12. ¨Ubungsblatt - Fakultät für Mathematik und Informatik

Stochastik/Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie
(Informatik B.Sc. und LA Regelschule)
WS 2015/2016, FSU Jena
Prof. Dr. Ilya Pavlyukevich
Lena-Susanne Boltz, Markus Böhm, Jannis Koberstein, Alexandra Neamţu
Ausgabetermin:
Abgabetermin:
21.01.2016
04.02.2016
12. Übungsblatt
Aufgabe 111. Zeigen Sie, dass die Funktion
f(X,Y ) (x, y) = 2e−x−y I[x,∞) (y)I[0,∞) (x),
x, y ∈ R,
eine zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichte ist. Sei (X, Y ) ein Zufallsvektor mit der Dichte f(X,Y ) .
Berechnen Sie die Randdichten von X und Y .
Aufgabe 112. Seien X und Y unabhängig und je exponentiell verteilt mit Parameter λ > 0. Bestimmen
Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte von Z = X + Y .
Aufgabe 113. Eine Lichterkette bestehe aus n Lampen, deren Lebenszeiten mit unabhängigen exponentiell
verteilten Zufallsvariablen mit Parameter λ > 0 modelliert werden. Wie wahrscheinlich ist es, dass zur Zeit
t noch genau k Lampen brennen? Bestimmen Sie außerdem die Wahrscheinlichkeit, dass zur Zeit t keine
einzige Lampe mehr leuchtet.
Aufgabe 114. Die Seitenlängen eines Rechtecks sind unabhängig und jeweils gleichverteilt auf dem Intervall
[0, a], für a > 0. Bestimmen Sie die Verteilungfunktion und die Dichte seiner Fläche. Geben Sie dafür zuerst
die gemeinsame Dichte fX,Y von X und Y an und bestimmen mit dieser die Verteilungsfunktion von XY
durch Berechnung von
ZZ
FXY (t) =
fX,Y (x, y) dxdy.
{(x,y):06xy6t}
Aufgabe 115. Seien X1 , . . . , Xn unabhängig und exponentiell verteilte Zufallsvariable mit Parameter λ > 0.
Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion und die Wahrscheinlichkeitsdichte von
a) Y = max{X1 , . . . Xn },
b) Z = min{X1 , . . . Xn }.
Aufgabe 116. Die Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn sind paarweise unabhängig mit Var Xk = σ 2 . Für ck > 1
mit c1 + · · · + cn = 1 sei Yn := c1 X1 + · · · + cn Xn . Für welche ck hat Yn die kleinste Varianz? Bestimmen
Sie diese Varianz.
Aufgabe 117. Seien (X, Y ) die Koordinaten eines Punktes, der zufällig aus dem Kreis K = {(x, y) ∈
R2 |x2 + y 2 6 1} ausgewählt wird, d.h. der Zufallsvektor (X, Y ) habe die Dichte
fX,Y (x, y) =
1
· IK (x, y).
π
1. Berechnen Sie die Randverteilung von X und Y indem Sie die jeweilige Randdichte angeben.
2. Sind X und Y unabhängig?
3. Berechnen Sie EX und Var X.
4. Bestimmen Sie Kov(X, Y ).
Aufgabe 118 (4 Punkte). Für feste µ, σ 2 > 0 seien die Messergebnisse eines Werkstücks gemäß N (µ, σ 2 )
verteilt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei n unabhängigen Messungen für ein k 6 n genau k Messwerte
zu beobachten, die größer oder gleich µ sind? Begründen Sie Ihr Ergebnis!
Aufgabe 119 (4 Punkte). Bestimmen Sie die Konstante c > 0, so dass die Funktion
f(X,Y ) (x, y) = c sin x · sin y · I[0,π] (x)I[0,π] (y),
x, y ∈ R,
eine zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichte ist. Sei (X, Y ) ein Zufallsvektor mit der Dichte f(X,Y ) .
Berechnen Sie die Randdichten von X und Y . Sind die Zufallsgrößen X und Y stochastisch unabhängig?
Aufgabe 120 (4 Punkte). Die Zufallsvariablen X und Y sind stochastisch unabhängig und identisch verteilt
auf [−1, 1] mit der jeweiligen Wahrscheinlichkeitsdichte f (x) = 21 I[−1,1] (x). Bestimmen Sie die Dichte der
Summe Z = X + Y . Skizzieren Sie diese.
Abgabetermin: Die mit
gekennzeichneten Aufgaben sind zu bearbeiten und am 04.02.16 vor der
Vorlesung abzugeben. In begründeten Ausnahmefällen können die Serien donnerstags bis 14.15 Uhr per
E-mail an die Übungsleiter geschickt werden.
Zulassungsvoraussetzungen für die Klausur: 50% der Hausaufgaben und mindestens zweimaliges Vorrechnen an der Tafel.
Klausurtermin: Montag, 22.02.2016, 10-12 Uhr, Hörsaal 024 UHG, Fürstengraben 1
Nachklausurtermin: Montag, 21.03.2016, 10-12 Uhr, Domaschk-HS, August-Bebel-Str. 4, 1. OG
Die Übungsserien finden Sie unter:
http://www.stochastik.uni-jena.de/Mitarbeiter/Prof_+Dr_+I_+Pavlyukevich/Teaching.html
Empfohlene Literatur zur Vorlesung:
• U. Krengel, Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Vieweg.
• N. Henze, Stochastik für Einsteiger. Vieweg+Teubner Verlag.
• A. Büchter und H.–W. Henn, Elementare Stochastik: Eine Einführung in die Mathematik der Daten
und des Zufalls. Springer.
• S. M. Ross, Introduction to probability models. Elsevier/Academic Press
Termine für das Tutorium:
SR 3 IAAC, Humboldtstr. 8, 16-18 Uhr
Mi, 27.01.
Mi, 10.02.
SR 003, AB 4, 18-20 Uhr
Di, 02.02.