
führt, wie die eF
„J
=(i£^)*
Ew(Z)=e'-J
zeigt,
(178)
negative Binomialverteilung.
Ein
Vergleich
(179)
mit 1. 3. 2 B. läßt
muten, daß die beiden Modelle in 1.3.1 und 1. 3. 3 unter bestimmten
identisch sind. In der Tat gilt der Satz:
Werden die
zum
vornherein
stochastische Reihe
gesetz bedeutet,
so
Aj
=
beliebig
2*1
wobei
{fj}
stimmen die beiden Modelle
oo
Aus
wählbaren Parameter der
Afj aufgefaßt,
ver¬
Bedingungen
Verteilung (I 76) als
Verteilungs¬
das in 1. 3.1 definierte
(144)
und
(I 76)
miteinander überein.
oo
=
1
f0^ zudem,
daß
i=»i
Y Aj
=
A sein muß.
1=1
Der Beweis wird
am einfachsten mit Hilfe der eF geführt.
Verteilungen in 1. 3. 2 sind daher alle auch in diesem Modell enthalten. Formel
(I 76) ist allerdings wenig handlich; man benützt deshalb mit Vorteil das Instrument
Die
der eF.
Im
Zusammenhang mit (176) und (178) ist noch zu erwähnen, daß das Modell von
Arfwedson [11, 2. T.], das ebenfalls die Seltenheitsforderung fallen läßt, in diesem
Gesichtspunkt aufgeht.
Statt (178) hat Lüders in seiner Dissertation [52] eine Reduktion auf drei Parameter
mittels
Ai
vorgeschlagen.
Er
**"
gibt
=
=
pi,Aj
=
(p2/j)p!f2, j
=
2,3...
(180)
auch die Momente
*+î^>
<^
=
Pi +
p2[Tz^+(ï^r]
29
an, nicht aber die
explizite
Form der
Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Diese kann mit
Hilfe der eF sofort ermittelt werden.
-rJ-"8
OO
1
Ew(z)
=
e
Ew(z)
=
elP.-(P./P'»
^7—(äJ-D
Z
Pl(Z-l) + P.
=
2
<«-»
==ep»(z-i)+(Pi/P!)[-iogU-p,z)-p,z+iog(i-p,)+P,l
(11rP33z)P'/Pl
(I 81)
Die eF entpuppt sich als Produkt
aus der eF einer P-Verteilung mit Parameter
der
und
eF
einer
(P2/P3)
Binomialverteilung mit den Parametern
negativen
Pi
[nach der Darstellung (41)] (1
p3)/p3 und P2/P3. Die zugehörige Verteilung hat als
Faltung dieser beiden Verteilungen die Form
—
—
Wr
Setzt
=
e-Pi+«*/W (1
Stelle
man an
von
h
so
folgt
in
analoger
-
Luders Ansatz
=
tPi-CPi/iPs)]1 /i + (P2/P!)
p3)P./Pl £
Vi,
^
=
P2P3-2»
j
2,3...,
=
Weise
l-z
p,
teilung
von
und einer
,,
^w
Durch
1U
(180)
Ew(z)==efp>-(p./p.)Kz-i)e
wie auf Grund
-
(181) zu erwarten war. Wr
PolyajAeppli-Verteilwig.
=_tï
1
Pi+
P2(2-P3)
(1_p3)2
a
_
entsprechende Spezialisierung
der
X\
>
bildet sich durch
<rw-Pl
,
p.d-p.) 1-p.z
ist
+1
es
Faltung
einer P-Ver¬
P2(l+P3)(4-p3)
(^r^s
auf diese Weise
möglich,
die
ver¬
schiedensten Modelle zusammenzustellen.
1.4 Modelle
für abhängige Ereignisse
II:
Ansteckung
Anfängen einer Theorie der Begriff der An¬
wachgerufen. Ohne vollständig sein
zu können, sind in diesem Zusammenhang als Verfasser grundlegender Beiträge vor
allem Greenwood, Yule, Newbold, Eggenberger, Pôlya, Neyman und Feiler zu nennen.
Die Bezeichnung Ansteckung ist der Theorie der Krankenversicherung (ansteckende
Krankheiten, Epidemien) entnommen und wurde zur Behandlung ähnlicher Phäno¬
mene auch auf andere Versicherungszweige übertragen. Wie im letzten Abschnitt
seien die Grundzüge des Modells an Hand der Unfallversicherung erläutert.
Mehr als das Kumulrisiko hat seit den
steckung
das Interesse verschiedener Autoren
(1) Individuelle Betrachtung.
Untersuchung sind die Unfallwahrscheinlichkeiten im Gegensatz zu
gleich groß. Erleidet eine Person einen Unfall, so soll ihre
Anfälligkeit für einen weiteren Unfall entweder größer (Annahme: durch den Unfall
hat sie ihre frühere Sicherheit eingebüßt, ist ängstlicher, nervöser geworden) oder
kleiner (Annahme: der Unfall hat sie gelehrt, sorgfältiger zu werden und besser auf¬
zupassen) werden. Die Kritik an diesem Modell hakt an zwei Punkten ein. Erstens
kann man einwenden, die gleiche Behandlung aller Versicherten entspreche nicht den
Zu
Beginn
der
1. 2 für alle Individuen
30
tatsächlichen
Begebenheiten, wo des einen Anfälligkeit zunehmen, die eines anderen
abnehmen würde, während sich die Fakten pro und contra bei einem dritten vielleicht
gerade aufheben. Zweitens wird nach obiger Definition die Anfälligkeit des einzelnen
Individuums nach jedem Unfall die gleiche Reaktion zeigen (zu- bzw. abnehmend),
in Wirklichkeit dürfte dieses Verhalten je nach Zahl und Schwere der Unfälle vari¬
ieren. Dieser Tatsache kann allerdings durch eine etwas detailliertere Modellannahme
teilweise Rechnung getragen werden.
(2) Kollektive Betrachtung.
Ansteckung bedeutet hier, daß
nach dem Eintreffen eines Unfalls die Wahrscheinlich¬
keit für einen weiteren Unfall des Kollektivs Veränderungen erfährt. Beispielsweise
werden nach
jedem Unfall geeignete Sicherheitsmaßnahmen (Aufklärung, Flugblätter,
Schutzmittel) getroffen, die Anfälligkeit wird geringer; anderseits kann durch unbe¬
dachte, unpsychologische Äußerungen eine nervöse Atmosphäre geschaffen werden,
die weitere Unfälle begünstigt. In analoger Weise wie oben können auch hier Ein¬
wände gegen den etwas mechanischen Aufbau des Modells vorgebracht werden, denen
eine gewisse Berechtigung nicht abzusprechen ist.
Wir behandeln die Ansteckungshypothese in Form eines sehr allgemeinen Urnen¬
schemas. Nach dem allgemeinen Teil werden in den folgenden Paragraphen die wich¬
tigsten Spezialfälle untersucht.
1.4.1 Ein
allgemeines Ansteckungsmodell
Gegeben sei eine Urne, die R rote und S schwarze Kugeln enthalten möge (R + S =N).
Nach Ausführung eines Zuges werde folgendes Verfahren angewendet :
War die Kugel rot, werden 1 + Rr rote und Sr schwarze Kugeln zurückgelegt ; war
die Kugel hingegen schwarz, sollen es Rs rote und 1 + Ss schwarze sein.
Dieses Vorgehen wird n-mal wiederholt, gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, in diesen
n Zügen genau k rote Kugeln zu ziehen.
Man beachte, daß in diesem allgemeinen Modell im Gegensatz zu 1.4.3 (PôlyajEggenberger) verschiedenen Reihenfolgen beim Zuge der k roten und n-k schwarzen Kugeln
verschiedene Wahrscheinlichkeiten entsprechen. Die Behandlung ist deshalb weit
weniger einfach.
Es seien zwei stochastische Variablen eingeführt:
Xn
=
Anzahl roter Kugeln nach
{1,
falls im n-ten
0, falls im
n-ten
Zug
n
Zügen (Xo
=
R)
rot gezogen wird
Zug schwarz
gezogen wird
Dann gilt die stochastische Rekursionsformel
X|+i
Summiert
man
diese
=
Xj + (Br-»)£,+!+ B,,
von
0 bis
n
—
j
=
0,l,2...
1 auf und verwendet die
n
Cn
=
neue
(182)
Bezeichnung
2 ^i •so Iau*e* di° lineare Beziehung zwischen Xn und £n :
Xn
=
(Rr-R8)Cn + nRs +
Die
R
(183)
gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung ist nun aber gerade durch W(£n
k)
gegeben, d. h. durch die Verteilung von Cn und damit Xn vollständig bestimmt. Defi¬
=
niere
e„(z)=2z1W(Xn
=
j)
j
31
deren eF, dann wird mit
en+i
(z)
=
S
(**»+»)
=
(I 82)
z».
zl+<*-** W (Xn
Z
=
j, f„+i
l)
=
i.i
=
Z* 2 ZJ W (Xn
j) [W (fB+1
=
0
=
| Xn
=
j) + z*-*. W (fn+l
=
11 Xn
=
j)]
i
Da aber
(184)
B +
jBr+(n-j)Rs
w^n+i-i|;n-j;-N+.(Rr + gr) + (n_.)(Rs + Sg),
Wft
11/-
—
,
n—
—
folgt mit Hilfe von (I 83)
W(fi»+i=l|Xn
j)
=
=
N +
n(R8 + SB) + (j
-
R
-
nBs)
(l g |rJ
(185)
-
_
Die durch
(I 85)
(184) gewonnene, allgemein gültige
Einführung
praktische Anwendung ungeeignet. Wir nehmen daher an, die Bedingung
die
in
von
(S8
sei
Formel ist für
Sr)/(Rr
-
Rs)
-
=
1
(186)
erfüllt, was zur Folge hat, daß nurmehr drei Parameter frei wählbar sind. Es wird
herausstellen, daß trotz dieser Beschränkung das Modell allgemein genug ist, um
sich
Spezialfälle zu enthalten.
(186) vereinfacht sich (184) wesentlich
die interessanten
Mit
en+i(z)
=
ZB,-B.—1
zK.2zlW(Xn==j)
2>iW(Xn=j)
oder, da
-
=
+
N +
n(Rs +
.1
Ss)JJ
zen(z),
i
en+i
Diese
(z)
[en (z) + N + n(Rs + 8s)
z*
=
Differenzen-Differentialgleichung
soll unter der
e0(z)
=
z
en
(187)
(z)
Anfangsbedingung
zE
(188)
zu
werden, seien folgende Abkürzungen
gelöst werden.
Um in der Schreibweise nicht
kompliziert
zu
gewählt :
A
=
Ra
B
=
Rr
C
=
oder
—
Rs
Rs + Ss
Ra
=
A
Rr
=
A -f- B
Ss
=
C
Sr
=
C
-
-
A/B
C/B
A
A
-
B
nach
=
=
oc
y
(186)
Damit wird
en+i
Definiert
man
(B
#=
0
=
zA
vorausgesetzt)
fn (z)
32
(z)
=
(1
-
|en (z) + ^+~^c
eine
neue
z
en
(z)
(189)
Funktion fn (z)
zB)lN+n C>/Bz-N~nc en (z),
(190)
dann erhält
man
c
zA-C+l
..
=
fn+l(z)
mit der
(189) die
durch Einsetzen in
einfachere
(1
-
zB)y+l
n
» + nO
f0(z)
(192)
z-s(l-zB)N/B
=
*
(
(Z)
(190)]
und
Anfangsbedingung [aus (I 88)
Gleichung
(191) und (192) bestimmen das Gleichungssystem vollständig, und man könnte dar¬
Die Formeln werden jedoch schnell unüber¬
aus die Lösung rekursiv berechnen.
sichtlich, weshalb folgendes Verfahren vorzuziehen ist :
Eine neue Variable u werde derart eingeführt, daß
dz
du=
—
zA-C+l(l_zB)y + l
bzw. mit
z~B
u
In der Variablen
u
=
und durch rekursive
N
(193)
v
i/(7^Tïdv
=
<I94>
Differenzen-Differentialgleichungssystem für f
lautet das
fn+i (u)
=
fn
p
[ bedeutet hier Ableitung nach u]
'
(u)
,
Auflösung findet man
f° W
=
[N
+
fr-DcY-tN
bereitgestellt.
Damit sind alle Hilfsmittel
Der
+
QN
^W
Lösungsweg
G 95>
kann
folgendermaßen
(z)
(I 96)
skizziert werden :
u -> z
Schließlich erzeugt
(u)
f0 (u)
-*
-*
fW (u)
->
fn (u)
->
fn (z)
->
en
Gleichung (183), die nun
lautet, die Beziehung zur e F von fn> nämlich
En (z)
hinwiederum
womit
die
=
z-^+J»'3 en
(z1^),
gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung
(I 97)
eindeutig
be¬
stimmt ist.
Der in
(196) angegebene Weg
enthält zwei
komplizierende Operationen,
die Berech¬
nung des Integrals (194) und die Bildung der n-ten Ableitung der Funktion fo(u). In
Anbetracht der vielfältigen Umformungen, denen die Lösung von (194) ausgesetzt
ist, beschränken wir
Term
uns zum
vornherein auf
bestehen, verzichten also auf jede Art
jene Lösungen, die aus einem einzigen
von Zusammensetzungen. Die beiden
Fälle, die dieser Forderung entsprechen, sind
(I)
a
=
0
oc
=
0: Verschwinden des Zählers.
bedeutet
A
=
R8
und damit
B
=
Rr, C
=
0
=
S8, Sr
=
C —B
(198)
33
(194) folgt
_
u~
dv
J_ f
—
y
—
1 bedeutet
y
B
=
kr
=
=
—
1
A
—
=
=
-if
=
Rg
a
Un¬
falls y
1),
4=0
siehe 1.4.3
0
siehe 1.4.4
=
(199)
2 Rr
—
falls a
'
+ 1
log
falls
v,
a
4=
=
—
1
siehe 1.4.5
—
1
siehe 1.4.6
obiger Herleitung ausgeschlossenen
In 1.4.2 nehmen wir den bei
1.4.2 Die schematische
y
'
Rr
—
'
vadv
—
l)v'
Verschwinden des Nenners.
:
C oder Ss
2C
—
log (v
—
falls
TT-,
—;
y(v
BJ (v-l)y+i
(II)
=
_1
_
BB
Aus
Fall B
=
0 vorweg.
Ansteckung
0, dann hat man Rr
Ist B
=
Nach
(189) folgt ferner
Rs (Sr
=
en+i(z)
en(z)
=
Ss).
=
=
zAen(z)
znAeo(z)
zE+nA
=
Kugeln
Man schließt hieraus, daß die Anzahl roter
nach
n
Zügen
mit Sicherheit
R + nA sein muß. Bei jedem Zug (gleichgültig, ob rot oder schwarz gezogen wurde)
werden A rote Kugeln hinzugefügt. Die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen,
Änderung geht
ändert sich zwar, aber die
jeweiligen Ergebnis
vom
j
=
1,
2
...
n zum
beeinflussen
zu
in schematiseher Weise
(j-l)A
N+(j-l)C
R +
e
_
j
=
l,2...n
F hat die Form
En(z)=i7(q] + pjz)
und
sich, ohne sich
vornherein bekannt, nämlich
PJ
Die
vor
lassen. Die Wahrscheinlichkeiten sind für
man
,
qj
=
l—pj,
weiß, daß für
n
Pj
->
0
(j
=
1,2
...
n),
n -
mit
oo
2 PJ
=
^
(1100)
En(z)->eA(z-1>
strebt, sich also
Ereignisse
eine
wie im Fall A
1.4.3 Das Modell
von
Unter der Annahme y
4= 0 in
34
=
0
(Binomialfall)
im
Grenzübergang
1
(z-B
_
i)v
oder
z
:
1 +
-l/B
[l (--^)1/v]-E/B(--A-)N/0= tl + (_Cu)Vv]-b/b(_Cu)-s/c
+
seltener
(198) stellt man fest, daß
1
=
C
PôlyajEggenberger
C
f0(u)
=
P-Verteilung einstellt.
(1101)
Die n-te Ableitung dieses Produktes bildet formal keine Schwierigkeiten, wird aber
insofern unhandlich, als zur Ableitung des Faktors links die Formel (I 47) benötigt
wird. Eine andere Möglichkeit besteht zwar darin, den Ausdruck vor der Differentia¬
tion in eine Binomialreihe
wie
aus
zu entwickeln, doch hat dieses Verfahren andere Nachteile,
späteren Ausführungen hervorgehen wird. Zur Vornahme des P<%aschen
Grenzübergangs (seltene Ereignisse und schwache Ansteckung) ist es jedoch unter
Umständen recht nützlich.
Die Formel für f^u) wird übersichtlich, falls y
1 ist in
± 1 ist. Der Fall y
diesem Zusammenhang wenig interessant
die Gesamtzahl der Kugeln in der Urne
=
=
—
—
nimmt
ständig
Der Fall y
Im Fall y
=
(Ss
ab
=
=
—
Rr Sr
>
2
—
Rr)
und soll nicht weiter
—
verfolgt werden.
1.
1, d. h. B
C, folgt
=
Rs
Das
=
aus
=
Sr
(I 98)
=
0,Rr
=
Ss
=
^
(1102)
entspricht genau dem Modell von PôlyalEggenberger [26,27].
fo(u)
Nach der Leibnizscheii
=
(l-u^)-B^(-u^)-8/4
Produktregel ergibt sich
hieraus
und weiter
en
(z)
=
zN+n-4
(1
—
zJ)-KN/J)+n] fQ (z)
r(»+.)ÄW
Die eF der
.Ar
r(B)r(§)
gesuchten Verteilung lautet demnach (I 97)
ED,z)=^pvli°)BS+T'?+n-T)z'
woraus
sich
definitionsgemäß
,
.
WHk)
(1103)
für die Wahrscheinlichkeiten
B(^- k.-| n-k)
+
w/B
+
B,
L>
°^k^n
<I104>
Î5
Vergleich mit (135) deckt die Übereinstimmung der auf ganz ver¬
Wegen hergeleiteten Ergebnisse auf. Durch Einführung der Definitions-
ableiten läßt. Ein
schiedenen
\
Q
(T>
-T-
+ v, -j +
En(z)
gebracht
n
=
n
(n
-
(1103) kann die
eF auch hier auf die Form
F(-n,^;|-;l-z)
=
werden. Die Momente der
wa[k]
v] in
—
Verteilung
1)... (n
-
(1105)
lauten
k +
'
1)
,R
*(*-?)
R
N + n/l
2
ES
Analog zur Limesbetrachtung 4, S. 16, läßt sich der Pölyasche Grenzübergang
R/N
—
q
n -> oo
mitng
0->O
A[N
=
d
=
h,n<5
=
(1106)
d
<5-*0
Binomialverteilung mit eF
durchführen. Er erzeugt die negative
[l + d(l-z)]-wa,
d-h-WH^ H(m)k(TTd)W
d«")
+
mitiuw
=
h,
aw
=
h(l + d)
(1108)
Zusammenhang Ansteckungsparameter.
P-Verteilung.
Der Parameter d nennt sich in diesem
d
0, keine Ansteckung, führt
=
Im Anschluß
an
zur
Bemerkung
die
auf der letzten Seite ist auch
folgendes Vorgehen
möglich:
Man entwickle
(l-uJ)-»/"= Y (-f'J)(-uJ)v,
|u|<l/J
v=0
g
}
+
einer
man zu
=)-»Mvf-w^r0r + n~Y)f
+
(z)-
gelangt
AI
^
I
v
r(^)
En()~r(^'(S nV
-)
E
zuvor
-
In denselben Schritten wie
'
r(S--v)
v
'
z<1/z</2'
'(£-*)
z < */2 mit der eF (1103) übereinstimmt. Die Dar¬
Herleitung der Wahrscheinlichkeitsverteilung ungeeignet. Da
Funktion, die im Bereich
stellung
ist aber
so zur
rU) rU
+n
7
/ S \(R/^i)+v
/S
(1 + d)(h/<l)+T
36
*
U—)
'
\ -<*""-*
(1109)
erkennt
man
jedoch sofort,
daß
En(z)->[l + d(l-z)]-^
Polya/Eggenberger-MadelL beruht auf der Annahme, das Eintreffen eines Unfallereignisses bzw. dessen Nichteintreffen erhöhe die entsprechenden Wahrscheinlich¬
keiten, und zwar auf gleiche Art und Weise. Insbesondere in der Unfallversicherung
ist aber auch die entgegengesetzte Möglichkeit sehr zu beachten, d. h. nach einem
Unfall nimmt die Nichtunfall Wahrscheinlichkeit zu und umgekehrt. Diesen Vorgang
könnte man so darstellen, daß in obigem Modell A negativ gewählt wird. Dann ver¬
ringert sich jedoch die Gesamtkugelzahl, d. h. der Prozeß ist nicht unbeschränkt
fortsetzbar. Ein Modell, dem dieser Nachteil nicht anhaftet, soll in 1.4.6 zur Sprache
Das
kommen.
Eine
Verallgemeinerung des Modells.
Diskutabel ist auch, daß bei Unfall und Nichtunfall die gleiche Maßnahme getroffen
zu vermeiden, kann man dazu übergehen, statt (1102) die Voraus¬
wird. Um dies
setzung
Rs
=
Sr
0,Rr
=
=
^i,Ss
=
zi2
(1110)
mit
[14]). Diese verletzt indessen unsere Bedingung (I 86)
fällt also
^1 * 0 sein
^2
notwendigerweise Sr
nicht unter das allgemeine Modell von 1.4.1. Wir zeigen jedoch im folgenden, daß
wenigstens im Grenzübergang unser allgemeines Modell auch dieses verallgemeinerte
PolyalEggenberger-Modeü. enthält.
anzunehmen
Rr
=
A\, Ss
(siehe
=
A%
z.
B.
—
muß dort
Ausgehend von (1101)
=
entwickle
man
wie
v=0
daraus
En(z)
zu
berechnen. Das
WD
n()
Der
W|- + n)(
eckige Klammer
v
'
Ergebnis lautet
~
»M,
,
vàA
'
die
—
2(-1*/Jl)(-uZla)Wr, |u|<l/4a,
[l + (-uJ2)^]-^=
um
zuvor
—
v
hier
W-I- + »--)
l
r(A_JL)
/
X
li-*]'z</*
Pôlyasche Grenzübergang fordert
n->oo
R/N
zh/N
J2/N
Entsprechend zu (1109)
=g
-*-0
=
<5i-*-0
=
Ô2
->
nQ
mit
nÔ2 =ds
0
sei erst das Verhalten
(1 + du)
=h
n3i=di
von
(»WM+v «,/<»,>
37
untersucht. Unter
F
Benützung dieses Resultats erhält man
M
(1-z)~h/(t-
>
/~h/di\
V
1
(l + d2)d./d.
1-z
oder
E
Diese eF
entspricht
(z)
[z + (1 + d2)d'/<J« (1
=
wiederum einer
-
z)]-h/d«
(1111)
negativen Binomialverteilung; die Form (41)
wird
durch die Parametertransformation
a
erreicht,
so
a
=
[(1 + d2)d''d'
-
l]-i
daß also
Wk
was
h/dx,
=
(± + k
=
l\
-
(1 + d2)-(h/W-Wdx/d.) [(l + d2)d./d.
-
l]k,
(1112)
aufgestellte Behauptung beweist (siehe [78]). Setzt man
Ansteckungsparameter di und d2 einander gleich, so ergibt sich wieder
die auf der letzten Seite
die beiden
(1107).
Ein
Spezialfall von (1110) ist die Möglichkeit
Rs
=
Sr
Ss
=
=
0,Rr
=
(1113)
^li,
gewisse Plausibilität nicht abzusprechen
(1112) entsteht
der trotz ihrer Einfachheit eine
Limesbildung d2
-*
0 in
Wk
Betrachtet
man
-
1
\ e-fc (1
=
-5^-1),
aw
Gegensatz zu (1108) in
Ansteckungsparameter di steckt.
1.4.4 Das Modell
Der Fall y
=
-
e-d0
A.ed.(ed.-l),
=
bemerkt man, daß im
Mittelwert der
y
(±- + k
die Momente
^
so
=
ist. Durch
=
von
(1114)
diesem einfachen Modell bereits im
Woodbury[Butherford
0.
0 bedeutet, daß zusätzlich noch C
Rs
=
Ss
=
0, anders ausgedrückt
=
0,Sr=-Rr
(1115)
Beim Zug einer schwarzen Kugel geschieht also nichts ; wird hingegen rot gezogen, so
sollen Rr schwarze Kugeln durch ebensoviele rote ersetzt werden. Gegenüber (1102)
wird damit der Ansteckungseffekt verstärkt. Bemerkenswert ist ferner, daß bei diesem
Verfahren die Gesamtzahl der
Wahrscheinlichkeit,
verlangt werden, daß
Da die
Kugeln
schwarz
immer
zu
n
38
gleich groß
ziehen,
<
S/Rr
in
bleibt.
jedem
Fall
positiv
sein
soll, muß
(1116)
Das vorstehend beschriebene Modell ist
Arbeit
Woodbury [76] (siehe später)
Aus (193) folgt zunächst
von
z
Die k-te
=
Ableitung
(e«B + 1)-i/b
und
einer Funktion
(1 + euB)a kann
Bk
geschrieben werden,
beachten ist, daß
Für f £>> (u)
Rutherjord [63]
von
in
Anlehnung
f0 (u)
=
(e«B + 1)-b/b e^u
wobei die Koeffizienten
Cq
ergibt sich mit Hilfe von (1118)
«• (u,=»*. «,.+1,-»
am
einfachsten in der Form
=
cf
\
in
(25)
t_0
(I 118)
definiert sind. Besonders
en(z)
=
=
(1
-
zB)N/bz-s
daher
|o( ; ) (^)'-'2o cf <-1,. J&A. (^y
A
fR^'
2o(v) (^)"V i cf (- 1)1
(1
Entwicklung
zienten
von
zB)l
dieser
Doppelsumme
nach Potenzen
(1119)
von z
liefert für den Koeffi¬
zk :
"'-xmyL&i-^*1^/v>.
Bequemer
-
zN(l-zB)-N/Bfn(z)
-£®fflZi^*-»
Eine
zu
sein soll.
/R
fn(z)
eine
(1117)
2 Cf eUBiÄ <V + !)a|v=eUB
voraussetzungsgemäß
an
untersucht worden.
ist es, sich mit den faktoriellen Momenten der
,
Ogk^n
Verteilung
zu
(1120)
befassen. Da
folgt durch Koeffizientenvergleich sofort
-»^ig^i^Kf)'.
dl«)
39
insbesondere also
[mit
c£
=
2J-1
—
1]
-î(4+')[(T+'r-»(*+>r+'i
*-(ïn("+^-(T+'r]+T[("+"r-(-î+»r]
Die
Ergebnisse
für w<*[i] und wa[2] lassen die
Vermutung aufkommen,
daß
(1121)
auch als
w-i:^-,l(-1)'(ï)(^i
geschrieben
werden kann. Das ist in der Tat
cj>
kann Formel
(1121)
=
(-l)*+i/k!
;
wenn man
ct
=
1)"
<I122>
bedenkt, daß
0für0<j<k,
in
^%<m'}Lê^L
W<X[k]
umgeformt
und
so
+
werden. Setzt
man
hier die Definition
von
c^
ein,
so
ergibt
sich
«'«=i|ij%(n(^R)(ï)(^->>),+----^[(•+4Mï)('+*-«ir+-+<-""-i(ti1)(i+#)"+(-1)'].
was
offensichtlich mit
(1122)
identisch ist.
Die Formeln für die ersten faktoriellen Momente
auch in
40
[63].
(mit R/N
=
p,
B/N
=
c) findet
man
Pôtyasche Grenzübergang.
Der
(1106)
Ansteckung
Wie in
werde auch hier der
Grenzübergang für seltene Ereignisse und schwache
n-*oo
R/N
B/N
vorgenommen.
=
=
q
->
0 mit ng
ß
-*
0
h, nß
=
=
b
Ausgehend von
M4u]-|oWMs=k|o4J^-»" i MIM)'•
'(f)
schließt
man
x°
MnM->2
und da, wie
man
sich leicht
bl
'
akI c£fr
=
M[u],
überzeugt,
k!2 4^,!
=
(eb-l)k.
j=k
folgt
weiter
Mw
S
=
mit wotM
Es ist also wieder eine
[°(et>k71)P
/m
=
t1 + «u -ebw-h/b
=
(eb
—
/h\
-
!)*
negative Binomialverteilung entstanden
Wk
=
/-£- +
k
-
l) e-n (1
-
(i123)
mit
eb)*
(1124)
Die beiden sonst wesentlich verschiedenen Modelle
(1113) und (1115) stimmen also
völlig überein.
Der Vorteil des S. 36 durchgeführten Verfahrens zur Bestimmung der
Grenzverteilung
wird hier besonders augenfällig. Es ergibt sich nämlich
im Grenzfall
Da
[1 -f (B/N) v]n
->
ebv
strebt, folgt unmittelbar
En (z)
->-
[z
—
(z
—
1) eP]-wb
41
Auch
Sousselier/ Ramel [69] gehen
vom
Schema aus, benützen
gleichen
eine
jedoch
weitere vereinfachende Annahme. Ihr Grenzfall
Wk
unterscheidet sich aber
=
nur
/-5. + k
-
l] (de-d)k (l-de-d)H/d
in den Parametern
(1124) [h/b
von
H/d,
~
1
—
eb
~
de-«].
Die Momente
^w
sind etwas einfacher
<&
H/(l-d),
handhaben als
zu
Verallgemeinerung
Wie schon
=
H/(l-d)«
=
(1114).
des Modells.
bemerkt, hat Butherford bei seiner Herleitung das allgemeine Modell
Woodbury [76]
als
Grundlage benutzt,
das
zwar
im Rahmen
unserer
von
Betrachtung
ist, hier aber doch interessehalber erwähnt werden muß. Während
Butherford-Modeü nach jedem Zug B Kugeln ausgewechselt werden, d.h. die
Wahrscheinlichkeit, rot zu ziehen, mit der Anzahl der „roten Ereignisse" linear
anwächst, kann bei Woodbury die Anzahl B von Zug zu Zug variieren. Mit dieser
Annahme kann einem wichtigen Argument gegen die Ansteckungsidee begegnet
werden (siehe Seite 31).
Sei Bj, j
1, 2
n, die Anzahl der nach dem j-ten Erfolgszug ausgewechselten
nicht enthalten
im
=
Kugeln
...
und bezeichne
Vt
die
±(R+gB,),
=
Wahrscheinlichkeit, nach
k bereits
po
=
R/N
eingetroffenen Rotzügen neuerdings
ziehen, dann hat die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung
{Wt}
nach
rot
zu
Woodbury
die Gestalt
k
Wk=popi...pk-"
_
Im
1
y
jéo (Po
~
PJ)
•
•
(PJ-1
(1-Pi)n
Vi) (PJ+i
-
-
Pj)
•
•
•
(Pk
-
Pj)
P<%aschen Grenzfall
n
-voo
k
geht
R/N
=
po-> 0
Bj/N
=
/?j->0
mit npo
=
Xq nßi
,
=
bj
und
fa
=
Ao +
k^
1
Gleichung ist seinerzeit bereits von Lundberg [51] als Lösung des zeithomogenen
(in der Einheitsperiode t
1) hergeleitet worden.
etwas kompliziert erscheinende Summenterm läßt sich, gegebenfalls bis auf ein
Prozesses
=
Vorzeichen, als Quotient zweier Determinanten interpretieren,
Wk
42
>
die Wahrscheinlichkeit über in
Diese
Der
2 DJ
=
(-l)tAoA1...Ak_1^,
wobei Dk die Vandermondeache Determinante
IV .%
lAi
%
Dk
=
i7(Ai
=
-
Aj)
1&...XÏ
bedeutet, A\c
k,
j =0, 1
diese
Eine
weniger
Sr
neben
=
Determinante,
wenn
die letzte Kolonne durch die Werte
e_\
ersetzt wird.
...
weit reichende
—
Rr auch Ss
=
Verallgemeinerung des Modells wäre die Annahme, daß
Rs ( 4= 0) gelten würde. Diese Möglichkeit soll jedoch
—
nicht weiter erörtert werden.
1.4.5. Ein
pessimistisches Modell
Aus
und
(I 99)
sich
(I 93) ergibt
A + B
und,
wenn zur
A + B
Abkürzung
z
va+1
=
Rr
=
=
z-<A+B>,
A + B
Q gesetzt wird,
(Qu)-VQ
=
l
<x+l
fo(u)
=
(Qu)-R/Q[(Qu)
a+1
-
lp/B
(1125)
Was bereits in 1. 4. 3 zur entsprechenden Formel (1101) gesagt wurde, gilt in
Weise auch hier. (1125) wird einfach in den beiden Fällen a
0 und a
=
a
soll, wie anläßlich der Untersuchung
0
=
von
(1101) erwähnt,
gleicher
=
—
2;
nicht weiter disku¬
tiert werden.
Der Fall
a
=
—
2
a
=
—
2.
bedeutet, daß neben B
Rs
=
2
=
—
Rr,
C noch A
Sg
=
—
=
Rr,
—
Sr
2B
=
0
gelten soll, d.h.
(1126)
Wird rot gezogen, werden also zusätzlich Rr rote Kugeln zurückgelegt, bei einem
schwarzen Zug hingegen doppelt so viele rote Kugeln, wobei zudem noch Rr schwarze
herausgenommen werden. In beiden Fällen wird demnach das rote Element verstärkt,
beim Zug einer schwarzen Kugel jedoch viel intensiver. Wird das Ziehen einer roten
Kugel als Unfallereignis interpretiert, liefert dieses Schema das Modell für eine recht
pessimistische Anschauung des Unfallgeschehens.
Wie beim Modell
um
Für
Rr
a
zu.
=
-
von PôlyajEggeriberger
Bedingung (1116) aus 1.4. 4
2 ist
Q
=
A + B
=
B(a + 1)
fo(u)
=
(1
-
nimmt die
Gesamtkugelzahl bei jedem Zug
gefordert werden.
muß auch hier
=
C
=
Rr, also
Cu)-N/c(Cu)s/°
43
In
gleicher
Weise wie in 1. 4. 3 schließt
man
r(^-
ffr>(u)
en(z)
=
=
Cn(Cu)«W(l
_
Cu)-<W)-n
U)
| (J)
+
n-T)
a
r(—+i)
vj
IC
j
GH*"")
/!-£,
Y
(z°-l)<N/c>+nfn(z)
r(£-+»)
Entwickelt
man
'
'-'
die Funktion
'
r(è-'+»)v
2 av(l
z)v
—
zn-v nach Potenzen von z, so
zeigt die
v=0
Wahrscheinlichkeitsverteilung
die Gestalt
^=414-2<-" (?)(»'"*) i^+k">)
r(^- nj
+
wobei die
^^n
J=o
Beziehung(j,)(°)
Probeweise sei
W
Die k-fache
=
k^r^
(v)(
i,
_
wa[k]
(um
l)
Wo berechnet
=
\°
/
\C/
_.S
S-C
-
N + C
r(£-.+l) r(»+.)
Ableitung
der eF
S-(n-l_)_C
•'
N+(n-l)C
(1127) führt auf den Ausdruck
n(n-l)...(n-k+l)—^
k
f£
(- 1)J
r(*- + n)j-.
woraus
voiti,,
) Verwendung fand.
r(l"+1)
=
+ k-n-j +
/kNr(T- + n_j)
7 H/Ï
f.
(r 129)
^r(f-j + l)
sich insbesondere
^=N+^rij-[R + C(n-l)]
«+Wn
=
[N +
ableiten lassen.
44
C(n-nin~^+C(a-2)]
i;
&> + CR(2n
(I130)
"
3> + °2(n
"
J> <*
~
2»
Pt%asche Grenzübergang.
1. 4. 3 und 1. 4. 4 analogen Grenzübergang durchzuführen,
Der modifizierte
Versucht
man
den
zu
man feststellen, daß der Limes nicht mehr existiert. Um dessen Existenz
sichern, muß folgende Modifikation vorgenommen werden:
wird
zu
n->oo
K/N
e-*0 mitne
C/N=<5->0
=
Behauptung:
=
n<5-*0,
b.,
n2(5
Voraussetzungen
P-Verteilung
mit Parameter h + cL
zu
(1131)
d
strebt die
Unter diesen
Relativ einfach ist
=
Verteilung (1128)
gegen eine
zeigen, daß
W0->e-b-a,
denn nach
(2) folgt
/S\S/C /N_
w,..
0
/N
,
(1--5)»
Auch der
\<N/C)-1
±zQ
1-8
'
J
_
V°/
/
V°
,\(N/C)+n-l/S
—
\(8/0)-n
(1 + J^.j» \+ 1-«5J
Grenzübergang
(i-3)
q-e)
*-*+„
1
1-6/
\
e»
6
!-«,„
~e
(1130)
in
ftvr-*- h + d
wa[2]->(h + d)2
Hypothese. Zu einem allgemeinen Beweis ist aber weder (1127) noch
(1129) gut geeignet. Zu diesem Zweck greift man am besten auf die Differential¬
gleichung der eF zurück. (1127) läßt sich, wie seinerzeit (1103), mit Hilfe einer hyper¬
geometrischen Funktion schreiben
stützt
unsere
En(z)=z»P(-n,-|-;--J-n + l;-^l)
Nach
(9) gehorcht F(—
n,
—
-^-;
(l-z)(2F' + z3F") +
Die Substitution F
(1
-
=
z) {2(E'z
-
—
—
n
-f-1
z~
;
) der Differentialgleichung
(|-z + -§- + n-l)z2F' + n|-zF
z~nE führt
(1133)
En) -f z2[E"z2
+
-~-
-
in die
(1132)
Differentialgleichung
(1133)
0
=
der eF über
2nzE'+ n(n +1) E]}
(irz + 7T +
n~
l)z* (E'z~En)+ n-|z2E
=
0,
welche wir ordnen und durch n2 dividieren
E„r(l-z)z4j
E>r2z(l-z)
+
Ej(l-z)(-2
2z«(l-z)
+ z2) +
/
B
S
1
1X1
z3_z3^1+^|==0
45
Bei
Durchführung
Grenzübergangs (I 131)
des
komplizierte Gleichung
nimmt diese
die einfache Form
(' + *)-
d.
an, als deren
Lösung
unter der
Anfangsbedingung E(l)
E(z)
=
1 in der Tat die eF
e»+<i><z-i)
=
(1134)
erscheint.
PôlyajEggenberger-Modell
1.4.6 Das inverse
Der Fall
a
=
y
=
—
a
=
1.
—
1 heißt A
=
C und A + B
Rr
folgt.
=
Ss
=
=
0,
woraus
Rs
0,
=
Sr=V
(1135)
Vorgang zum Schema von Palya/Eggeriberger, werden
jedem Zug V Kugeln der anderen Farbe zusätzlich zurückgelegt. Man
Das ist genau der inverse
doch hier nach
hierzu die
vergleiche
Nach
(199)
Bemerkung
S. 37.
ist
u
=
—=-
f0(u)
Analog
wie bei
die eF der
(1117)
z
=
e_u
euS(l-e'lvrN/v
fortfahrend, gelangt
man zu
folgender Gleichung
Berechnung
î ß(4)rz
des Koeffizienten
von
*4*4",<i(l-z)n-i
zk erhält
man
Wo errechnet
man
—
wie
das Schema
es
r
w/
r
r/N_+\
46
N
s
s
N+V "•[N + (n-l)V]'
verlangt.
^w=
=
s
_
~
Die ersten Momente des inversen
^^
tu3"
sofort
(8Y
0_\VJ
(1136)
Wk,
*-i<-'M!::)ä!4|-i(i)Gr
Für
für
Verteilung:
*w-
Durch
in 1.4.4
=
log v,
Polya-Eggenberger-ModeMs
N+vV-1) (R + jL2—V)'
lauten
(1138)
[N+V(n-ni)][N+V(n-2)][R2 + BV^-2) + -g(n-2)(3n-5)]
Der
Das im
Grenzübergang.
pessimistischen Modell Gesagte behält hier seine
Grenzübergang (1131) an, so läßt sich
Verteilung (1137) gegen die P-Verteilung
Zusammenhang
Gültigkeit
bei. Wendet
zeigen, daß
die
mit dem
man
den modifizierten
e-[h+((1/2)][h + (d/2)P
k!
strebt. Das
war zu
erwarten, da eine
Limesbetrachtung
,uw->
in
(1138)
h+(d/2)
w«[2]->[h + (d/2)]2
liefert.
Die Modelle der ersten
0) führen im Limes zu
Gruppe (a
verteilung, während diejenigen der zweiten Gruppe (y
Grenzübergang einer P-Verteilung zustreben.
einer
=
=
—
negativen Binomial1) im modifizierten
1.5 Gemischte Modelle
Die in den letzten drei Abschnitten
denselben
Verteilungen führen,
besprochenen
Effekte sind, da sie teilweise
zu
in der Praxis schwer auseinanderzuhalten. Anderseits
ist
zu
sagen, daß sie meist nicht einzeln sondern kombiniert auftreten werden. Es sei
daher im folgenden versucht, einige gemischte Modelle darzustellen. Im allgemeinen
entstehen durch eine
suchung erstreckt
verteilung.
1.5.1 Gemischte
Die
derartige Verquickung komplizierte Verteilungen;
sich auf diverse einfachere Fälle rund
die
negative
die Unter¬
Binomial-
Heterogenität
Voraussetzung
Kollektivität oder
von
1.3 und 1.4 behandelten
teilung
um
Ansteckung
führt
zu
verschiedenen,
in
Modellen, die die gewöhnliche Poisson- bzw. Binomialver-
ersetzen haben. Wird unter dieser Annahme
nun zusätzlich Heterogenität
gefordert, so muß notwendigerweise die allgemeine Formel (I 7) dem
neuen Tatbestand angepaßt werden. Als besonders wichtiger Spezialfall sei das Ver¬
halten der negativen Binomialverteilung als Grundverteilung einer näheren Unter¬
suchung unterzogen. Dabei beschränken wir uns auf zwei Standardformen
zu
im Bestand
(h
^piq1, 0<q<l
(h ^_1)Ar(A+l)-n-r, A>0,
+
(I)Pr
=
(II)Pr
=
*
+
worin q bzw. A als stochastisch variabel
aufgefaßt werden sollen. (II)
E(z)
[1 + A(l
z)]-h zu Vergleichen mit 1.2.4 geeignet.
Die allgemeinen Formeln aus 1.2.2 zeigen folgendes Bild:
eF
=
ist durch ihre
—
Wr==jh r-ljyqr(1_q)lidS(q)) Wr=^ r-lj|Ar(A+1)_11_rds(A)
+
+
B«
EW (z)
=[ (4^Y)'hdS (q)
B«
Ba
'
Ew (z)
=
/ [1 +
A (1
-
z)]-b dS (A)
(1140)
Ba
47
Die letzte
Gleichung entspricht (I 8).
Neben der Variation
von q bzw. A könnte auch eine solche von h in Betracht gezogen
werden. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist in diesem Fall weniger einfach, da h im
Binomialkoeffizienten auftritt. Die eF läßt sich aber ohne weiteres
s(h)
E-(*>
=
TW
angeben,
z.B.
ya,a(h)
=
/(-^r—h-dh= (l + |log^)-'
(1141)
o
mit«w
=
~
—
—,'
a
p
(%w
=
-
—
(—!——
ap^a
P
+ 1
/
Der Parameter q in (I) variiert im Einheitsintervall; als Strukturdichte kommt
deshalb, wie in (I 33), wieder die Verteilung (50)
^^=mo)pp_lqQ"1
in
Frage.
Damit
ergibt
sich
»» +
W.-(",'-')
Bei der
Herleitung
der eF verwendet
Ew(z)
Die Verwandtschaft
1.
P=Q
=
zu
=
(136)
(h + r)(h +
nicht mehr konstant wie in
3.
P->oo,Q->oomitP/Q
[1
=
->
Grenzfällen auf.
qz)/p]_h
oo
mit
+ A (1
P/h
—
p/q
Ausgangsverteilung
=
z)]-Q
1/A
wieder
negative Binomialverteilung
P->oo,Q->oo,h->oo;h/P->0,Q/P->OmithQ/P
Ew (z)
48
[(1
—
->oo,h-+
->
analogen
Q;z)
(137) !
Ew(z)-*1
Ew (z)
h + P +
r+l)Zr'd-h- Wr=(h + r)(h + r+l)>
Ew(z)->0
4. P
5.
tritt auch bei den
P->oo
->
neuerdings (11)
B(b(p>q)Q) F(h, Q;
Q -* oo oder h ->- oo
Ew(z)
(I. 42,
1
Ew(Z)==hj0
2.
man
&-«
eA<z~ «
P-Verteilung
=
A
(1143)
Schließlich sind die Momente durch
_
<aw
=
Q
u
h-F—j-,
T(h + k) B(P-k,Q + k)
„2
<7W
definiert, ihre Existenz hängt also
(II)
einige der
Der Parameter A in
streben, gehen
wir
=
UT>(P+Q-l)(h +
nP
der Größe
von
P-l)
(P_1)2(P_2J
ist in 0 < A <
oo
von
P ab.
definiert. Ohne
Vollständigkeit
anzu¬
in 1.2.3 behandelten Strukturfunktionen durch.
Gamma-Verteilung.
Ew(z)
=
-^ j[l + A(l
-
z)]-*e-*AA«-i
dA
o
Wr
^^^(j^^^-^l^-^iT^)' \z\<]jh r-lJ^r+_^ea/2aa+h2 W^^^^^^^a)
*
+
=
(I144>
T(h + k) T(a + k)
r{h)
r(a)
w-wi-
jMw=h-|-)
<rw
=
h
1
ak
^-(a +
oc
+ h+1)
Beta-Verteilung nach (116).
A,
Ew&
(AlBffo)P"Q/[1 + A(1
=
z)]_h(A
~
-
Ao)P_1 (Al
-
A)Q_1 ^
A.
[1 + A0(1 -z)]-*F[h,P;P+ Q;
=
_/h + r-MA5(l
W
Wr-l
)
r
•
Für
Ao
+
Ao)-h-r i /r^/Aj-ApV
jéoVJ/l
B(P,Q)
B(P +
(\°+£?{ilSj 3
Ao
j
(11*5)
'
j,Q)F(h + r,P + j;P + Q + j;4Ç^)
(1146)
0 vereinfachen sich die beiden Ausdrücke wesentlich
=
Ew(z)
=
F[h,P;P+Q;Ai(z-l)]
(1147)
W.^(h + ;-1)^Bg yg(h + r,P + r;P+Q + ,;-A1)
+
Wie
es
(1147)
muß, geht für Ai
(I 36) über.
sein
in
Mit Hilfe
von
(1147) ergibt
=
1 und Vorzeichenwechsel bei h und
sich als
Verallgemeinerung
von
z
—
1 Formel
Gleichung (I 23)
der
Grenzwert
Q
Um F
[h, P;
P +
QAi; Ax (z
-
1)]
=
e^
1
P+h-l
i^-j^-j-*— W(1_P_h)/2,
(P_h)/2
(-^L-)
49
Der Beweis
liegt
in
(122) und (1144).
Aus
(117) und (1140) kann sofort eine allgemeine Formel für die Momente von (1146)
aufgestellt werden. Insbesondere findet man
r
ßw
o-w
+
=
=
h[A0 +
(Ai
—
p
A0)
jqri
hAo(Ao + l) + h(Ai-Ao)(2A0 + l)- P
P
+ Q
h(A1-A0)2(p + Q)8(P + Q + 1)[(P+l)(P + Q) + hQ]
Typ V.
Darstellung muß
Pearson
Zur
wieder die Whittakersche Funktion
(17) verwendet werden.
1.5.2 Gemischte Kollektivität
Das
allgemeine Kollektivschadenmodell
kann mit einer
in 1.3.1
Überlegung verallgemeinert werden.
entsprechenden
Statt wie dort die Unfallzahl PT als Poisson-ver¬
teilt anzusehen, sei die Annahme getroffen, infolge Heterogenität oder Ansteckung
sei eine andere Vf geeigneter. Wie in 1.5.1 sei als Beispiel die negative Binomialver-
teilung betrachtet, und zwar (aus Gründen der Vergleichsmöglichkeit mit 1.5.3) in
der Form (1107). Für die Verteilung der total eingetretenen Schadenfälle bedeutet
das
^-(dTî^i^ j-^TTT)1^
<1148)
+
Ew(z)
fly?
hflt,
—
ffw/jWw
Einige Beispiele gemäß
A.
{l +[l-Ef(z)]d}-ö/d
=
<TW
(t^lfit)
=
h
=
+
[ff?
+ (1 +
tfyjf
als
d)$]
Analogon zu (152)
1.3.2 :
{fr} geometrische Verteilung.
Ew(Z)
Wr
=
(l+d^£^)~h,d
Ar
=
(1 + d)h/d
h
i"w
Eine
=
^rX'
-^ /h
,
.
(1149)
,\ /r-l\ /
50
1-AV
4(i+J-,)(fZj)(TiT
gw=(1_A)2(A + d+l)
einfache, handliche Gestalt nimmt die Verteilung
die Unfallzahl ist selbst geometrisch verteilt mit
p'=
d
drr(dir)r'
'-<u.a.
im
Spezialfall
h
=
d an, d. h.
Dann ist
r
=
0
r^l
(1 +
Setzt
(A + d)/(l + d)
noch
man
B, dann lautet das Schlußergebnis
=
1
W0
=
1 + d
d
Wr
=
1+d
(1150)
(l-B)Br-i,
r
=
l,2...
Verteilungsgesetzes zeigt dasselbe Bild
0 eine
sprochene Schema. Hier wird für den Punkt r
ausgeschieden, der weitere Abfall erfolgt geometrisch.
Der Aufbau des
=
Die eF
(I 71)
be¬
diskrete Wahrscheinlichkeit
(1149) geht über in
1—Az
Ew(z)
B.
wie das in 1.3.2.F
A
1 —B
1
1 —Bz
d+1
^
(I 151)
1-Bz
{fr} logarithmische Verteilung.
Ew(z)
Eine
Verteilung
von
d
.
1
=
—
-j
logq
1
,
log&
pz -h/d
—
(I 152)
—
q
gleichem Charakter trat in (1141) auf. Das drückt die
Verallgemeinerung der in (I 60) ausgesprochenen Äquivalenz
genau
Tatsache aus, daß in
gilt:
Neg.
Binomial /\ Gamma
^W
C.
_
1
q
log(l/q)
2
~
_
°W
'
~
logarithmisch
Binomial V
1
hp
[1
q2 log(l/q) [L
pd
,
+
log(l/q)
{fr} P-Verteilung.
Ew (z)
Ew(z)
Bei
hp
Neg.
~
(1153)
z.
=
=
[1 + d (1
1+d
1
-
-
1
cr
edz-i)
—
Y
—
r
/tw
steckung,
e^-1»)]-^«1
-h/d
(bei Verschiebung)
(I 153)
(bei Stutzung)
e-0
B. lauten die weiteren charakteristischen Größen
W
Eine weitere
z
(l +
=
4. •_
d)Wd,f0^d +j
h(l+o),
Möglichkeit,
/A
die
ow
=
h[(c
i\
l)
+
Verallgemeinerung
/
jr
(r-j)l \l
d
f d
e-c\i
cj
)
l)2(l+d) + c]
von
Schema 1.3.3 im Sinne der An¬
sei im nächsten Abschnitt behandelt.
51
1.5.3 Gemischte
Wir
gehen
(i
0,1
Ansteckung
der in 1.3.3 beschriebenen Urne
aus. Wird eine Kugel mit der Ziffer i
k) gezogen, so sollen anschließend neben der gezogenen Kugel Zij Kugeln
mit der Ziffer j (j
0,1... k) zurückgelegt werden. Zjj bezeichnet also die Anzahl der
zurückgelegten j-Kugeln nach einem „i-Zug", Zji diejenige der i-Kugeln nach einem
„j-Zug". Das auf diese Weise erhaltene allgemeine Schema ist nichts anderes als eine
Verschmelzung der beiden Schemata 1.4.1 und 1.3.3 und für nicht näher spezifizierte
Zjj ziemlich kompliziert. Wir beschränken uns auf die Angabe einiger einfacher Bei¬
spiele.
=
von
...
=
A. Schematische Ansteckung.
Der Begriff der schematischen Ansteckung
gemischten Modell bedeutet er, daß
Z1,
d. h. ganz
zl,,i
=
=
trat bereits in 1.4.2 auf. Im
vorliegenden
0)l...k,
(1154)
unabhängig davon,
Ergebnis
Zug zeitigte,
k in die Urne zurückgelegt. Bei die¬
Ak Kugeln der Ziffern 0,1
jeweils Aq, Ai
sem schematischen Vorgehen ist es wieder zum vornherein möglich, die sich ständig
ändernde Wahrscheinlichkeit, eine Kugel mit der Ziffer j zu ziehen, anzugeben. Sie
beträgt im v-ten Zug
was
für ein
der letzte
...
Der zu
werden
...
(1100) analoge Grenzübergang für seltene Ereignisse und schwache Ansteckung
n
pjvl-*0mit 2PÎvl
n->oo,
führt, wie
^
=
multiplen P-Verteilung, genau gleich wie sie aus
Ansteckung hervorging [Formel (175) bzw.
(I 76) für k -> oo]. Eine schematische Veränderung des Umeninhalts ist also auch hier
im Endergebnis ohne Einfluß.
dem
zu
erwarten war,
zu
Kollektivschadenmodell
einer
ohne
Das Modell ist mit einem unwesentlich anderen Ansatz in
[58] enthalten,
wo
auch der
Grenzübergang streng durchgeführt wird.
B. Das erweiterte
Polya/Eggenberger-Modeü.
Wie beim Modell 1.4.3 werde die
Voraussetzung getroffen, daß stets A Kugeln
zurückgelegt werden, d. h. es sei
von
der Farbe der gezogenen Kugel zusätzlich
H»
Wählt
man
ni... nj£
w,
ni
das Verfahren
von
1.3.3,
Kugeln mit den Ziffern 0,1
n!
nk
um
...
k
erst die
zu
Wahrscheinlichkeit, in n Zügen
zu berechnen, dann folgt
N0(No + A)... [N0 + (n„
l)4]Ni(Ni + A)... [Nk + (nk
N(N + <d)...[N + (n- 1)A]
n0!nil...nkl
-
k
£L +
Wr
52
=
n-llj-o\*
2
no,
ziehen,
Wni>
n3
)
-
1) A]
Wir
gehen
sofort
zum
Pôlyaschen Grenzübergang über,
No/N
q,
=
Nj/N
=
j
p,,
=
1,
2
setzen
...k, aßS
zu
diesem Zwecke
à
=
(1156)
und verlangen
n->-oo,pj-»0,
Einige
einfache
Umformungen
<5
lassen
->
0 mit npj
hj,
n<5
d. h. wie bei 1.3.3 ein k-faches Produkt
sich als
eine
d
(1157)
v
nk:
~*R ("^ + J "x) ("dry)"' (î+W
Produkt
=
erkennen, daß
ff +a°-1)
"nt
=
von
negativer Binomialverteilungen.
•
<* 158>
P-Verteilungen,
resultiert hier ein k-faches
Läßt
man
noch k
-* oo
streben,
so
ergibt
endgültige Grenzverteilung
multiple negative Binomialverteilung.
i
w»
=
°°
(dTr)
Wl==WodTT
W2
=
Wo[
h2
(I160)
.
d + 1
'
1
hi(hi + d)
2
(d + l)2
Deren eF lautet
Ew(z)=/7[l + (l-zJ)d]-hJ/d,
Mittelwert und
Streuung sind
A*w=2ihJ.
aw
=
(l +
J-i
Wie schon bei
zugehörige
(1161)
(I 77)
läßt sich das
d)5i2h]
i=i
am
einfachsten
aus
der Tatsache
herleiten, daß die
stochastische Variable f als Summe
*
=
fi + 2fc +•• + ]£&+
—
53
von
negativ binomial verteilten stochastisch unabhängigen Variablen dargestellt wer¬
Verteilung (1159) lassen sich wieder
den kann. Die unendlich vielen Parameter der
spezialisieren, beispielsweise führt
hi
zum
=
h
0,h2
4=
=
h3
=
•••
=
()
Ansteckungsmodell (1107) ohne Kollektivität.
hi, h2
=1=
0, h3
=
h4
=
•
•
•
=
0
ergibt
X- (h, + h0
Anderseits kann
man
die
hj
wieder
abnehmen lassen. Die entstehenden
wie beim
(wie die Aj in 1.3.3) nach einem einfachen Gesetz
Verteilungen sind allerdings nicht mehr so einfach
gewöhnlichen Kollektivschadenmodell.
Beispiel:
h,
Ew(*)=/7[l
ocpl/j
=
+ d(l-zl)]
a
pl
d
j
J-i
A»w
Es wäre ein Irrtum
zu
=
<rw
"TZy»
glauben, daß
in Analogie
zwischen den Modellen 1.5.2 und 1.5.3.B
etwa
von
der Form
hj
teil. Um eine Identität
=
zu
hfj,
-
(1.^)2
a(l + d)
zu
ausgesprochenen Satz
Zusammenhang,
beiden eF verrät das Gegen¬
dem Seite 29
neuerdings
ein einfacher
bestände. Ein Blick auf die
erreichen,
jj [1 + d (1
=
müßte
zl)]-»J/d
=
[1 + d (1
-
ffj zi)]-n/d
J-i
i=i
oder
fhjlogtl +d(l -zi)]
=hlog[l +d(l
-
|fjzl)]
d, falls die Entwicklung des Logarithmus nach dem 1. Glied abge¬
kann, stimmen beide Seiten der Gleichung für hj
hfj überein, an¬
sein. Nur für kleine
brochen werden
=
dernfalls sind sie voneinander verschieden.
C. Ein neues, das
Unfallgeschehen besser widerspiegelndes
Schema.
PolyalEggenberger-Modell beruht auf der Annahme, daß nach dem
j-Kugel A + 1 Kugeln dieser Art zurückgelegt werden. Das mag für ge¬
wisse Interpretationsabsichten nützlich sein, im Falle des Unfallgeschehens scheint
die Voraussetzung jedoch völlig unrealistisch. Es ist wohl kaum sinnvoll zu behaup¬
ten, daß z. B. ein Viererunfall (Ereignis mit vier Schadenfällen) die Wahrscheinlich¬
keit für Viererunfälle erhöhe. Um diesen offensichtlichen Mangel zu beseitigen, sei das
Modell (1155) folgendermaßen abgeändert :
Das erweiterte
Zug
54
einer
Auch hinfort sollen beim Zug einer O-Kugel (kein Schadenereignis) A O-Kugeln zu¬
sätzlich zurückgelegt werden; hingegen werden beim Zug irgendeiner der restlichen
Kugeln zwar ebenfalls total A Kugeln eingelegt, diese aber proportional zur Kugel¬
anzahl Nj auf alle Sorten (außer 0) verteilt. Das hat zur Folge, daß beim Eintritt
irgendeines Kollektivunfalls die Unfallwahrscheinlichkeit generell für alle Unfall¬
möglichkeiten etwas erhöht wird.
Das
so
in Worten beschriebene Schema läßt sich ausdrücken durch
Zjj
=
A
i
=
0
i
=
(.NjZJ/(N-No)
Die
Wahrscheinlichkeitsverteilung
von
1 bis k
Wn'
zu
0
0,j
0, j 4= 0
i=t=0,j*0
=
leitet sich wie
und i =t= 0,
j
=
(1163)
0
folgt ab (Summationen
sind stets
erstrecken) :
ni
nk~
'
.
n0!ni!...nk!
N0(N0+^)...[No+(no-I)z<]N?.Nl,...N^[(l+^-)(l+-jfr)...(l+^gj)]
N(N + /l)-"[N+(n-lM]
_
\ä
M-NMl
"o
+
gleichen Maßnahmen wie in (1156)
Wn
1
\
(1
-xUnJ
rfem)
(£ »-l)
und mit den
/l
und
27nj-l\]
nv,'
(1157) ergibt sich
H*»)
dSnj
d
(d+D
wobei der Grenzwert des ersten Quotienten bereits aus
Wahrscheinlichkeitsverteilung hat somit die Form
suchte
\a + lj
„, + ...+IBr
=
T\
snj
i-
/\1
/
/
v=l
\
\
(1158) hervorgeht.
(k -» oo)
Die ge¬
Ä'
<I164)
^
£1yh.
Pv
55
ein
Gebilde, das allerdings im Vergleich zu (1159) reichlich kompliziert
l
Ein Blick auf
men.
Wi
=
W2
=
W0
°°
hi
d + 1
(^r)2
h2
W0
(1160) zeigt,
anmutet.
d+1
daß die ersten beiden Wahrscheinlichkeiten übereinstim¬
W2 wird aber nur gleich, falls
/
hi
y
\d+i;
hi ++ h2 + d
hi(hi + d)
(d+1)«
hi + b2
0 folgen muß. Desgleichen
notwendigerweise h2
chungen für W3 das Verschwinden von h3 folgern usw.
woraus
=
Umgekehrt ist
sofort
kann
man aus
den Glei¬
ersichtlich, daß für
hi
auch dieses Modell in die
=
h, I12
=
h3
=
...
=0
gewöhnliche negative Binomialverteilung
(d"
übergeht.
Notwendig
*
+
J- *] d*(d +
l)-'-(b/d)
und hinreichend für die Indentität der Modelle B und C ist
folglich das
Verschwinden sämtlicher Parameter, ausgenommen hi.
Dem Fall
w
_
r
/_L_\t<hl+h,)
\d+V
woraus
56
(1162) entspricht hier die Verteilung
V
(4(hi + h2) +
n,+&,-r\d
ni
m
+
+ n2
na-
l\/ d
/U+l
die Verschiedenheit des Aufbaus besonders klar
\n«+n. (m + ng)l
ht
hi +
h2J
hervorgeht.
m!n2!
'
Kapitel
Die
II
Verteilung der Schadenhöhe
Die Untersuchung der Verteilung der Schadenhöhe bietet weniger interessante
Aspekte als diejenige der im letzten Kapitel zur Behandlung gelangten Schadenfälle.
Wir beschränken uns auf die Wiedergabe einiger allgemeiner Gedanken im ersten und
diverser Beispiele im zweiten Abschnitt.
Allgemeine Betrachtungen
2.1
gewisse Schadensumme X nach sich, die je nach den
Teil durch die eingegangene Versicherung gedeckt
wird. Die Schadenhöhe ist, von wenigen Ausnahmen abgesehen, ebenfalls eine stochastische Variable, deren Vf mit H(x) bezeichnet werde.
Ihrer Definition nach könnte die Variable X natürlich einer diskreten Verteilung fol¬
für eine reprä¬
gen. Infolge der großen Spannweite der möglichen Werte ist es jedoch
sentative Statistik unumgänglich, mehr oder weniger umfassende, willkürliche Grup¬
pierungen vorzunehmen. Dieser Tatsache paßt man sich am besten dadurch an, daß
Schadenereignis
Verpflichtungen ganz
Jedes
man zum
ausgeht,
vornherein
wie
es
zieht eine
oder
von
zum
einer
Grundgesamtheit mit der Dichte h(x)
eingebürgert hat.
die Vd h(x) gestellt ? Da X nur positive Werte an¬
stetig
verteilten
sich in der Literatur auch
Was für
Forderungen werden
nehmen
kann, soll die Verteilung unilateral sein. Des weiteren hat
an
man, wie
aus
Stati¬
hervorgeht, im allgemeinen mit einer großen Streuung und Schiefe zu rechnen
[48]. Verteilungen mit verschwindender Schiefe sind zur Darstellung der Schadenhöhe
in der Mehrzahl der Fälle ungeeignet. Aus praktischen Gründen wird vielfach die an
und für sich unwesentliche Annahme getroffen, die mittlere Schadensumme sei gleich
stiken
der Recheneinheit
i«H
=
/xh(x)dx
=
1,
Bh
was
eine
Bedingungsgleichung für die Parameter von h (x) ergibt.
Die weiteren
den
die
Überlegungen
Gedanken, die
zur
in 1.2 in
Wahl der Funktion
Bezug
h(x)
haben
auf die Strukturfunktion
gewisse
geäußert
Parallelen
worden
zu
sind;
Begründung ist jedoch verschieden.
A. Das übliche Verfahren.
Die
übliche, einfachste Methode besteht darin, eine längs der ganzen positiven Achse
definierte Dichte
zu
wählen. Dabei
ergeben
sich zwei
(1) h(0)
(2) h(0)
=
Möglichkeiten :
0
=1= 0
Unter der Annahme, daß Unfallereignisse, welche der Gesellschaft keine Kosten ver¬
ursachen, nicht eintreten bzw. nicht als Unfälle zählen, scheint (1) vernünftig zu sein.
Da allerdings Unfälle mit geringen Kosten nicht allzu selten aufzutreten brauchen,
wird daraus im allgemeinen ein steiler Anstieg der Funktion h (x) resultieren. Es ist
daher von Fall zu Fall zu entscheiden, ob die Wirklichkeit nicht besser durch eine
Dichte vom Typus (2) wiedergegeben wird, wo die Wahrscheinlichkeit dafür, einen
Schadenfall aus dem Kostenintervall [0, Ax] zu erhalten, von der Größenordnung Ax
[statt o (Ax)] ist. Fall (2) ist vielfach (siehe Beispiele) als Spezialfall implizit bereits in
(1) enthalten.
57
B. Nach oben
begrenzte Schadenhöhen.
Das
Versicherungsunternehmen hat ein Interesse daran, daß die Funktion h(x) vor
große Kosten ein möglichst getreues Bild der empirisch zu erwartenden Er¬
gebnisse vermittelt. Eine Begrenzung der Schadenhöhe darf deshalb nicht willkür¬
lich vorgenommen werden, sollen sich keine schwerwiegenden Fehler einstellen. Es
gibt jedoch Versicherungsarten, bei denen zum vornherein bekannt ist, daß ein ge¬
wisser Schaden xi nicht überschritten werden kann, sei es weil das versicherte Objekt
den Wert xi hat (z.B. Feuerversicherung, Totalschaden xi bei völliger Zerstörung des
Objekts), sei es weil in der Versicherungspolice ein Maximalbetrag festgelegt ist (z. B.
Reisegepäckversicherung, Diebstahlversicherung u. ä.). In solchen Fällen ist eine
Stutzung der Verteilung nicht nur wünschenswert sondern angezeigt. Das kann auf
zwei Arten geschehen:
allem für
(I) Eigentliche Stutzung im Punkt Xi.
Nach
kann die
(61)
Verteilung h(x)
auf das Intervall 0 ^
Xih{x)
hi(x)=
x
^
xi
reduziert werden:
O^x^xi
/h(x)dx
(II1)
o
=
0
x
> xi
Dadurch wird die Wahrscheinlichkeitsmasse des Intervalls
(xi, oo) gleichmäßig auf
das verbleibende Intervall
ersten der oben erwähn¬
ten
Möglichkeiten
[0, xi] verteilt. Das scheint in der
plausibles
ein
Modell
Hier werden nämlich die Werte in 0 sS
x
abzugeben,
nicht
hingegen
für die zweite.
< xi in normaler Weise angenommen, der
Maximalschaden xi jedoch überdurchschnittlich stark belastet, da ja für jeden Fall
mit X ^ xi der Betrag xi ausgeschüttet wird. Dieser Tatsache trägt (I) nicht Rech¬
nung (am gleichen Übel würde übrigens
teilung kranken), dagegen
(II)
auch eine in
Konzentration auf den Punkt xi.
gleichmäßigen Belegung
An Stelle der
triert
man
die Masse
von
des ganzen Restintervalls wie in
(xi, oo) auf den Punkt
hn(x)
=
=
=
C. Nach unten
Ähnliche
h(x)
0 ^
x
/h(x)dx
x
=
xi
0
x
> xi
Einmal wäre
wird
58
(112)
liegt
natürlich
darin, daß die Ver¬
begrenzte Schadenhöhen.
lassen sich für die
Region der kleinen
der kleinen Schadensummen kann
es
von
x
anstellen. Die Ver¬
zwei Ursachen herrühren.
möglich, daß eine Vertragsklausel die Auszahlung einer Summe erst
Minimalbetrag xo an vorsieht. In diesem eher seltenen Fall
einem bestimmten
(xo, oo) verschobene oder auf dieses Intervall gestutzte Vf zu Hilfe
was zu erwarten ist, bei einer solchen Bestimmung der Schaden
käme die Anwendung von B (II) in Betracht.
man
ziehen.
xo,
< xi
und diskrete Elemente enthält.
Überlegungen
nachlässigung
(I) konzen¬
xi.
Der rechnerische Nachteil eines solchen Modells
teilung hu (x) stetige
von
[0, xi] definierte ungestutzte Ver¬
eine in
Überwiegt,
Der zweite Grund ist anderer Natur. Wie schon in B.
gen
an
guten Angleichung
einer
im Intervall
angetönt, ist man vor allen Din¬
(xo, °°) interessiert. Es zeigt sich nun
zumeist, daß sich damit in einem nicht allzu komplizierten Modell nicht auch eine
gute Anpassung im Restbereich erzielen läßt. Die Miteinbeziehung dieser Werte
verfälscht aber auch das Bild der
Verteilung
oft in unerwünschter Weise. Das kommt
allem daher, daß bei kleinen Schadenbeträgen die
genug sind, da die Erfahrung lehrt, daß verschiedene
Stichproben nicht repräsentativ
Schadenereignisse gar nicht zur
Anzeige gebracht werden. (Man denke an die Motorfahrzeugversicherung und das
damit verbundene Bonussystem für unfallfreies Fahren.) Da der Anteil dieser Ereig¬
nisse, am Gesamtschaden gemessen, aber gering ist, läßt man sie beiseite und begnügt
sich mit einer im Punkte xo nach unten gestutzten Verteilung für den interessanten
vor
Teil.
