1.5.2. Die Gaußsche Dichtefunktion Die standardisierten

1.5.2. Die Gaußsche Dichtefunktion
Die standardisierten Binomialverteilungen sehen sehr ähnlich aus. Sie liegen ungefähr auf
dem Graph der Gaußschen Dichtefunktion.
2
x
−
1
ϕ ( x) =
⋅e 2
2π
Beispiel: n = 50, p = 0,5
Der Graph von j weicht besonders wenig vom Histogramm ab, wenn die Laplace-Bedingung
erfüllt ist.
Man kann die Gaußsche Dichtefunktion benutzen, um einzelne Wahrscheinlichkeiten zu
berechnen.
Die Zufallsvariable Z ergibt sich aus der Zufallsvariable X wie folgt:
- Jeder Wert k (Anzahl der Erfolge wird um m Einheiten nach links verschoben.
1
- Die Rechteckbreiten werden mit der Zahl
multipliziert.
σ
k −µ
- Z=
σ
SATZ: Lokale Näherungsformel von MOIVRE und LAPLACE
Es sei X eine binomialverteile Zufallsgröße mit s > 3. Die Wahrscheinlichkeit für
k Erfolge lässt sich näherungsweise berechnen mit
1 1 −
k−µ 
P( X = k) = P
P
Z
=
≈
⋅
⋅e
(
)

σ 2π
 σ 
( k − µ )2
2σ 2
Beispiel: Wahrscheinlichkeit für 12-mal Augenzahl 6 beim 84fachen Würfeln:
12 − 14
1
n = 84, p = , m = 14, s= 3,416, Z =
≈ −0,586
6
3, 416
−
12 − 14 
1
1

P ( X = 12 ) = P  Z =
e
≈
⋅
⋅
3, 416  3, 416 2π

( −0,586)2
2
= 0, 098