Klausur 2016
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Stochastik 1 Prof. Jean Bertoin FS 2016 Klausur Stochastik 1 3 Stunden, ohne Unterlagen Name: Matrikelnummer: • Legen Sie während der Prüfung Ihre Legi vor sich auf das Pult. • An den Platz mitzunehmen sind nur Schreibutensilien und gegebenenfalls eine kleine Zwischenverpflegung. Deponieren Sie Ihre Taschen, Jacken usw. am Rande des Hörsaales. • Taschenrechner, Mobiltelefon und Hilfsmittel sind nicht zugelassen. • Die Prüfung besteht aus 5 Aufgaben und insgesamt 8 Blättern - einem Deckblatt, 5 Aufgabenblättern sowie 2 leeren Blättern am Ende. Überprüfen Sie zunächst, ob alle Blätter vorhanden sind. Jedes Blatt ist mit Namen und Matrikelnummer zu beschriften. Alle 8 Blätter müssen am Ende der Prüfung in korrekter Reihenfolge abgegeben werden. • Für jede Aufgabe ist auf den Prüfungsblättern (vorne und hinten) und auf den letzten beiden Seiten separat Platz vorhanden. Sollte zusätzliches Schreibpapier benötigt werden, melden Sie sich bei der Klausurleitung. Verwenden Sie in diesem Fall für jede Aufgabe ein neues Blatt Papier und beschriften Sie dieses mit Namen, Matrikelnummer und Aufgabennummer. • Nur vollständig begründete und hergeleitete Resultate werden gewertet. Für die Note 6 ist es nicht erforderlich, alle Aufgaben richtig zu lösen. • Verwenden Sie weder Bleistifte noch rotfarbige Stifte. 1 Stochastik 1 Prof. Jean Bertoin FS 2016 Name: Matrikelnummer: Aufgabe 1 (zwei Fragen aus der Vorlesung). (i) Definiere den Begriff der Konvergenz in Verteilung für eine Folge von Zufallsvariablen in Rd . (ii) Formuliere den Satz aus der Vorlesung, der Konvergenz in Verteilung mit charakteristischen Funktionen in Beziehung setzt. (Charakteristische Funktionen müssen definiert werden. Der Satz soll nicht bewiesen werden.) 2 Stochastik 1 Prof. Jean Bertoin FS 2016 Name: Matrikelnummer: Aufgabe 2. Seien X und Y zwei reelle Zufallsvariablen. Entscheiden Sie, welche der folgenden Aussagen wahr sind. Falls die Aussage wahr ist, beweisen Sie diese, andernfalls geben Sie ein Gegenbeispiel an. (i) Falls P(X = t) = P(Y = t) für alle t ∈ R gilt, dann sind X und Y identisch verteilt. (ii) Falls X und Y identisch verteilt sind, und X ∈ L1 (P), dann Y ∈ L1 (P) und E(X) = E(Y ). (iii) Falls X und Y unabhängig sind, dann sind f (X) und g(Y ) auch unabhängig für alle messbare Funktionen f, g : R → R. (iv) Sei Z eine dritte Zufallsvariable, so dass X und Z unabhängig sind, und auch Y und Z unabhängig sind. Dann ist (X, Y, Z) eine Familie von unabhängigen Zufallsvariablen. (v) Sei (Un )n∈N eine Folge von i.i.d. (d.h. unabhängigen und identisch verteilt) gleichförmigen Zufallsvariablen. Sei (an )n∈N eine reelle Folge mit limn→∞ an = ∞. Dann gilt limn→∞ 1/(an Un ) = 0 fast sicher. 3 Stochastik 1 Prof. Jean Bertoin FS 2016 4 Stochastik 1 Prof. Jean Bertoin FS 2016 Name: Matrikelnummer: Aufgabe 3. 2 Eine Rayleigh-Variable ist eine positive Zufallsvariable R mit Dichtefunktion re−r /2 : P(R ∈ dr) = r exp(−r2 /2)dr , (i) Überprüfen Sie, dass r 7→ re−r 2 /2 r > 0. tatsächlich eine Dichtefunktion auf (0, ∞) ist. (ii) Zeigen Sie, dass U = exp(−R2 /2) dann eine gleichförmige Zufallsvariable ist. (iii) √ Seien X und Y zwei unabhängige N (0, 1) Gauss-Variablen. Beweisen Sie, dass X 2 + Y 2 eine Rayleigh-Variable ist. [Hinweis: man kann polare Koordinaten benutzen.] (iv) Zur Erinnerung, man sagt, dass eine reelle Zufallsvariable C eine Cauchy-Variable 1 ist, falls sie die Dichtefunktion x 7→ π(1+x 2 ) für x ∈ R, besitzt. Beweisen Sie, dass dann X/Y eine Cauchy-Variable ist. [Hinweis: man kann die Tatsache, dass die Funktion tan : (−π/2, , π/2) → R ein Diffeomorphismus mit Ableitung tan0 (x) = 1 + tan2 (x) ist, benutzen.] √ (v) Entscheiden Sie, ob die Variablen X/Y und X 2 + Y 2 unabhängig sind (Sie müssen eine Begründung für Ihre Entscheidung geben). 5 Stochastik 1 Prof. Jean Bertoin FS 2016 6 Stochastik 1 Prof. Jean Bertoin FS 2016 Name: Matrikelnummer: Aufgabe 4. Sei X eine reelle Zufallsvariable in L2 (P). Seien X1 und X2 zwei unabhängige Kopien von X (d.h., X1 ⊥ ⊥ X2 , und Xi hat die selbe Verteilung wie X für i = 1, 2). Wir nehmen an, dass es gibt eine Konstante c > 0, so dass die Variablen cX und X1 + X2 identisch verteilt sind. (i) Sei X1 , . . . , Xn , . . . eine Folge von unabhängigen Kopien von X. Zeigen Sie durch Induktion, dass für jedes k ∈ N, die Variable Sk = X1 + · · · + X2k die selbe Verteilung wie ck X hat. (ii) Zuerst, wir betrachten den Fall c = 2. Schliessen Sie von (i), dass X eine Konstante sein muss (Sie müssen den Wert von dieser Konstante bestehen). √ (iii) Wir betrachten danach den Fall c = 2. Beweisen Sie, dass X eine GaussVerteilung haben muss. √ (iv) Wir nehmen jetzt an, dass c 6= 2 und c 6= 2. Überprüfen Sie, dass X = 0 fast sicher. 7 Stochastik 1 Prof. Jean Bertoin FS 2016 8 Stochastik 1 Prof. Jean Bertoin FS 2016 Name: Matrikelnummer: Aufgabe 5. (i) Geben Sie die Definitionen von einem Gauss-Vektor (X, Y ) in R2 , von seinem Mittelwert-Vektor (oder Erwartungswert-Vektor) m und von seiner Kovarianz-Matrix D. (ii) Wir nehmen jetzt an, dass m = (0, 0) (das heisst, (X, Y ) ist zentriert) und 4 1 D= . 1 1 Beweisen Sie, dass (X + Y, X − Y ) ebenfalls ein zentrierter Gauss-Vektor ist, und berechnen Sie seine Kovarianz-Matrix. (iii) Finden Sie eine Zufallsvariable Z mit Standard-Normalverteilung N (0, 1), die unabhängig von X + 2Y ist. [Hinweis: Betrachten Sie eine geeignete Linearkombination der Form Z = aX +bY .] 9 Stochastik 1 Prof. Jean Bertoin FS 2016 10