Es wäre selbstverständlich auch
oben
gestutzte Vf anzusetzen.
in Kauf. Es
Bereich für kleine
x
Kombination
B. und C.
von
Zum Schluß sei
möglich, für
In A. nimmt
am
die Kleinschadenregion eine
vorteilhaftesten ist.
daraufhingewiesen,
daß in manchen
Versicherungszweigen außer
Schadenhöhe andere stochastische Maßzahlen dazu dienen
schwere
zweite, nach
die
Ungenauigkeit der Anpassung im
versteht sich von selbst, daß für gewisse Belange eine
man
der
können, die Unfall¬
charakterisieren. So wird in der
Unfallversicherung häufig die Unfall¬
Arbeitstage [66] als maßgebliche Größe verwendet, wel¬
che natürlich mit der Schadensumme eng zusammenhängt. Kleine Dauer
kleine
Kosten, große Dauer
große Kosten wird als allgemeiner Grundsatz gelten. Beson¬
ders angepaßt ist die Anwendung einer derartigen Maßzahl dort, wo im Prinzip eine
zeitliche Länge des Schadenereignisses versichert ist, wie z. B. in der Krankentaggeldversicherung oder, um einen modernen Aspekt zu berühren, in der Schlecht¬
dauer
=
zu
Anzahl verlorener
—
—
wetter-Versicherung.
zu
Die oben skizzierten Punkte sind auch hier stets in Betracht
ziehen.
2.2 Beispiele
empirisch gegebene Schadensummenverteilung könnte immer beliebig genau an¬
genähert werden, doch ist nicht nur wegen des zu erwartenden recht komplizierten
Ausdrucks sondern mehr noch aus theoretischen Erwägungen davon abzuraten, allzu
viele Parameter aus den Daten zu schätzen. Im Hinblick auf die im nächsten Kapitel
mit h(x) vorzunehmenden Faltungsoperationen wird natürlich auch eine relative
Einfachheit der Funktion nicht gering geachtet. Es sei im folgenden auf die wichtig¬
sten Möglichkeiten hingewiesen.
Eine
2.2.1 Feste Risikosummen
Der einfachste Fall, der sich
jedoch größtenteils
auf die
Belange
der Lebensversiche¬
rung beschränkt, schreibt zum vornherein vor, daß bei Eintreffen des Schadenereig¬
nisses eine feste, bestimmte Summe ausbezahlt wird. Die Schadenhöhe ist also keine
stochastische Variable mehr. Sind alle Risikosummen
gleich groß (= 1),
so
lautet die
Vf der Variablen X :
H(x)
=
«(x-l)
Sind verschiedene Summen xi, X2
lichkeiten
hj
=
W(X
=
=
{J *|}
(113)
möglich, deren Eintreffen durch die Wahrschein¬
xj) geregelt wird, so verallgemeinert sich (II 3) zu
...
H(x)=2V(x-xi)
(114)
i
Dieser diskrete Fall ist leicht überblickbar und soll nicht weiter diskutiert werden.
59
2.2.2
Beispiele
zum
üblichen
Verfahren
liegt nicht im Sinn dieser Ausführungen, auf Vollständigkeit Anspruch zu erheben,
gibt die folgende Zusammenstellung unter Beschränkung auf höchstens zweiparametrige Verteilungen wohl die meisten in Frage kommenden Modelle wieder.
Ausgang unserer Betrachtung bilde die Erwähnung der
Es
doch
A.
Gamma-Verteilung (53),
[16] zur Darstellung
der
die bereits in
Am selben Ort und in
Schadenhöheverteilung Verwendung findet.
[48] ist von der guten Angleichung durch die
logarithmische NormalVerteilung (47)
Verteilungen sind im Anhang charakterisiert. Sie weisen in ihrem Ver¬
lauf große Ähnlichkeit auf, so daß aus Gründen der leichteren rechnerischen Hand¬
habung oft mit A. an Stelle von B. gearbeitet wird. Es soll hier immerhin auf zwei
Wesensmerkmale hingewiesen werden, die Beachtung verdienen.
B.
die Bede. Beide
gleichem Mittelwert und gleicher Streuung
verteilung stets die größere Schiefe auf.
1. Bei
Beweis: Aus
(48)
und
weist die
logarithmische Normal¬
(55) folgen die Gleichungen
a/a
=
Ô6,
a/a2
Ô202(02
=
_
l)
oder, aufgelöst nach ô und 0,
a
=«1^1,
a
Eingesetzt
in
Y
cc
+1
'
0=l/°±I
y
oc
(49) ergibt sich für die Schiefe der Verteilung (47)
IW_(-±i+1)1/i±m_(1+±)£>£_m
2. Bei
J1-Verteilung liegen
der
die
Wendepunkte
der Kurve
,n5,
symmetrisch
zum
Modalwert, nicht hingegen bei der logarithmischen Normalverteilung.
Zweimalige Differentiation
Gleichung nach x ergibt
Beweis:
xi,2
während bei
=
von
(53)
und
Auflösung
der
^-(a-l±j^-~ï) xo±^T
=
(47) dasselbe Vorgehen
Xi,2
=
gleich
o
gesetzten
(«>1),
in die Formel
50-3±l/l + (2/IO8e)
ausmündet.
Neben A. und B. verdient als nächste die
C. Pearson
Typ V-Verteilung (58)
besonderes Interesse. Ein gewisser Nachteil liegt natürlich in der
für die
Momente,
besitzt auch einen ähnlichen
60
Existenzbedingung
Verteilung ebensogut anwendbar wie die anderen und
Verlauf. Eigenschaft 2 gilt für C. ebenfalls, da (zur
ansonst ist die
Unterscheidung
von
den Parametern in A. schreiben wir hier
ä, ä)
^fTT^Trrir*0 ±71+1
Setzt
man zum
Vergleich
(II5)
mit
5
a
d.h. ä
so
=
(a/a) (a + 1),
ergibt sich
ä
als Schiefe
=
(ä
a
"aJ
jedoch,
erhält
man
> 3 oder
wie durch eine einfache
in
Erweiterung
~
(S
-
l)2 (a
2)
-
'
+ 2,
.
Da
a2
a
"ä~~~ Ö~^T'
> 1
a
vorausgesetzt)
1/5-2
4
Kä
Umformung hervorgeht,
stets
(II 5)
von
(II 6)
ryi < LNyi < v7l
Die
Verteilung (58) weist also von den drei betrachteten Verteilungen
gleicher Streuung die größte Schiefe auf.
bei
gleichem
Mittelwert und
Wie die
Typ V-Verteilung
D. Pearson
hat auch die
Typ VI-Verteilung (60)
den Nachteil, daß die Existenz ihrer Momente nicht
zum vornherein gesichert ist. Es
analoge Überlegungen wie zuvor anstellen. Wir wollen nur erwäh¬
den gleichen Voraussetzungen wie in B. und C. für die Schiefe der
lassen sich mit ihr
nen,
daß unter
Ausdruck
Vin
=
2(2P +
q-l)]/^-^ly
berechnet werden kann. Dieser
zu
sehen, daß für
a
>
=
hängt
also
von
2, unabhängig
von
a, viyi > vyi
E.
a)^
beiden Parametern ab, doch ist leicht
ist, wir also eine Verteilung
noch
ausgeprägterer Schiefe vor uns haben.
Aus der Verteilung D. geht durch die Spezialisierung
metriges Modell, eine Abart der
von
2(2a +
p
=
1 ein
wichtiges einpara-
Parefo-Verteilung (67)
hervor. Dieses
h(x)
entsteht
aus
(67), indem
man
vornimmt. Wir werden der
x<>
=
=
q(x+l)-i-i
1 setzt sowie eine
Pareto-Verteilung
Verschiebung
um
nochmals im nächsten
1 nach links
Paragraphen
begegnen. Sie erweist sich in vielen Fällen für eine grobe Annäherung als recht brauch¬
bar und benötigt keinen großen Rechenaufwand, ist jedoch, genau wie der aus A.
1, die
folgende Spezialfall a
=
61
F.
Exponentialverteilung (57),
Exponentialverteilung bietet wohl die
analytische Kurve darzustellen.
Sie ist aus diesem Grunde (siehe auch nächstes Kapitel) sehr beliebt und findet sich in
vielen Artikeln zitiert und angewendet [7, 24, 44, 68]. Ihre Eigenschaften lassen sich
aus (53ff.) erkennen, insbesondere ist die Schiefe im Gegensatz zur Verteilung E.
unabhängig vom Parameter (=2).
mit
nur
einem Parameter
einfachste
Möglichkeit,
flexibel. Die
wenig
die Sehadenhöhen durch eine
/"-Verteilung seien zwei weitere Verallgemeinerungsmöglichkeiten der
Verteilung (57) vorgeschlagen. Die erste, ein Spezialfall der erweiterten Typ
VI-Verteilung (I 24), kann gleichzeitig auch als Verallgemeinerung von E. aufgefaßt
Neben der
werden. Setzt
G.
in
man
zweiparametrige
(124)
p
1,
=
erhält
so
man
eine
Pareto- Verteilung,
nämlich
h(x)
1/r
oder mit
h(x)
Für kleine
=
a(a
->
Verteilung (II 7)
=
i(l + i)-«+1>
1/q
aa,
=
=
a
a(l + aax)-[1+<1/«)],
a^O
a>0,
(117)
0) geht G. in F. über, während E. durch a
1/a erreicht wird. Die
vom gleichen monoton fallenden J-Typus wie E. und F., besitzt
=
ist
aber dank ihrer zwei Parameter einen nicht
zu
verachtenden Vorteil. Zur Existenz
des k-ten Moments
Hat
=
^(1_gk)
(l/a)kk!Tl_a)
notwendigerweise a < 1/k sein, so daß, falls sich die Verteilung nicht stark von
Exponentialverteilung unterscheidet, die ersten Momente sicher definiert sind.
muß
der
1
1
2
_
^H—al-a'
Vergleicht man
r~Verteilung, so
Ungleichung
die Schiefe mit
/ 1 \2
1
_
ffH~\a/
(1-<x)* (1-2<x)'
derjenigen der üblichen Verallgemeinerung, der
Gleichsetzung der beiden ersten Momente die
sieht man, daß unter
(II8)
ry\ ^ h7i
gilt.
Das Gleichheitszeichen wird im Fall X(r)
=
1,
a
=
0
(d. h. Exponentialverteilung)
angenommen.
Eine zweite
H.
Möglichkeit,
die
einparametrige Verteilung
F.
zu
erweitern, bildet die
Weibull-Verteilung [73],
andernorts, weil sie bei der Verteilung des extremalen Wertes einer Stichprobe auf¬
tritt, auch Extremwertverteilung genannt wird [40]. Wir benützen hier eine auf das
die
62
Intervall
(0, oo) transformierte Weibull-Verteilung mit der Vf
H(x)
«(aX>a,
l-e
=
(H9)
a,oc>0
bzw. Dichte
h(x)
Für
oc
=
1
geht
die
=
Verteilung
a(ax)«-'e
in die
a
Exponentialverteilung
über.
Die Verteilung (II 9) ist wie A.
D. im allgemeinen unimodal und besitzt, nebenbei
gesagt, die seltene Eigenschaft, daß alle wichtigen Mittelmaße existieren, voneinander
—
verschieden und
berechenbar sind.
explizit
Modalwert
x<>
Mittelwert
ftB
Mediane
Für die
fo
=
—
—
l)1/a,
für
a
> 1
-^ oc1'« Wl + -M
=
=
Nullpunktmomente ergibt
(oc
—
sich
(alog2)1/«
allgemein
-(*M, + t)
und daher
*_(.£) [r(i + i)-r.(i !L)
+
Es ist sehr wohl
denkbar, daß die Weibull-Verteilung als verallgemeinerte Exponential¬
verteilung zur Darstellung von Schadenhöhen gute Dienste leisten kann.
In den Verteilungen E.
G. war, ohne daß speziell daraufhingewiesen worden wäre,
die Voraussetzung (2) von S. 57 erfüllt. Alle diese Verteilungen sind jedoch monoton
fallend; es soll daher zum Schluß noch auf die im Nullpunkt
—
I. gestutzte
Nonnalverteilung (62)
hingewiesen werden,
eine Verteilung vom Glockentypus mit der erwähnten
Eigen¬
schaft. Wesentliches über sie steht im Anhang; sie wird dann von Nutzen sein, wenn
die empirische Statistik eine ausgeprägte Symmetrie um den Modalwert aufzeigt.
2.2.3
Beispiele für begrenzte
Nach den ausführlichen
Schadenhöhen
Darlegungen
in 2.2.2 können wir
uns
Ist die Schadenhöhe nach oben
Modelle
zur
entstehenden
die
I. besprochenen
beschränkt, können alle in A.
Hilfe gezogen werden, wenn man die entsprechenden
in einem geeigneten Punkt xi nach (I) oder (II) enden läßt. Die dadurch
Darstellung
Verteilungen
hier kurz fassen.
—
zu
Veränderungen sind einfacher Natur,
Exponentialverteilung wiedergegeben.
als
Beispiel
seien die Formeln für
63
nach
Stutzung
(II1)
0
=
1
.,
mit
ßUl
=
Konzentration nach
Xj
/iHn
=
y
+
(II 2)
zu
ffl^
e-«»,
xi
Neu ist zusätzlich eine
Betracht
xîea^i
*Hi--p--(„«,__ i)i
,
eaXi_1
(II10)
> xi
1
2
--
hu (x)
mit
x
< xi
e~ax»
x
=
0
x
> xi
a
=
=
=
e_ax
x
=
-^ +
Beta-Verteilung
xi e~ax'
xi
(116)
1. Art
(II11)
xi
(1
-
e-«.)
mit den
_
_j
Endpunkten (0, xi)
in
ziehen.
Zusammenhang auch
[24] Verwendung findet:
Zu erwähnen ist in diesem
in Cramers Arbeit
h(x)
Wir sehen darin
=
Ae-ax +
=
0
allerdings
das
Feuerversicherungsmodell,
B(x + b)~ß
bereits 4 Parameter
x
^ 500
x
> 500
(die Größen A, B,
oc,
ß,
das
b sind durch
600
die
Beziehung / h(x)
dx
=
1 miteinander
ö
verknüpft),
was, wie wir früher
ausgeführt
haben, nicht unbedingt
immer von Vorteil ist. Das Modell ist deswegen interessant,
Verteilungen (im Prinzip E. und F. aus 2.2.2) superponiert werden.
Diese Methode ist natürlich auch ohne Stutzung anwendbar und kann gute Besultate
zeitigen. Die eigentliche Überlagerung von E. und F. liefert beispielsweise die dreiparametrige Verteilung
h(x)=Ae-a* + B(l+x)-a-i
(II12)
weil darin zwei
a [1
Nebenbedingung A
(B/q)].
Begrenzung der Schadenhöhe nach unten ist durch Transformation bzw. Stutzung
einer der Verteilungen A.
I. oder der Beta-Verteilung zu erzielen. Auch das bietet
keinerlei Schwierigkeiten; einige der transformierten Verteilungen sind bereits in
Kapitel I (111,116,129,130) zu finden, Stutzung erfolgt gemäß (61). Als Beispiele
seien wieder die Exponentialverteilung
mit der
=
—
Die
—
h(x)
Hn
wo
Transformation und
=
=
Stutzung
a
e-a<x-x<>>
*
V-l
T(a)-r„,(a)
ax,,
*
1
64
-
a
r(a+l)-.Tax,(a+l)
T(a)
rax„ (<x)
-
^ x0
a-2,
unterscheiden, die /"-Verteilung (68)
x^x°
m-rM-JW«)6""^1
<"H
<r|
a"1 + x0,
sich nicht
x
=
v*/
1
'
H
2
_
a2
r(a + 2)-rax,(q + 2)
T(a)
Tax. (et)
-
und die bei
Stutzungsproblemen sehr brauchbare Pareto-Verteilung (67) speziell
[17] haben die Verfasser mit Hilfe einer gestutzten logarithmischen
Normalverteilung eine recht befriedigende Angleichung an ihr Material erhalten.
Beispiele, bei denen B. und C. aus 2.1 erfüllt sind, lassen sich durch Kombination der
beiden Möglichkeiten leicht konstruieren. Im allgemeinen werden die Modelle rasch
kompliziert ; es seien nur die beiden einfachsten, noch gut übersichtlichen Fälle dar¬
gestellt,
erwähnt. In
die beidseits
gestutzte Exponentialverteilung
h(x)
und die
=
Pareto-Verteilung
-
mit
hl«
hu (x)
-,
-e-ate-*')
Stutzung
=
=
xo
=
bzw. Konzentration im oberen Teil
l-(xo/xi)«i(X°/X)g+1
~
(x0/x)«+i
(xo/xi)a
ïoSx^H
X'S^Xl
xo
S
x
< xx
X
=
Xl
65
Kapitel
Verteilung
Die
III
des Totalschadens
Ausführungen der beiden ersten Kapitel bilden die Grundlage für die Total¬
schadenverteilung innerhalb der betrachteten Zeitspanne, die zumeist das Haupt¬
interesse des Versicherers beansprucht. Dabei gehen wir im allgemeinen von der
fundamentalen Annahme aus, daß zwischen Schadenfallverteilung (Variable r) und
Schadenhöheverteilung (Variable x) die Hypothese der stochastischen Unabhängig¬
keit erfüllt sei. Unter dieser vereinfachenden Voraussetzung wird im ersten Para¬
graphen die übliche Darstellung des Totalschadens einer kurzen Analyse unterzogen.
Auf eine davon abweichende Behandlung, die auf dem Begriff der Schadenfall¬
häufigkeit (§ 2) fußt, gehen die letzten beiden Abschnitte der Arbeit näher ein. Es
wird gezeigt, wie das Modell (III2) mit der neuen Betrachtungsweise in Einklang
gebracht werden kann.
Die
3.1 Das übliche
3.1.1
Allgemeine
Faltungsmodell
Theorie
Bedeute Wr nach Kapitel I die Wahrscheinlichkeit, daß ein Versicherter
bzw. der Versicherungsbestand (kollektiv) r Schadenfälle erleide, und
Kapitel
II die
(individuell)
H(x) wie in
Wahrscheinlichkeit, daß die Schadenhöhe eines Ereignisses der Größe
nach ^ x ausfalle. Auf Grund obiger Voraussetzung wird die Wahrscheinlichkeit,
daß r Schadenfälle eine Summe ^ x besitzen, durch die r-malige Faltung von H (x)
mit sich selbst
H*r(x)
=
/ H*(r-D (x
-
u)dH(u)
(III1)
BH
H*Hx)
mit
wiedergegeben.
