Beispielklausur
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Klausur Stochastik für Physiker und Lehramtskandidaten,
WS 2005/06
Prof. Dr. F. Liese
Name:
Universität Rostock, 20. Januar 2006
Vorname:
Matrikelnummer:
Aufgabe 1 (4P)
Entscheiden Sie, ob folgende Aussagen richtig oder falsch sind. A und B bezeichnen
Ereignisse und P (A), P (B) die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten.
wahr
falsch
P (A ∪ B) < P (A)
P (A ∪ B) ≥ P (A ∩ B)
A und B unabhängig, falls A und B unabhängig
P (A ∪ B) = P (A)P (B), falls 0 < P (A) < 1
X sei eine stetige Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion FX und Dichte fX .
möglich
Es gilt limt→−∞ FX (t) = 1.
fX (t) = t für alle t.
fX (t) = 0 für t ≥ 0.
FX (1) = FX (1, 5)
Bitte wenden!
immer falsch
Aufgabe 2 (4P)
Die Dichtefunktion einer stetigen Zufallsvariablen X sei gegeben durch
ct(1 − t),
für 0 < t < 1,
fX (t) =
0,
sonst,
wobei c eine gewisse positive Konstante ist. Bestimmen Sie c! Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X !
Lösung:
Klausur Stochastik für Physiker und Lehramtskandidaten,
WS 2005/06
Prof. Dr. F. Liese
Universität Rostock, 20. Januar 2006
Name:
Vorname:
Matrikelnummer:
Aufgabe 3 (4P)
X sei eine diskrete Zufallsvariable mit Werten in {x1 , . . . , x8 } und pi = P (X = xi ):
xi
1
2
1
3
2
2
5
2
3
7
2
4
pi 0, 1 0, 05 0, 1 0, 25 0, 25 0, 1 0, 05 0, 1
Berechnen Sie P (1 < X < 3, 5) sowie den Erwartungswert und die Varianz der Zufallsvariablen X.
Lösung:
Klausur Stochastik für Physiker und Lehramtskandidaten,
WS 2005/06
Prof. Dr. F. Liese
Name:
Universität Rostock, 20. Januar 2006
Vorname:
Matrikelnummer:
Aufgabe 4 (4P)
Ein durch Reihen-und Parallelschaltungen aufgebautes Sytem möge aus unabhängig
arbeitenden Bauteilen bestehen, die mit folgenden Wahrscheinlichkeiten ausfallen: Bauteil I: 0,2; Bauteil II: 0,1; Bauteil III: 0,05; Bauteil IV: 0,05.
Es sei Ai =”Ausfall des Bauteils i”, i = 1, . . . , 4, und A = ”Ausfall des Gesamtsystems”. Drücken Sie für das System
III
IV
I
II
A mit Hilfe der Ai aus ! Berechnen Sie die Ausfallwahrscheinlichkeit des gesamten
Systems !
Lösung:
Klausur Stochastik für Physiker und Lehramtskandidaten,
WS 2005/06
Prof. Dr. F. Liese
Name:
Universität Rostock, 20. Januar 2006
Vorname:
Matrikelnummer:
Aufgabe 5 (4P)
Das Gewicht X1 eines produzierten Gerätes schwankt zufällig und ist eine normalverteilte Zufallsvariable mit den Parametern µ1 = 10 kg und σ12 = 0, 9 kg 2 . Das Gewicht
X2 der Verpackung schwankt ebenfalls und ist eine von X1 unabhängige normalverteilte Zufallsvariable mit den Parametern µ2 = 1kg und σ22 = 0, 4 kg 2 . Berechnen Sie die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Gesamtgewicht den Wert von 12kg überschreitet.
Lösung:
Klausur Stochastik für Physiker und Lehramtskandidaten,
WS 2005/06
Prof. Dr. F. Liese
Name:
Universität Rostock, 20. Januar 2006
Vorname:
Matrikelnummer:
Aufgabe 6 (4P)
Eine bestimmte Partei wird im Durchschnitt von 30% der Wahlberechtigten gewählt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Partei in einem Dorf mit 1000
Wahlberechtigten mindestens 270 und höchstens 340 Stimmen bekommt?
Hinweis: Verwenden Sie eine Approximation der benötigten Verteilung für große n.
Lösung:
