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Wahrscheinlichkeitsverteilung
einer Zufallsvariable
Die [kummulative] Verteilungsfunktion F() besrchreibt die WahrScheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariable X.
FX ( x) = P( X ≤ x)
F(x) gibt also an, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine ZufallsVariable X einen kleineren als x bzw. den Wert x annimmt.
Da die Wahrscheinlichkeit nicht kleiner 0 und nicht größer 1 sein
darf, muss also für F() gelten:
0 ≤ FX ( x) ≤ 1
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Wahrscheinlichkeitsverteilung
einer Zufallsvariable
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion (Dichtefunktion) f() ist gegeben
durch die erste Ableitung von F(), daher entspricht die Fläche
unter f() zwischen -∞ und t dem Funktionswert F(x).
∂FX ( x)
f X ( x) =
∂x
FX ( x) =
x
∫ f (t )dt
−∞
X
Da bei x → ∞ die Wahrscheinlichkeit P(X ≤ x) gegen 1
konvergiert, muss die Gesamtfläche unter f() auch 1 ergeben, d.h.
∞
∫ f ( x)dx = 1
−∞
X
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Wahrscheinlichkeitsverteilung
einer Zufallsvariable
Falls f(x) die erste Ableitung von F(x) ist bzw. falls F(x) das
unbestimmte Integral von f(x) ist, dann gilt:
b
F (b) − F (a ) = ∫ f ( x)dx
a
Falls f(x) die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariable X
ist, dann entspricht die Fläche unter f(x) zwischen a und b [also
das bestimmte Integral von f(x) zwischen den Werten a und b] der
Wahrscheinlichkeit, dass X zwischen den Werten a und b liegt.
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Wahrscheinlichkeitsverteilung
einer Zufallsvariable
Da das bestimmte Integral von f(x) den je entsprechenden
Wahrscheinlichkeiten von X entspricht, kann es leicht zur
Berechnung von Erwartungswerten unterschiedlicher Funktionen
von der Zufallsvariable X verwendet werden. Allgemein gilt:
∞
Ε[g ( x)] = ∫ g ( x) f ( x)dx
−∞
Daher muss für die folgenden zwei Spezialfälle gelten
∞
Ε( X ) = ∫ xf ( x)dx
−∞
Var ( X ) = Ε{[ X − Ε( X )] } =
2
∞
∫ [x − Ε ( X ) ]
2
f ( x)dx
−∞
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