=
H(x)
und
H*o(x)
=
e(x)
Die Vf
T(x)=fwrH*r(x)
(III2)
r=0
gelegt wird, bereits die gesuchte
(III2) die Verteilung des
Gesamtschadens eines Versicherten. Umfaßt der ganze Bestand N Versicherungen,
dann muß zur Darstellung des Totalschadens (siehe [44]) noch die Operation
stellt,
wenn
der kollektive
Standpunkt
zu
Grunde
Funktion dar. Beim individuellen Verfahren bezeichnet
T*N (x)
=
J W*N H*' (x)
=
(HI 3)
TN (x)
r=0
vorgenommen werden. Man erkennt daraus einen nicht
tiven
geringen
Vorteil der kollek¬
Betrachtungsweise.
ist durch die
wir befassen uns vorläufig nur mit T (x)
Verteilungen {Wr} und H(x) eindeutig bestimmt; wie letztere definiert sie, wenn man
die im letzten Kapitel niedergelegten Gedanken berücksichtigt, eine stetige unilaterale
Verteilung. Ohne nähere Spezifizierung lassen sich leicht folgende Eigenschaften
Die Vf des Totalschadens
—
—
herleiten:
cF:
9>T(t)=yVt*dT(x) 9^(^pW.),
=
Bi
66
(III4)
wobei
9>H (t)
=
/ e»u dH (u)
die cF
von
H
2 Wk e"k
die cF
von
Wr.
(x),
Bh
ç^ (t)
=
k-0
Natürlich muß Bt
Momente
=
Bh
sein.
:
Die ersten Momente der Vf T(x) lassen sich am einfachsten aus der Definitions1, 2, 3 die Zentralmomente einer k-fach mit sich selbst
gleichung herleiten, da für v
gefalteten Verteilung k [iv lauten. Anderseits gibt (I 47) ein Mittel zur Hand, eine all¬
gemeine Beziehung zwischen den Momenten der 3 Verteilungen herzuleiten. Ins¬
besondere ergeben sich die Ausdrücke
=
i«T
i«H !*w
=
c|
<rH /*w +
=
f& <*w
(nI 5)
T/*3
=
H/"3/«W +
3/JHOHOvr +
Ti«4
=
Hi"4i"W +
4fiB.Hß30%r
^EW/13
+ 3(7H(ffW +
fl%
—
ßVf) + B^Hal^S
+
<TWi«w)
+ jUhW/^4
Die Formeln für pT und
3.1.2 Die
A. Die
Setzt
so
ct|
(145)
müssen mit
übereinstimmen.
wichtigsten Beispiele
allgemeine, zusammengesetzte P-Verteilung.
in
man
(III 2) die in 1.2.2 untersuchte zusammengesetzte P-Verteilung ein,
allgemeine, zusammengesetzte P-Verteilung [65]
entsteht eine
T(x)
=
2^P-je-*iïàSW
r
(III 6)
Ba
mit der cF
9?i(t)
=
ç>s
?>H(t)
-
1
(III 7)
und den Momenten
/*T
=
j«Hj"S>
«4
=
ffHias +
f*B.(<*s
+
f*s)
Besondere Einfachheit zeichnet den Fall der gewöhnlichen
analog
zu
(150)
und
P-Verteilung
aus,
wo
(151) gilt:
ç,T(t)
fiT
=
A/*h
,
=
eAt^<t>-1l
cr|
=
X(a%
(III 8)
+
i4i)
Die
Untersuchung konkreter Modelle beweist, daß die Beliebtheit der Exponentialund/"-Verteilung als Schadenhöheverteilungen ihre tiefere Ursache nicht zuletzt darin
hat, daß sich diese Verteilungen im Gegensatz zu den anderen in 2.2 besprochenen
Möglichkeiten sehr einfach falten lassen. So geht die Exponentialverteilung
h(x) =ae-u,
67
wie
aus
der cF sofort
hervorgeht,
in die
P-Verteilung
über.
(1) P-Verteilung + Exponentialverteilung.
Man erhält für die
T'(x)
Totalschadenverteilungsdichte
=
e-*-a*
f 4-£rxr-i
=
Aae-*-a*
f -#^
-l/^e-i-»^
h
T'
Die Vd
(III 9)
=
]/^
e-A-« Ix
ç>f(t)
Momente:
ixt
Darstellung ist
=
eAit/(a-it)
=
^1&,
ff|
mit Hilfe
=
von
pro
r!(r+l)l
(2 J/I^i)
(III9)
ist in der Literatur mit dem Namen Eiebesells
cF:
Eine andere
(x)
ré0
2A/a2,
Tyi
=
[61] verknüpft.
3//2l
(III10)
(20) möglich und ergibt
T'fxJ^Aae-^ + l^iF!^; 3;4]/Äix~),
die
woraus
Regularität
der Funktion im
Nullpunkt
besser
hervorgeht.
(2) Negative Binomialverteilung + Exponential- bzw. J7-Verteilung.
Wählt
(III 7)
man
die
J7-Verteilung [mit
p
=
a/(a + 1)]
als
Strukturfunktion,
so
geht
in
yT(t)
=
[1-^HW]-tt
über, und mit der Exponentialverteilung als h(x) folgt,
man
vergleiche
auch
[44],
T'(x)=p.e-|o(I ar-1)(aq)r|^
+
-ap«qae
T'(x)
Größere
=
Schwierigkeiten
^
r(«+l)
T(r + 2) ~ïï~
aqW0h(x)iFi(a+l;2;aqx)
bereitet die
(III12)
r~Verteilung (Parameter
r(r + «+l)
T(2)
r,
a,
a,_
A),
da in
r(A)
rw-.qw.hw^iJ^a^H^K.^,^^
68
(m ">
der Ausdruck
1 Gleichung (III 11) entspricht,
was für A
eleganten Darstellung widersetzt.
=
r(Ar + A)
sich einer
it\-A-
-«(•-£)
çjT(t)
=
(3) Verteilung (118) + Exponentialverteilung.
Mit
(119) ergibt
sich
ç,T(t)
Speziell
für
Xo
=
allgemein
=
0, Ai
als cF
e«««*)-«
=
iFi[p;p +
q;
(Ai
-
h) (<Pn(t)
-
1)]
1
gsT(t)
=
iFi[p;p +
q;
ç>H(t)
—
1]
(III13)
^T~
B. Die
a
p +
ffT~a2
q'
p +
q^
(p + q) (p +
q +
1)
.
allgemeine, zusammengesetzte Binomialverteilung.
Mit Hilfe
von
1.2.4 sei
analog die allgemeine, zusammengesetzte Binomialverteilung
(I 33) oder (I 38) zugrundegelegt wird, ergibt sich als Total¬
definiert. Je nachdem ob
schadenverteilung
T(X)=2H*r(x)(?)ypr(l_p)u-rdS(p)
Bp
r
(III14)
bzw.
=|l*'(x) (£j 2
T(x)
(?) (1
-
p)°sn
cF und erste Momente lauten
9*(t)
=
/ [1
+ P(9>H(t)
-
l)]QdS(p)
B„
fiT
=
ff|
n^H^s,
und
=
9T(t)
n,u|[(n
=
—
l)<r§
+ fts
—
^ll
+
nal/ts
2[l+p(ç>H(t)-l)]nsn
a
/*T
Auch hier führt die
=
P/«Hy«S,
ff^p/lKpffl + q^
gewöhnliche Binomialverteilung
+ PffH^S
eine wesentliche
Vereinfachung
herbei :
9*(t)
/*X
=
=
np^Hi
[l + p(çfe(t)-l)]»
<4
=
(III 15)
nP(CTH + qi"H)
69
(4) Binomialverteilung + Exponentialverteilung.
Der cF nach
(III 15)
mit den Momenten
np
,
_
entspricht
4
=
^(l + q).
T/*3
=
-^(q2 + q+l)
die Vd
n-£-W0h(x)iPi(-n+l;2;—2-ax)
=
(III16)
angegebenen Möglichkeiten lassen sich mit Hilfe der Modelle von Kapitel I
beliebig viele weitere Totalschadenverteilungen konstruieren, doch wollen wir
es bei dem Gesagten bewenden lassen. Es sei nur noch vermerkt, daß die praktische
Berechnung von T' (x) in den weitaus meisten Fällen recht hohe Anforderungen stellt
und oft nur mit Näherungsmethoden durchgeführt werden kann ([7, 24]).
Außer den
und II
3.2 Die
Es sei
uns
sicherung
gestattet,
zu
Schadenfallhäufigkeit
das Problem wiederum in den Termini technici der Unfallver¬
erläutern.
Sinngemäß
lassen sich die
Fragen
auch auf andere Versiche¬
rungsarten übertragen, obschon sie sich vielleicht dort weniger ausgeprägt stellen.
In den
Ausführungen
von
Kapitel
I wurde die
Verteilung
der Schadenfälle als dis¬
krete, ganzzahlige Verteilung mit Wahrscheinlichkeiten Wr hergeleitet. Dies setzt,
um vorläufig auf dem individuellen Standpunkt zu verharren, voraus, daß die Unfall¬
statistiken der einzelnen Versicherten dem Versicherer genau bekannt sind, da er nur
Untersuchungen auf einer festen Grundlage aufbauen kann. In
Betriebsunfallversicherung ist dies zumeist nicht der Fall, da der versicherte Be¬
trieb wohl die Unfälle anmeldet, den Versicherer über die Unfallzahlen der einzelnen
Arbeiter jedoch im unklaren läßt. Die Größen, die dem Versicherungsunternehmen
zur Verfügung stehen, sind die Totalzahl der Unfälle U in der betrachteten Zeitspanne
so
seine theoretischen
der
sowie die versicherte Lohnsumme L des Betriebes. Aus letzterer wird mit Hilfe einer
sorgfältigen Schätzung
stimmt
des mittleren Stundenlohnes l die sog. Vollarbeiterzahl N be¬
[66].
N
Daraus
ergibt
sich als
L
1
l
2400
=
Schadenfallhäufigkeit für
einen Betrieb mit den Größen U und
N
5
=
U/N
Unfallhäufigkeit ü ist für jeden versicherten Betrieb zu berechnen und in einem
Diagramm jedem ü die entsprechende Anzahl Betriebe zuzuordnen.
Die eben durchgeführten Überlegungen machen es verständlich, daß man sich die
Frage vorlegen kann, ob die Theorie der Schadenfallverteilung nicht besser auf der
stochastischen Variablen ü aufgebaut werde. Die Probleme, die mit dieser Frage zu¬
sammenhängen, sollen im folgenden dargestellt werden.
Die
70
5 kann
defintionsgemäß
die Werte 0, I/N, 2/N
annehmen, sollte also weiterhin im
Verteilung gehorchen. Natürlicher ist es in einem solchen Fall,
insbesondere wenn N groß ist, eine stetige Verteilung zu Hilfe zu ziehen. Diese könnte
auf Grund der empirischen Daten bestimmt werden, ohne auf irgendwelche Vorkennt¬
...
Grunde einer diskreten
achten. Anderseits weiß man, daß die Variable ü
aus der Mittelwertbildung
gleichen Verteilungsgesetz gehorchenden Variablen Uj (— Unfallzahl des
i-ten Arbeiters, unbekannt laut unserer Annahme) hervorgeht. Es ist daher sicher
nicht abwegig, an den Grundhypothesen für die diskrete Schadenfallverteilung fest¬
zuhalten und daraus die Schadenhäufigkeitsverteilung abzuleiten.
Die Verteilung eines Mittelwertes ist genau dann explizit darstellbar, wenn die Ver¬
teilung der Einzelkomponenten einem Additionstheorem gehorcht [23]. Diese Eigen¬
schaft besitzen die drei wichtigsten, in Kapitel I zur Sprache gekommenen Modelle,
nisse
von
zu
N dem
nämlich
A.
Poisson-Hypothese.
Verteilung von
ü:
W
(ü
=
-^-) -^^- e-»*
(III17)
=
Vergleichsmöglichkeit sei eine Abschätzung für Wi
W(ü
1), d. h. die Wahr¬
scheinlichkeit, daß pro Arbeiter durchschnittlich ein Unfall eintritt, gegeben. Mit (2)
Als
=
=
wird
Für
große N
strebt die
Verteilung
von
ü nach dem zentralen Grenzwertsatz gegen die
Normalverteilung
G(u)~Nß,A[N)
Binomial-Hypothese.
B.
Verteilung von ü:
Für
da
(III18)
[ü ^\
=
=
F*) p* q^n-k
Wi ergibt sich hier
man
leicht
(=lfürp
Die
W
=
daß die Funktion in der
zeigen kann,
l/n).
Grenzverteilung für N -*
oo
eckigen
Klammer stets ^ 1 ist
lautet
G(u)~2V(np,npq/N)
C.
Negative Binomial-Hypothese.
wfi-iJ-C V-)^)*^^
+
V—tag»«:
Wieder mit der Stirlingschen Formel folgt
Wi
(a+1
\
a
a
Vx
oc+lW -i/
a+1/ a+1
J
Y
~~~
1
a
2jiN(a + 1)
—
|/2^N
-|/~iT~
Y
a.
+ 1
'
71
denn der Ausdruck in
Zudem
[ ] erreicht sein Maximum, den Wert 1,
im Punkt
'
v
G(u)~ffpï-
[a
=
a.
i-ï.(i+±y
N
a
V
a/
große Vollarbeiterzahl ist es demnach
Schadenhäufigkeit einen Normalverteilungsansatz
Für eine hinreichend
für die
a
gilt natürlich
vernünftig,
durchaus
N({t,o*IN)
darüber im klaren sein, daß die Annahme einer
insofern den gegebenen Tatsachen nie ganz gerecht werden kann,
Man muß sich
postulieren.
Normalverteilung
zu
nur
als die stochastische Variable ü
verteilung
naturgegebenermaßen positiv ist,
die Normal¬
negativen Wertebereich um¬
vernachlässigbar Meinem Einfluß,
jedoch für genügend großes N von
Stutzung erübrigt. Die entsprechende Bedingung,
faßt. Dieser ist
so
zwar
aber stets auch einen nichtverschwindenden
daß sich eine
gestellt wurde,
wie sie in
(65) auf¬
lautet nämlich
/i/cr>l,67/jfir, (2,37/|/N"),
(III19)
obige Feststellung bestätigt.
bisherigen Ausführungen wurde die individuelle Betrachtungsweise zu Grunde
gelegt; es erhebt sich daher die Frage, ob sich auch in der kollektiven Risikotheorie
die Schadenfallhäufigkeit einführen lasse. In erster Linie ist zu sagen, daß die S. 70
genannte Begründung hier hinfällig wird, da vom kollektiven Standpunkt aus ja
gerade die Unfallzahlen der einzelnen Versicherten nicht beachtet werden. Diese
Forderung ist also bereits erfüllt. Der Gewinn der neuen Darstellung könnte höchstens
darin bestehen, eine diskrete Verteilung durch eine ev. einfachere stetige zu ersetzen.
Im Gegensatz z. B. zu (III17) gilt hier
was
Den
w(ü- A)=W(U k)=e-A£;
=
=
definierten Verteilung
handeln, statt dieser in 0,1/N, 2/N
entsprechende stetige Vd zu suchen. Dabei darf die wesentliche Voraus¬
setzung der kollektiven Betrachtung, die Unabhängigkeit der Vf von der Versicherten¬
zahl N, nicht verloren gehen. Die Vf sei auch hier mit G(u) bezeichnet; es ist jedoch zu
beachten, daß ein analoger Unterschied besteht wie zwischen den beiden Wr (indivi¬
duell und kollektiv) im diskreten Fall.
Mit der Unfallhäufigkeit als Grundlage soll der Totalschaden (III 2) bzw. (III 3) neu
dargestellt werden.
es
würde sich also darum
...
eine den Daten
3.3 Das Modell der
stetigen Faltung
Vor der Definition des Totalschadenmodells ist
es
nützlich, eine kleine Vorbetrach¬
tung einzuschieben.
3.3.1
Unbeschränkt teilbare
Verteilungsgesetze
Die übliche Definition der unbeschränkten Teilbarkeit eines
H(x) lautet [34, 35] :
Verteilungsgesetz H(x)
Wahrscheinhchkeitsge-
setzes
Das
wird unbeschränkt teilbar
genannt,
wenn
sich die ihr ge¬
horchende stochastische Variable f für jedes natürliche n als Summe von
£n, jede mit derselben Vf Hn (x), darstellen läßt.
gen Variablen f i, (j2
...
72
n
unabhängi¬
Gleichbedeutend mit dieser Aussage ist die
Die cF eines unbeschränkt teilbaren
anderen cF, bzw. die n-te Wurzel
der eine c F.
