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1.5.2. Die Gaußsche Dichtefunktion
Die standardisierten Binomialverteilungen sehen sehr ähnlich aus. Sie liegen ungefähr auf
dem Graph der Gaußschen Dichtefunktion.
2
x

1
  x 
e 2
2
Beispiel: n = 50, p = 0,5
Der Graph von  weicht besonders wenig vom Histogramm ab, wenn die Laplace-Bedingung
erfüllt ist.
Man kann die Gaußsche Dichtefunktion benutzen, um einzelne Wahrscheinlichkeiten zu
berechnen.
Die Zufallsvariable Z ergibt sich aus der Zufallsvariable X wie folgt:
- Jeder Wert k (Anzahl der Erfolge wird um  Einheiten nach links verschoben.
1
- Die Rechteckbreiten werden mit der Zahl
multipliziert.

k 
- Z

SATZ: Lokale Näherungsformel von MOIVRE und LAPLACE
Es sei X eine binomialverteile Zufallsgröße mit  > 3. Die Wahrscheinlichkeit für
k Erfolge lässt sich näherungsweise berechnen mit
1 1 
k  
P X  k  P
e
  PZ   
 2
  
 k   2
2 2
Beispiel: Wahrscheinlichkeit für 12-mal Augenzahl 6 beim 84fachen Würfeln:
12  14
1
n = 84, p  ,  = 14, = 3,416, Z 
 0,586
6
3, 416

12  14 
1
1

P  X  12   P  Z 


e

3, 416  3, 416 2

 0,586 2
2
 0, 098