Mittwoch, 20. 4. 2016

Übungen zu Statistik
für Mittwoch, 20. April 2016
25) a) Die Zufallsvariable χ2 sei Chi-Quadrat-verteilt mit 11 Freiheitsgraden.
Bestimmen Sie c derart, dass P (χ2 ≥ c) = 0, 025 ist.
b) Die Zufallsvariable Z sei standard-normalverteilt. Bestimmen Sie c derart,
dass P (−c < Z < c) = 0, 9 ist.
26) (a) Die zweidimensionale Zufallsvariable (X, Y ) habe die gemeinsame
Wahrscheinlichkeitsfunktion
1
p(2, 2) = ,
5
p(2, 3) =
1
,
10
1
p(3, 2) = ,
2
1
p(3, 3) = .
5
Stellen Sie fest, ob X und Y voneinander unabhängig sind.
27) Die zweidimensionale Zufallsvariable (X, Y ) besitze die in Beispiel 26
angegebene gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion. Berechnen Sie die Kovarianz von X und Y und den Korrelationskoeffizienten zwischen X und Y .
28) Die zweidimensionale Zufallsvariable (X, Y ) sei gleichverteilt im Dreieck
mit den Eckpunkten (0, 0), (4, 0), (2, 2). Bestimmen Sie auf elementargeometrischem Weg die Wahrscheinlichkeit P (X ≤ 3, Y ≤ 1).
29) Die zweidimensionale Zufallsvariable (X, Y ) besitze die gemeinsame Dichtefunktion
c[1 + xy(x2 − y 2 )] für |x| ≤ 2 und |y| ≤ 2,
f (x, y) =
0
sonst.
a) Bestimmen Sie (ohne zunächst c zu kennen) die Randdichten fX (x) und
fY (y).
b) Bestimmen Sie unter Verwendung von a) den Wert der Konstanten c.
30) Die zweidimensionale Zufallsvariable (X, Y ) besitze die gemeinsame Dichtefunktion
x−1 2
1
−2
·y
+y 2 − x−1
2
f (x, y) = √ e 3 ( 2 )
,
2π 3
n
o
(x, y) ∈ R2 .
Geben Sie die Randdichten fX (x) und fY (y) sowie den Korrelationskoeffizienten %X,Y an.
31) 100 Würfel werden gleichzeitig geworfen. Geben Sie mithilfe des Zentralen Grenzwertsatzes einen Näherungswert für die Wahrscheinlichkeit an,
dass die Augenzahlsumme größer als 380 ist.
32) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass unter 10000 zufällig gewählten Ziffern aus der Menge {0, 1, . . . , 9} die Ziffer 5 nicht öfter als 984-mal
aufscheint.
2