Daß hier
n
als natürlich
folgende :
Verteilungsgesetzes
ist die n-te Potenz einer
der cF einer unbeschränkt teilbaren Vf ist wie¬
aus
vorausgesetzt wurde, ist unwesentlich. Aus der Tatsache, daß
liegen, folgt nach obiger Definition, daß auch <pc (t)
die rationalen Zahlen im R1 dicht
für ein
beliebiges reelles
c
> 0 wieder eine cF ist. Die
Umkehrung ist
trivial.
stetige Faltung H*c (x)
g?c(t) gehörige Vf und hat
Für eine unbeschränkt teilbare Vf existiert daher auch deren
für
beliebiges
reelles
c
Sie ist definiert als die
> 0.
als solche insbesondere die
zur
cF
Eigenschaften
H*i(x)
H(x)
=
limH*c(x)
(III20)
£(x)
=
c->0
H*ci(x)*H*c'(x)
H*«='+C')(x)
=
3.3.2 Das Totalschadenmodell
Die
Schadensummenverteilung H(x)
Wenden wir
uns
werde als unbeschränkt teilbar
erst der individuellen
g
(u) du
Betrachtungsweise
W (ü
=
gegeben sei. Erweitert man Formel (III3)
verteilung, so ergibt sich
[u,
e
in
u
zu,
vorausgesetzt.
wo nun
-f du])
Richtung
auf eine
stetige Schadenfall¬
oo
TN (x)
=
/ g (u) h*N« (x) du
(III21)
o
Im Ausdruck
h*Nu(x)
Für die cF erhält
tritt eine durch
unsere
Annahme definierte
<P ix (t)
=
<pa
[x loS (*)]
?H
9?G(t) die cF der stetigen Vf G(u) bedeutet.
(III 5), also beispielsweise
wobei
Geht
man
stetige Faltung auf.
man
in der kollektiven
Betrachtung
so
(m 22)
•
Die Momente bilden sich
vor, wie auf der letzten Seite
analog
zu
ausgeführt
wurde, dann stellt
g(u)du
dar. Die
(III 2) entsprechende
=
w(ü6[£,£ + d(£)])
Formel lautet dann einfach
oo
T'(x)
=
/g(u)h*u(x)du,
(III23)
o
und die Resultate für cF und Momente sind formal genau
W durch G ersetzt wird.
dieselben, sofern der Index
73
Beispiele
3.3.3
Wir
geben zu (III21)
A. Sei
und
(III23) je
g(u)
=
n(^,ff2/N)
h(x)
=
ae"ax
ein
Beispiel.
Mit Hilfe der bekannten Formeln für die cF dieser beiden
Verteilungen geht (HI 22)
über in
9TK(t)
^l-—J
=
»/
f(i_ii)-"+*0,log(1-T)r
=
Das kommt einer N-fachen
v
e
Faltung
der Vd
(III24)
(III23) mit g(u)
n(/i, az) gleich
Betrachtungsweisen deutlich.
=
und
macht einmal mehr den Unterschied der beiden
^Tk
Setzt
im Sinne
man
von
N>/a, <4H
=
(III18)
/iTN
p
=
=
<x2
N
(ct2 + fi)l&*
so
erhält
=
X,
=
<r|H
NA/a,
=
Das sind natürlich dieselben Momente wie in
vom
individuellen
Standpunkt
man
speziell
2NA/a2
(III10), abgesehen
vom
Faktor N, der
her verursacht wird.
Die Formel für die Dichte nimmt die Form
wv
J
af2^N
r(»)
o
an
und bietet keine Aussichten auf eine einfache
B. In
(III23)
werde
g(u)
=
-yp-y
u a_1
e-°u
Lösung.
gewählt, h(x)
wie in A.
Dann ist
<pT(t)
=
[l + | log (l i±)\~a
-
(IH 25)
mit
al
^
=
a
o
^
77'
=
/..INI
t(1
+
TJ7J'
während die Dichte
r(x)v
'
*
fe-u-i^du
*=
r(u)
x
j
r(u)
0
wieder
an
ihrer Unhandlichkeit krankt.
3.4 Das Produktmodell
Möglichkeit,
Kapitels hingewiesen werden soll,
Darstellung des Totalschadens als Produkt. Da in Lehrbüchern der Wahr¬
scheinlichkeitstheorie über die Produktverteilung kaum Hinweise zu finden sind
erwähnenswert in Bezug auf diesen Gegenstand sind die beiden neuen Arbeiten [49]
und [62]
seien in einem ersten Abschnitt die wichtigsten Eesultate im Hinblick auf
unsere Bedürfnisse wiedergegeben.
Eine zweite
auf die im Bahmen dieses
betrifft die
—
—
74
3.4.1 Die
Gegeben
Verteilung des Produkts zweier stochastischer Variablen
seien zwei stochastische Variablen
keitsdichte
fi, |2 mit gemeinsamer Wahrscheinlich¬
£i£2> welche mit P(y) bezeichnet
p(xi, x2). Die Vf des Produkts t\
werde, ist definiert durch
P(y)
//
=
—
p(xi,x2)dXldx2
(ni26)
X! x, < y
Sind die beiden Variablen voneinander
p(xi,x2)
so
läßt sich
unabhängig, d.
h.
gilt
p1(xi)p2(x2),
=
(III27)
(III26) wie folgt umformen :
y/x,
00
P
(y)
=
0
0
—00
j
Pl
(J) dX! + J Pl (Xl) [l
(Xl) P2
0
Für die Vd P'
(y)
=
p
yjxt
—00
0
eo
=
00
/ dxi pi (xi) / p2 (x2) dx2 + / dxi pi (xi) / p2 (x2) dx2
-
P2
g)] dXx
—00
(y) ergibt
sich die
Darstellung
0
CO
p(H/-/)pi(xiM*9<*r
0
oder in etwas
(m28)
—00
kompakterer Form
p(y)-/pi(«0p-g)-§—00
Die beiden Variablen sind selbstverständlich in ihrem Verhalten
tigt,
so
völlig gleichberech¬
daß sich stets durch Vertauschung der Ziffern 1 und 2 duale Formeln aufstellen
lassen.
Für unilaterale
zweite
Vf, die
unser
Integral in (III28),
so
besonderes Interesse
beanspruchen, verschwindet
das
daß einfach
00
p(y)
=
/pi(^i)P2(|:)^i
(in 29)
0
gut.
Sind
çjpx(t)
und
ç>ps(t)
die cF der Variablen fi, f2,
so
erhält
man
für die cF der Pro¬
duktvariablen
+00
9*
(t)
=jW, (txa)
Pl
(xj) dxx
=
<pPl
[!?l*g^il]
(m 30)
—00
Aus der Form der cF
folgt sofort die Tatsache, daß Symmetrie der Verteilung eines
(cF reell!) Symmetrie der Produktverteilung nach sich zieht. Die Umkehrung
dieser Aussage gilt hingegen nicht [49].
Faktors
Für die Nullpunktmomente der Verteilung
P«k
=
(HI 26) ist allgemein
Pi«k P2*k
75
richtig.
Nützlich sind
4
pyx
=
Man
-zr
vor
=
allem die Formeln für die ersten Momente
<& 4,
+
[p,/"3 p^«3 + p.^3 (4,
/& 4,
+3
+
/4n 4,
bemerkt, daß die Mittelwertformel formal
stimmt, die Streuungsgleichung
—
(HI 31)
4.) i«p, + p,/«3
abgesehen
(4*
mit
4.) /«Pi + 6 i«Pi /«p,
+3
jener von Modell (III 23)
Spezialfall pxa2
/xpi
vom
=
4,4,]
überein¬
bereits
—
davon abweicht.
Sind die beiden Variablen f i, £2 voneinander
(III29) muß dann allgemeiner
abhängig, gilt
die
Zerlegung (III27)
nicht mehr.
0
lauten, wobei die gemeinsame Dichte p (xi, X2)
P
(xi, x2)
=
pi
nur
durch
(xi) p2 (x21 Xi)
ersetzt werden darf.
3.4.2
Anwendung
Wir haben in 3.2
der
Produktverteilung
gezeigt,
Darstellung
des Totalschadens
Unfallhäufigkeit U/N als Maßzahl für das stochastieingeführt werden kann. Genau auf dieselbe Art kann
wie die
sche Verhalten der Unfallzahl
mit der zweiten
zur
Grundvariablen, der Schadenhöhe bei einem Unfall, verfahren wer¬
Betrieb; das dann analog zur
den. Es bezeichne T den Totalschaden im betrachteten
Unfallhäufigkeit gebildete
Mittel
T/U gibt
Produkt dieser beiden Variablen führt
An Stelle der Variablen
T/U
ist
es
zur
häufig zweckmäßiger,
L wie S. 70 die versicherte Lohnsumme
schaden wird dann nicht
summe
an
die sog. Belastungshäufigkeit wieder.
Totalschadenhäufigkeit T/N.
bezeichnet,
betrachten
der Vollarbeiterzahl sondern
gemessen, als Produktvariable erscheint
an
T
mT ^
[66].
,
wobei
Der Total¬
der versicherten Lohn¬
T/L.
Verteilung
Belastungshäufigkeit rührt ähnliche Gedanken an,
Paragraphen dieses Kapitels geäußert worden sind. Eine
Möglichkeit besteht darin, von der Verteilung H (x) (Kapitel II) auszugehen und diese
nach der Theorie der Mittelbildung auszuwerten. Das würde bedeuten, für T/U eine
Vf von der Form H *u (Ux) anzunehmen. Statt dessen kann man auch, falls die zu
Grunde liegende Schadenhöheverteilung zweiparametrig ist, verlangen, daß Mittel¬
wert und Streuung der transformierten Verteilung
(ja, er2) Momente der ursprüng¬
die Gestalt (/i,cr2/U) aufweisen. Ein Beispiel dieser Art gibt der
lichen Verteilung
Die
Frage
zu
die Variable
Das
nach der
der
wie sie bereits im zweiten
—
—
von [16], wo angenommen wird, die Schadenhöhe sei /"-verteilt. Es ist zu
beachten, daß in diesem Modell die beiden Grundvariablen nicht mehr unabhängig
sind, was in der Anwendung der Formeln von 3.4.1 zu berücksichtigen ist. Es gilt
zwar noch die Mittelwertbeziehung von (III 31), nicht aber die Streuungsgleichung
Verfasser
am
selben Ort.
zu
3.3.3, in der Regel recht kompliziert und stellt einer numerischen Auswertung
Infolge
der mehrfachen
Schwierigkeiten entgegen. Ob sich
rechtfertigen läßt, muß von Fall zu
76
wird die
Faltungen
evtl. auch für
T/U
Fall
werden.
überprüft
Produktverteilung, analog
ein
Normalverteilungsansatz
In
Übereinstimmung
Bemerkung
mit der
S. 66 wollen wir
uns
nicht weiter mit die¬
3.2.1 ist eine zweite Möglichkeit der An¬
Standpunkt
nahme einer Schadenhäufigkeitsverteilung in mehr kollektiver Schau gegeben. Dieses
Vorgehen ist auch zur Bestimmung der die Belastungshäufigkeit wiedergebenden
Verteilung möglich. Damit liegen zwei aus empirischen Daten gewonnene Verteilun¬
gen vor, deren Produkt unser Interesse beansprucht. Unter diesen Umständen ist es
eher möglich, auf der vereinfachenden Annahme der Unabhängigkeit der beiden
Grundvariablen zu beharren, was natürlich eine wesentliche Vereinfachung der
Rechnung zur Folge hat. Es wäre interessant, über diesen Punkt praktische Unter¬
suchungen durchzuführen. Wir geben zu diesem Zweck zum Schluß eine Übersicht
über die wichtigsten, einfachsten Beispiele von Produktverteilungen zweier unab¬
hängiger stochastischer Variablen.
befassen. Am Schluß
sem
3.4.3
von
Beispiele
A. Als erstes
Beispiel
und N(/i2,
fff)
Für die Momente
flP
Als cF erhält
sei kurz das Produkt
aus
zwei
Normalverteilungen N{/j,\, of)
behandelt.
ergibt sich nach (III31)
=
2
Plfl2,
Oj>
2_2/l2il2il\
01Oi(/.1 + /.2 + l),
=
Pyi=
man
(Af +Aj)(g1(T,t)1
rop
(t)
=
-,
^l +
9>p(t)
—g-
2iA1*,(g1q,t)
(oi«x»t)«
=
/xz
=
0,
wo
1
=
j/l
+
(ffl<X2t)2
bekanntlich die cF der Laplace- Verteilung
f(x)=
ist, folgt die im
-
i+(<v.t)«
e
Ein interessanter Spezialfall ist p\
Da
OA1Ä2
(Xl + pi + l)ZI2.
^J—e-W'"«"»
ersten Moment überraschende
Tatsache, daß die Summe
von
zwei
un¬
abhängigen Produktvariablen obiger Art Laplace- verteilt ist.
Für die Vd des Produkts
zum
gelangt
man
unter
Einführung
der
Bezeichnung
=
yz
Integralausdruck
oo
P(<riff2y2)=—2^V2—Je
[e
+e
0
Ist die
Bedingung (III19) erfüllt,
kann
man
den 2.
o
f liefert, vernachlässigen.
Die
Integrale sind
u'j—
(III32)
Summanden, der den Beitrag
durch eine
Entwicklung
von
von
(l/uJeiy^ii+W»)]
in eine .Laurent-Reihe
gegen eine
allgemein
lösbar
[22]. Für große X\, Xi strebt die Verteilung
Normalverteilung [12].
77
Eine einfache Formel liefert der Pali fii
/i2
=
=
0
:
oo
oo
„
,
-1/.y,(u+-^)'du
f
ev*
/
p((7i<r2V2)=
v
e
u'—
f
1
/
=
0
oder nach
man
lauten die
,
Chudu
0
(22)
p
Will
_„,ChlI
e~y
lieber
von
(III32)
(z)
=
-J— Ko (-^-)
(III33)
Anfang an zwei gestutzte Normalverteilungen verwenden,
(IH 33) entsprechenden Ausdrücke
so
und
oo
[e-^hSf
*-+,*+*
)
VWlG2yV(oio-2V*)=
2naio2<I>(h)<I>(h)
J
+^+T)
du
u
o
und natürlich
p
Der
?— Ko
(1E)
f—î—"^
mit irgendeiner anderen Verteilung zu kombinie¬
erfolgreich. Man erhält im besten Fall Integrale vom
logarithmische Normalverteüung liefert in dieser Hinsicht
Versuch, die Normalverteilung
ren, erweist
sich als nicht sehr
Typus (131). Auch die
keine befriedigenden Resultate.
B. Als recht
Produktverteilung von zwei /"-verteilten Variablen (Parameter
»2.0C2) führt auf das Integral
ai, ai
bzw.
(aia2)°"
Die
(aia2)«.
(1)
anpassungsfähig zeigt sich neuerdings die T-Verteilung.
=
e-u-(alB.z/u)
za.-l
*L
.
u«i—«i+l
Je
r(ai)r(a2)z
pw
f/\_u-(a.a.z/u>
„.._,
(z)
r,
'
0
das
wie bereits in
sich,
[33] ausgeführt, nach (23) als
«t+gt
P(z>
=
2
r(S?r(ld ^"1Ka.-«,(2V^w)
schreiben läßt. Die Momente nach
m
Für zwei
-
2(ax +
«2
Weitere
78
gi
+gi;2% t)
Exponentialverteilungen reduziert
Möglichkeiten,
len, sind:
(III31) lauten
+2 +
p(z)
(in34)
=
/aiga
sich Formel
(^+ <=f)
(III34)
2aia2K0(2l/aia2z)
die wir nurmehr durch die
jeweilige
auf das einfache
(HI 35)
Vd charakterisieren wol¬
(2) Gamma + Pearson Typ V (Parameter ä, öc)
Ein besonders einfacher
Fall, da sieh herausstellt, daß
p(z)
was
r
=
(3)
die Vd einer Pearson
z«-1
(ä/a)«
=
B(a,a) [z + (a/a)>+«
'
Typ VI-Verteilung ist. Man setze in (124)
p
=
a,
q
=
a
und
ä/a.
Gamma + Pearson
P(Z)=
(4) Gamma +
Typ VI
JT(a + q)
V(a)
P""-1
1
.
B(p,q)
Pareto
-
,
2
(aZ)
q e
ß
„T
,
.
-^-Wd-«-P-2q)/2.(a-p)/2(az)
(öc)
(z)
p
C. Den Abschluß mögen
=
einige
S
ffî -^ -gLj- ra2/x. (a + ä)
Fälle
von
Zusammensetzungen
anderer Vd bilden.
(1) TypV(a1,ai) + TypV(a2,a2)
(2) Typ V +
.
Beta
.
p(z>
=
(0<
x
<
Xi)
B(p-f a,q) (axi)«
l(p,q)
1
_,
/
>(,i z»+i^(p+«;
p
,
+
q + «;
axi\
-—)
(3) Typ VI (plf qi) + Typ VI (p2, q2)
P^tTqX^
(4) Pareto (ai, xi) -f- Pareto (a2, x2)
P(z)
=
bzw. für den gleichen
-*?*j.
^3^i^r[(^)
Stutzungspunkt xi
PW-a2_aix°
=
x2
=
z>xlX2
xo
z«,+i
'
z>x°
79
Anhang
Transzendente
Funktionen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und ihre Bezeichnungsweise
Im Sinne einer flüssigen Gestaltung der Arbeit sind im folgenden Definitionen und
Bezeiehnungsweisen der wichtigsten auftretenden Funktionen und Verteilungen zu¬
sammengefaßt. Beweise werden keine angeführt, es wird dafür auf die einschlägige
Literatur verwiesen.
Höhere transzendente Funktionen
[2],
[15],
[28],
allgemeinen benötigen wir nur Funktionen
Im
[72],
[74]
reeller
Argumente.
A. Die Gamma-Funktion.
Definition:
i"(x)
=
/e-H*-idt,
x>0
(1)
o
Asymptotische Formeln: f(x + 1)
xxe-x]/2:rrx,
~
-j±—±—f
Stirling
(2)
(ax)b-c
~
(3)
r
Unvollständige
/"-Funktion : rT (x)
=
/ e~* t*-* dt,
x
> 0
(4)
o
B. Die Beta-Funktion.
l
Definition:
B(x,y)
=
/t*-i(1
—
t)*-idt
(5)
o
oo
=/(u+7)U
du»
x>y>°
(ß)
0
Zusammenhang mit /"-Funktion :
C. Die
Ti
c
B
(x, y)
=
„j
®'
(7)
hypergeometrische Funktion.
x-
Defimtion:
Tj,
F(ai, «2;
Die Funktion ist eine
o
ß;
\
x)
=
V
-^(ai + i)
^-^
r(x2 + k)
r(ß)
x*
^^ j^f^
/Q,
(8)
^
Lösung der hypergeometrischen Differentialgleichung von Gauß
x(x-l)^-+[(a1 + a2+l)x-/S]g- + a1a2y
=
0
(9)
konvergiert gleichmäßig und absolut für | x | < 1, divergiert für | x | > 1.
1 ist sie konvergent, falls ai + a2
ß < 0. Dies gilt für alle Parameter¬
a2, ß, ausgenommen für ß negativ ganz oder 0.
Die Reihe
Für
|x|
=
werte ai,
^F(a1,a2;^;x)=^(+n) ^(
80
—
+ °>
^
F(«1 +
n,a2
+ n;
ß + n; x) (10)
Eulerscbe
Integraldarstellung mit Hilfe von (5)
F(ai,
ß; x)
l
oc2;
B(g2J_tt2)/t ""Ml -t)"—-*(1 -tx)-<*dt,
=
/5>a2>0
(11)
o
Für
ai
oder a2
negativ ganz bricht
Polynom aus.
die unendliche Reihe
ab; die hypergeometrische
Funktion artet in ein
«i
=
-n:^^-
=
(oci + k-l)...(ai + l)a1
=
(-Dk(nk)k!
=
(-l)kn(n-l)...(n-k+l)
F(-n>a^;x)=|^)i^7^r
(-x)*
(12)
z.B.
F(-n,a;a; -x)
D. Die konfluenten
(1) Die Funktion
hypergeometrischen
von
besitzt
(l + x)n
Funktionen.
Kummer.
Definition:
Die üTummez-sche
=
1F1(«;/Î;x)
=
J^^i^-^^^ ^
(13)
Differentialgleichung
jFi als Lösung. Die Reihe konvergiert gleichmäßig und absolut für alle
für alle Parameterwerte a,
ß,
ausgenommen
^1F1(a;/3;x)=^^7^rlF1(a + n;^ + n;x)
Integraldarstellung [durch „Konfluenz"
aus
x
und
ß negativ ganz oder 0.
(14)
(11)]
l
*_-jVi(l -t)/H»-iet*dt,
iVU»iß;x)=
/9>a>0
(15)
o
Kummersche Transformation:
1F1(a;/?;x)
«--n:
In diesem
Die Funktion
von
von
e^1Fi(/3-a;/3;-x)
(16)
^-niß^-ijl)-^^)*
Spezialfall bricht
(2) Die Funktion
=
die Reihe wieder ab.
E. T. Whittaker.
Whittaker ist
Lösung der Differentialgleichung
*y+f—L .1-g.+ (1/*>-/'a\Y
=
o
Sl
die
aus
der Kummerachen durch die Substitution
y
Für ß nicht ganz
^.x-/>/2ex/2y(
=
y2
_
x
ß
+ /li
=
2p, +
entsteht.
1
gilt
F(ßr ~)1} s1-" iFi (a
+
wobei a und
a
ß wie
oben durch
x
-
/? +
1; 2
-
/?;
x)],
(17)
und p auszudrücken sind.
Integraldarstellung
W^(x)
=''^1*) jV»-»+*(l +t)-H+»^e-^dt
(18)
o
V2
WX)„(x)
—
«
+ j«
> 0 und
x
> 0
W*,-.„(x)
=
(3) Spezielle Funktionen.
ex=iFi(a;a;x)
A(x)
Für x
=
=
^e-r1F1(l;x + l;r)
0 oder /?
=
Jv(x)
wobei i die
2a entstehen
=
=
ÇiFi(x;x + 1; -r)
Besselfunktionen, z.
[nach (4)und(16)]
B. in der übhchen
Bezeichnung
r(v*+1) (j-)Ve-^igi(V, + v;l+2v;2ix),
(19)
imaginäre Einheit bedeutet.
IT(x)
=
i-vjv(ix)
Kv(x)
=
=
r^-fl)^6"*11^2 +
v; 1
+2v:2x)
ife WH? (ix) (£)* Wo, T(2x)
(21)
=
Die modifizierte Besselfunktion 2. Art der
Ordnung
Integraldarstellungen, von denen zwei erwähnt seien.
Kv (x)
=
v,
Kv(x),
hat andere
Je-xCht-vt dt
(2°)
wichtige
(22)
0
00
Kv (2 j/x)
=
i
*ri*fe-*-W> -^
(23)
0
[23], [32], [34], [56], [65], [71]
nachfolgenden kurzen Zusammenstellung
hervorgehen.
Aus der
weise
82
soll insbesondere die
Bezeichnungs¬
A.
Verteilungsfunktionen
und deren charakteristische Größen.
£ besitze die Verteilungsfunktion (Vf) F(x)
Eine stochastische Variable
=
W(| ^ x).
f (x) definiert sein, im
diskreten Fall charakterisieren die Wahrscheinlichkeiten Pr (Wr) die zugehörige Vf.
Der
stetige
Wichtig
Fall soll durch die
Verteilungsdichte (Vd)
F'
(x)
Nullpunktmomente der Verteilung
<Xk
=
S (fk)
Zentralmomente der Verteilung
ft^
=
S [(£
sind insbesondere Mittelwert fi,
Viele diskrete
werden
Verteilungen
—
Streuung a2, Schiefe
Faktorielle Momente der Verteilung ot[k]
Momente
=
=
S [|(|
—
ai)k]
y\ und Exzeß y%.
1)... (|
—
durch faktorielle statt
bequemer
k +
1)]
gewöhnliche
beschrieben, da in jenen allgemeine, einfache Formeln herleitbar sind.
zwischen faktoriellen und
Zusammenhang
gewöhnlichen Momenten:
k
ak
=
2cNm>
(24)
1=1
cf
wobei
=
-n-
2
(- I)*
(J) G
~
h)k
(25)
Für die ersten Momente lautet die Formel
OCl
=
<*2
=
<X[i] + a[2]
a3
=
<X[i] + 3 a[2] + <X[3]
a4
=
a[i] +
<X[l]
7<x[2] + 6a[3] +
a[4]
Erzeugende Funktionen (eF)
E(z)
=
^(z*)=2przr
(26)
r-0
M(z)
=
<?(e*)
M[z]
=
<f[(z +
=
f J
ar
=
E(e«)
(27)
l)*]=f <x[r]-£-=E(z+l)
(28)
r=0
+ oo
Charakteristische Funktion (cF) <p (t)
=
S (elt{)
=
—
/
e"x dF (x)
(29)
oo
Verwechslungen eintreten könnten, sind die Funktionen und Momente ent¬
sprechend indiziert. Zumeist befindet sich der Index rechts unten, also /*w> a%,
ç)p(t), nur falls dies aus praktischen Gründen ratsam scheint, links unten, z.B.
Wo
w^3i pyi.
83
B.
Häufige
diskrete
Verteilungen.
Binomialverteilung :
Wr=Qprqn-r
r
0,1
=
(30)
...n
0<p<l,q=l--P
E(z)
=
(pz + q)"
a[ki
=
n(n
i«
=
ff2
np,
(31)
1).. .(n--k + l)p*
—
=
(32)
npq</«
Poisson-Verteilung :
Wr=e-^
r
0,1,2...
=
(33)
A>0
E(z)
Geometrische
=
e*<z-«
(34)
«m
=
&
(35)
fl
=
CT2
=
(l-A)Ar-i
=
A
Verteilung:
Wr
r=l,2...
(36)
0<A<1
E(Z)
=
T^T
ti=T=A'
Eine weitere
<37>
g2=
(l-A)g
häufig benützte Darstellungsform ist
Wr
=
¥T1F
<^
(—^-y
je
—
nach A
A)
a>0
(39)
Negative Binomialverteilung:
Wr==(a r_1)p0Cqr
+
r
=
0.1»2—
a>0,0<p<l,q=l
oder wie oben mit
=
,
,
a +1
p
r
(4°)
—
p
:
Darstellungsarten kommen im Laufe der Arbeit zur Sprache. Die Verteilung
spielt im 1. Kapitel eine dominierende Eolle, weshalb wir etwas eingehender auf ihre
Eigenschaften Bezug nehmen.
Weitere
84
(42)
*M-(T^Mi+i?r
(1=±)ka(a + l)-(«+k-l)=^ra(a + l)...(a+k-l)
aM
=
r
a'
p
^
^=W'
p2
a
\
^
a/
^-(P2 + 6<l)
=
Rekursionsformel :
?,W,
Wr+1=r + ?
r+1a+1
,
Verlauf der Wahrscheinlichkeiten :
+ 1
Wr+i
<
Wr
für alle
r
a>a+ 1
Wr+i
>
Wr
für 0 <
r
<
Wr
fur
a
<
a
monoton fallend
a —a
—
1
<
Glockentypus
Wmax
1
oc—
=
,
wobei
[. ]
<
r
<
oo
die nächstkleinere ganze Zahl bedeutet.
Logarithmische Verteilung :
wr
1
p*
log(l/q)
r
=
r=l,2...
0<p< 1,
E(z)
=
(43)
p=l
—
q
log(l —pz)
Iogq
(44)
V
M
C.
i
p
log(l/q)
q
_
ff2
=
log2(l/q)
q
[log (1/q)
-
p]
Häufige stetige Verteilungen.
Normalverteilung :
v
;
N(x)
standardisiert
:n([i,oz)
V2no
=
-JL-
j e"H \~1 du
0{x)=mle
—
ç>(t)
=
du
:
(45)
N(/i, **)
:N{0,1)
oo
e1"t-,/.°,f
(46)
85
Logarithmische Normalverteilung :
l
W=WHe
yi
=
(92 + 2)/02
ak
=
<5k0k*
^
=
(50,
i
_
=
ff2
1. Art
/8i(x)
=
e«f,
0
(,50)2 (02
=
ô9~2
=
<47>
X>°
e^o,K
=
1)
_
mir
(48)
abhängig von
cfN bzw.
ajfj,
(49)
(unimodal)
(Pearson*) Typ I):
xP-i(l-X)a-l,
^~
«k
p
r
>
1,
y(t)
q
^
ff2=
> 1
p>0,q>0
(50)
(H)
(p + q)2(p+q + l)
unimodal,
x0
=
—r
s-
p+q—2
iPi(p;p + q;it)
=
0<x<l
B(p + k,q)
B(p,q)
....
i"=7Tq~'
Für
=
'•
(a//^) [(a//*)2 + 3],
Modalwert x0
Beta-Verteilung
<5
mit
W
nach
(52)
(15)
Gamma-Verteilung (Pearson Typ III) :
y^
fl.CC
=
a>0'
7We~aXxa-1'
=
Für
Jï>
Y2==T'
> 1
unimodal,
a
P(t)
Die
Exponentialverteilung
=
Typ
ist eine
2y2
=
a
(5ß)
Gamma-Verteilung
=
=
-^- e-a/z x-<«+D,
aie
86
=
mit
a
=
1
:
(57)
ae-ax
V:
f (x)
*)
d-h-3yf
xo
(53)
<54>
(l-~)~"
e(x)
Pearson
x>0
r(a + k)
r(«)
1
ak==-a?
yi
a>0>
Pearson, K. Phil. Transact.
Eoy.
=
a>
0,
akr(a-k)
aK
-
Soo. A 185
T(a)
(1894).
a
>0,
x>0
(58)
Damit das k-te Moment existiert, muß
a
°
-" —öe^T'
2. Art
k sein.
(59)
2
~
(a-l)2(a-2)
xq
=
a
+ 1
(Pearson Typ VI) :
yP_1
l
^aW=sB(p,q)
_
>
a£
unimodal,
Beta-Verteilung
a
(x + 1)p+*'
q>0, P>0, x>0, siehe(6)
(60)
B(p + k,q-k)
k-tes Moment existiert nur, falls q > k.
u
=
Für
—5—
p
r
> 1
[20]: <p(t)
=
unimodal,
=
p(p + q
1}
(q_i)S(q_2)
~
ff<r2
q_i'
A»
xo
=
^^ (- it)
,
.
q +1
<1-1>/2
e-»/2 W(1
_
2p
_
^ -^
(-it)
Die
obigen Verteilungen wurden für ihre Standardintervalle definiert; es ist jedoch
Gegebenheiten entsprechend möglich, auch andere Existenzintervalle zu wählen.
Das führt natürlich zu einer Vermehrung der Anzahl der Parameter. Es wird
den
davon
von
Fall
D. Gestutzte
Die
zu
Fall die Rede sein.
Verteilungen.
Stutzung einer Verteilung
mit Dichte f (x) auf das Intervall
[a, b] führt zur neuen
Dichte
„f(x)
fa(x)=
a^x^b
/f(t)dt
=
Gestutzte
(61)
0
sonst
Normalverteilung:
Es sei die oft verwendete, im
verteilung betrachtet.
Nullpunkt (also
nur
nach
links) gestutzte
Normal¬
Nach (61) und (45) ist
nB(x)=
1_1N(0)-n(x),
x^O
(62)
k
ak
=
T^T=lwj?0(i) (S)'1'*
87
wobei
Setzt
das durch
Ij
bedeutet
[siehe
auch
partielle Integration
(I 31)].
leicht lösbare
ule-Ku' du
Integral /
-"K/"N
man
*=l-(N(0)=ns(°)'
(ß3)
wird insbesondere
so
/*
Pn +
=
Hz
%
o$,
==xaN(2x2a%
fflr(1
o-2
=
+
3xfi$a%
Man kann sich
fragen,
à^
x2o%)
—
+
/é)
in welchen Fällen
=
=
a%{l—xix)
xa%{^
—
ct2)
^
<64>
sich
überhaupt lohnt, eine Stutzung im
negativen Bereich genügend klein,
Verteilungen beliebig wenig voneinander. Ver¬
es
vorzunehmen. Ist der Flächenanteil im
dann unterscheiden sich die beiden
langt
—
'"i-^îo)^
y(*)=
Nullpunkt
—x^
man
als Toleranzschranke
ns(x) =Kn(x)
mit K ^
1,05 (1,01),
dann folgt daraus eine Bedingung für den Quotienten
dardabweichung der Normalverteilung
aus
Erwartungswert
und Stan¬
N(0)< 0,047 (0,009)
$(/1kW> 0,953 (0,991)
Nach Tabellen der Umkehrfunktion der
pjrfos
Ist diese
Bedingung erfüllt, kann der
ergebende Fehler toleriert werden.
Stutzung
im Punkt x<>
=
/% +
y -T?-
«'
heißt das
1,67 (2,37)
>
der
aus
(65)
Vernachlässigung
der
Stutzung
sich
:
"»(*>=
j"
Normalverteilung (z.B. [71])
ctn
«-2
>
ff2
_
=
l-N(*o)n(x)
„?_
„v i^r
«'
(xo
fffr [1 +
n
_i
—
(66)
„vi
/«)],
,k»j
.,'
wobei
x'
_
n(x<>)
-N(xo)
Pareto-Verteilung :
^=^r
a
Die
nur
°T2
dann,
wenn a
> k.
a
=
~
.
(a-2)(a-l)3X°
gestutzte Exponentialverteilung hat die Form
e(x
hingegen ist y(x
bemerkung von C.
—
88
(6?)
k
k-tes Moment existiert
^=i^Tï0'
a>°
—
xo)
=
ae-a<x-xo),
xo) keine gestutzte Verteilung, sondern fällt unter die Schlu߬
gestutzte Gamma-Verteilung sieht nach (61) und (4) so aus:
Eine
LITERATURVERZEICHNIS
[1] Aitchison J.: On the distribution of a positive random variable having
mass at the origin. J. Amer. Stat. Assoc. 50 (1955).
[2] Aitchison
[3]
[4]
J. and Brown I. A. C: The
generalisation
probabilities. SAT 3 (1948).
—
discrete
lognormal distribution. Cambridge
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=
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SAT
=
Skand. Aktuarietidskrift
Ann. Math. Stat.
91
Curriculum vitae
Am 10. März 1932 wurde
genannten Stadt
ich, Bürger
geboren,
wo
von
(LU) und Luzern, in der letzt¬
Jugendjahre verbrachte. Nach dem
Buttisholz
ich auch meine
Besuch der Primarschule trat ich in die humanistische Abteilung der Kantonsschule
ein, die ich nach normalem Studiengang (Gymnasium und Lyzeum) 1952 mit dem
Maturitätszeugnis
verließ. Im
für Mathematik und
Frühjahr
gleichen Jahre nahm ich das Studium an der Abteilung
der Eidgenössischen Technischen Hochschule auf; im
mir das Diplom als Mathematiker.
Physik
1957 erwarb ich
Nach dem Abschluß trat ich eine Assistentenstelle für höhere Mathematik bei Herrn
Prof. Dr. W. Saxer an, deren Pflichten ich bis
Zeit
ich zudem als Hilfslehrer
war
dieses Jahres habe ich meinen
Lebensversicherungs-
an
zum
Herbst 1960
oblag.
der Kantonsschule Zürich
Wirkungskreis
und Bentenanstalt
als Mathematiker
an
Für kürzere
tätig.
Zu
Beginn
die Schweizerische
verlegt.
Es ist mir ein
Dr. W.
womit
Bedürfnis, an dieser Stelle meinem verehrten Lehrer, Herrn Prof.
Saxer, für seine Anregung zur vorliegenden Arbeit sowie das stete Verständnis,
er
meine
Bemühungen verfolgte
statten. Mein Dank richtet sich ferner
H. Ammeter für das meinem Werk seit
Thalwil,
im Juni 1961
und
an
förderte, meinen besten Dank abzu¬
Herrn Prof. Dr. H.
langem entgegengebrachte
Wyss
und Herrn
Interesse.
Josef Kupper